Maxwell-Boltzmann-Verteilung

In einem idealen Gas bewegen sich nicht alle Gasteilchen mit der gleichen Geschwindigkeit, sondern statistisch verteilt mit verschiedenen Geschwindigkeiten (siehe Kinetische Gastheorie).

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung (nach James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann; teilweise auch maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung genannt) gibt dabei an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich ein Gasteilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt.

Die Verteilung ist im dreidimensionalem Raum gegeben durch

$f(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {m}{\mathrm {k} T}}\right)^{3/2}v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2\mathrm {k} T}}\right)$,

wobei v die Teilchengeschwindigkeit, m die Teilchenmasse, k die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur des Gases ist. Die Wahrscheinlichkeit w, dass ein Gasteilchen eine Geschwindigkeit zwischen v₁ und v₂ besitzt, errechnet sich damit aus

$w=\int _{v1}^{v2}f(v)\,dv$.

Die folgenden beiden Abbildungen verdeutlichen die Abhängigkeit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung von der Masse und der Temperatur der Teilchen