Quadratwurzel

Unter der Quadratwurzel einer Zahl $x$ versteht man in der Mathematik eine Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl $x$ ist. Das Symbol für die Quadratwurzel aus $x$ ist ${\sqrt {x}}$. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Rechenausdruck unter der Wurzel als Radikand bezeichnet. Weniger verbreitet ist die ausführlichere Schreibweise ${\sqrt[{2}]{x}}$. Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken. $x^{\frac {1}{2}}$ ist gleichwertig zu ${\sqrt {x}}$.

Beispiel: Wegen $3^{2}=3\cdot 3=9$ gilt ${\sqrt {9}}=9^{\frac {1}{2}}=3$.

Bei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:

• Wenn man sich auf rationale Zahlen beschränkt, dann ist die Quadratwurzel in vielen Fällen nicht definiert. Schon in der Antike fand man heraus, dass etwa die Zahl ${\sqrt {2}}$ keine rationale Zahl sein kann (siehe Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2).

• Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen $(-3)^{2}=(-3)\cdot (-3)=9$ auch die Zahl -3 ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus 9.

Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das lateinische Wort "radix" (Wurzel) steht. Ursprünglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagerechte Verlängerung fehlte. Noch Carl Friedrich Gauß verwendete daher Klammern für kompliziertere Wurzelausdrücke und schrieb zum Beispiel ${\sqrt {}}(b^{2}-4ac)$ anstelle von ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$.

Im Englischen wird die Quadratwurzel als "square root" bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung "sqrt" für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Schaubild der Quadratfunktion (rot und blau). Durch Spiegelung allein der blauen Hälfte an der 1. Winkelhalbierenden entsteht das Schaubild der Quadratwurzelfunktion (grün).

Definition: Die Quadratwurzel ${\sqrt {x}}$ einer nicht-negativen reellen Zahl $x$ ist diejenige nicht-negative reelle Zahl $r$, deren Quadrat $r^{2}=r\cdot r$ gleich $x$ ist.

Gleichwertig dazu kann die reelle Quadratwurzel als Funktion so definiert werden: Sei

$q:\;[0;\infty [\rightarrow [0;\infty [,\quad x\mapsto y=x^{2}$

die Einschränkung der Quadratfunktion auf die Menge der nichnegativen reellen Zahlen. Die Umkehrfunktion dieser Funktion q heißt Quadratwurzelfunktion ${\sqrt {y}}$.

Bemerkungen

• Zu beachten ist, dass die Quadratfunktion $x\mapsto x^{2}$ für alle reellen Zahlen definiert, aber nicht umkehrbar ist. Sie ist weder injektiv noch surjektiv.
• Die Einschränkung q der Quadratfunktion ist umkehrbar und wird durch die reelle Wurzelfunktion umgekehrt. Da nur nichtnegative reelle Zahlen als Bilder von q auftreten, ist die reelle Wurzelfunktion nur für diese Zahlen definiert.
• Durch die vor der Umkehrung gemachte Einschränkung von q auf nichtnegative relle Zahlen sind die Werte der Quadratwurzelfunktion nichtnegative Zahlen. Die Einschränkung der Quatratfunktion auf andere Teilmengen von $\mathbb {R}$ in denen verschiedene reelle Zahlen stets verschiedene Quadrate haben, würde zu anderen Umkehrfunktionen führen, diese werden aber nicht als reelle Quadratwurzelfunktion bezeichnet.

Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, die sich durch einen nicht-periodisch unendlichen Dezimalbruch ausdrücken lässt. Es geht also oft nur darum, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu finden. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:

• Schriftliches Wurzelziehen: Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ähnlich dem gängigen Verfahren der schriftlichen Division.

• Intervallschachtelung: Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen, wenn auch in der praktischen Durchführung sehr mühsam.

Beispiel (Näherungswert für ${\sqrt {2}}$):
Aus $1^{2}=1<2$ und $2^{2}=4>2$ folgt, dass ${\sqrt {2}}$ zwischen 1 und 2 liegen muss.
Daher probiert man $1{,}1^{2}$, $1{,}2^{2}$ usw. durch.
Aus $1{,}4^{2}=1{,}96<2$ und $1{,}5^{2}=2{,}25>2$ erkennt man, dass ${\sqrt {2}}$ zwischen 1,4 und 1,5 liegen muss.
Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schließlich einen Näherungswert mit der gewünschten Genauigkeit: ${\sqrt {2}}=1{,}41421356\ldots$

• Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren: Dieses Iterationsverfahren wird insbesondere von Taschenrechnern verwendet, da es schnell konvergiert.

• Die Taylorreihen-Entwicklung von ${\sqrt {x}}$ mit Entwicklungspunkt 1 kann mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes gefunden werden. Die Reihe konvergiert für $|x|<1$ punktweise gegen den Funktionswert der Wurzelfunktion.

${\sqrt {x+1}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n-2)! \over n!\;(n-1)!\;2^{2n-1}}x^{n}$

$=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots$

Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen

Die komplexe Funktion „Quadriere z“, $q:z\mapsto z^{2}$ besitzt genau wie die reelle Quadratfunktion keine Umkehrfunktion, denn sie ist nicht injektiv, man kann aber analog zu den reellen (nicht-negativen) Quadratwurzeln komplexe Quadratwurzelfunktionen definieren, indem man eine Einschränkung des Definitionsbereichs von q auf eine Teilmenge D der komplexen Zahlen vornimmt, auf der q injektiv ist. Je nachdem, welche Teilmenge man dafür auswählt, erhält man als Umkehrung unterschiedliche Zweige der Quadratwurzelfunktion.

Der Hauptzweig der komplexen Quadratwurzelfunktion ergibt sich, wenn man als Definitionsbereich von q

$D_{H}:=\{x+iy\in \mathbb {C} |y>0\;{\rm {{oder}\;(y=0\;{\rm {{und}\;x)\geq 0\}}}}}$

zugrundelegt, dies ist die obere Halbebene der komplexen Zahlenebene, wobei von deren Rand nur die nichtnegativen reellen Zahlen zu D_H gehören. Die Einschränkung von q auf D_H ist eine bijektive Abbildung von D_H auf die komplexen Zahlen, daher ist ihre Umkehrfunktion, der Hauptzweig der Quadratwurzel auf ganz $\mathbb {C}$ definiert. Den Wert dieser Umkehrfunktion, ${\sqrt {z}}$ nennt man den Hauptwert der Quadratwurzel von z.

Ist $z$ in Polarkoordinaten gegeben, $z=|z|e^{i({\rm {{arg}(z)+n\cdot 2\pi )}}}$, dann haben die Quadratwurzeln (alle Zweige) die Darstellungen

${\sqrt {z}}={\sqrt {|z|}}e^{i\left({\rm {arg}}(z)/2+n\cdot \pi \right)},$

wobei $n$ die Werte 0 oder 1 annehmen kann und ${\sqrt {|z|}}$, die reelle (nichtnegative) Quadratwurzel ist. Für n=0 ergibt sich der Hauptwert von ${\sqrt {z}}$, der Hauptwert $w=_{H}{\sqrt {z}}$ ist also diejenige Lösung von $w^{2}=z$ mit dem kleinsten Argument. Wenn mit ${\sqrt {z}}$ eine bestimmte komplexe Zahl gemeint ist, dann ist es dieser Hauptwert.

Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Beim Hauptwert, der Lösung mit $n=0$ wird das Argument ${\rm {{arg}(z)}}$(„der Winkel von z“, s.u.) halbiert. Die andere Lösung (für $n=1$) ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung dieses Hauptwerts am Ursprung.

Das Argument einer komplexen Zahl $z=x+iy$ ist der orientierte Winkel $\angle (EOZ)$ in der komplexen Zahlenebene, die Punkte sind $E(1|0)$, $O(0|0)$ und $Z(x|y)$ in reellen Koordinaten. Im Bild zum folgenden Beispiel sind das Argument von z und das Argument von w₁ farbig gekennzeichnet.

Beispiel

(Quadratwurzeln aus $z=-1+i{\sqrt {3}}$):

Zunächst werden Betrag und Argument des Radikanden ermittelt.

$r=|-1+i{\sqrt {3}}|={\sqrt {(-1)^{2}+({\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {1+3}}={\sqrt {4}}=2$

$\tan \varphi ={\frac {\sqrt {3}}{-1}}=-{\sqrt {3}}$

$\varphi ={\frac {2}{3}}\pi$ (2. Quadrant!)

Eine der Wurzeln (der Hauptwert) ergibt sich aus

$w_{1}={\sqrt {r}}\cdot e^{i{\frac {\varphi }{2}}}={\sqrt {2}}\cdot e^{{\frac {1}{3}}\pi }$

$={\sqrt {2}}\cdot \left(\cos({\frac {1}{3}}\pi )+i\sin({\frac {1}{3}}\pi )\right)={\sqrt {2}}\cdot \left({\frac {1}{2}}+i\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right).$

Die andere Wurzel erhält man durch Vorzeichenumkehr:

$w_{2}=-w_{1}={\sqrt {2}}\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)$

Quadratwurzeln modulo n

Auch im Restklassenring $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ lassen sich Quadratwurzeln definieren. Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heißt $q$ eine Quadratwurzel von $x$, wenn gilt:

$q^{2}\equiv x\;\mathrm {mod} \;n$

Allerdings muss man sich zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo n anderer Methoden bedienen als beim Berechnen reeller oder komplexer Quadratwurzeln.

Um die Quadratwurzeln von $x$ modulo $n$ zu bestimmen, geht man folgendermaßen vor:

Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung von $n$:

$n=p_{1}^{m_{1}}\cdot p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}}$

und bestimmt die Lösungen modulo der jeweiligen Primpotenzen $p^{m}$. Diese Lösungen setzt man schließlich mit dem Chinesischen Restsatz zur gesuchten Lösung zusammen.

Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p

Für Primzahlen $p$ ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln zu $x$ so:

Um zu testen, ob $x$ überhaupt eine Quadratwurzel in $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ hat, verwendet man das Legendre-Symbol

$\left({\frac {x}{p}}\right)\equiv x^{\frac {p-1}{2}}\mod p$

denn es gilt:

$\left({\frac {x}{p}}\right)=\left\{{\begin{matrix}-1&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\mbox{ ist}}\\0&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ und }}p{\mbox{ nicht teilerfremd sind }}\\1&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ ein quadratischer Rest modulo }}p{\mbox{ ist}}\\\end{matrix}}\right.$

Im ersten Falle besitzt $x$ keine Quadratwurzel in Z/pZ und im zweiten Fall nur die Quadratwurzel 0. Der interessante Fall ist also der dritte Fall, und daher nehmen wir im folgenden an, dass $\left({\frac {x}{p}}\right)=1$ ist.

Berechnung für den Fall p = 3 mod 4

Ist das Legendre-Symbol $\left({\frac {x}{p}}\right)=1$, dann sind

$q\equiv \pm x^{\frac {p+1}{4}}{\mbox{ mod }}p$

die 2 Quadratwurzeln von $x$ modulo $p$.

Berechnung für den Fall p = 1 mod 4

Ist das Legendre-Symbol $(x|p)=1$, dann sind

$q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{\frac {p-1}{4}}+W_{\frac {p+3}{4}}\right){\mbox{ mod }}p$

die 2 Quadratwurzeln von $x$ modulo $p$. Hierbei wählt man r dergestalt, dass das Legendre-Symbol

$\left({\frac {r^{2}-4x}{p}}\right)=-1$

ist. Dazu einfach verschiedene Werte von r durchprobieren. Die Folge $W_{n}$ ist rekursiv definiert:

$W_{n}=\left\{{\begin{matrix}r^{2}/x-2&{\mbox{ wenn }}n=1\\W_{n/2}^{2}-2&{\mbox{ wenn }}n{\mbox{ gerade}}\\W_{(n+1)/2}W_{(n-1)/2}-W_{1}&{\mbox{ wenn }}n>1{\mbox{ ungerade}}\end{matrix}}\right.$

Rechenbeispiel für $x=3$ und $p=37$:

Nach obiger Formel sind die Quadratwurzeln von $x$ gegeben durch

$q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{9}+W_{10}\right){\mbox{ mod }}37$

Für $r$ findet man durch Probieren den Wert $r=2$, denn es ist

$\left({\frac {r^{2}-4x}{p}}\right)\equiv (r^{2}-4x)^{\frac {p-1}{2}}\equiv (-8)^{18}\equiv 36\equiv -1{\mbox{ mod }}37.$

Die Werte für $W_{9}$ und $W_{10}$ ergeben sich zu

${\begin{matrix}W_{1}&\equiv &r^{2}/x-2&\equiv &4/3-2&\equiv &24&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{2}&\equiv &W_{1}^{2}-2&\equiv &24^{2}-2&\equiv &19&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{3}&\equiv &W_{1}W_{2}-W_{1}&\equiv &24\cdot 19-24&\equiv &25&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{4}&\equiv &W_{2}^{2}-2&\equiv &19^{2}-2&\equiv &26&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{5}&\equiv &W_{2}W_{3}-W_{1}&\equiv &19\cdot 25-24&\equiv &7&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{9}&\equiv &W_{4}W_{5}-W_{1}&\equiv &26\cdot 7-24&\equiv &10&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\W_{10}&\equiv &W_{5}^{2}-2&\equiv &7^{2}-2&\equiv &10&\quad \mathrm {mod} \quad 37\\\end{matrix}}$

Einsetzen dieser Werte ergibt

$q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{9}+W_{10}\right)\equiv \pm {\frac {3}{4}}(10+10)\equiv \pm 15{\mbox{ mod }}37$

das heißt 15 und 22 sind die beiden Quadratwurzeln von 3 modulo 37.

Siehe auch

Schriftliches Wurzelziehen, Babylonisches Wurzelziehen, Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2, Wurzel (Mathematik), Modulo, Restklassenring, Wurzel aus 2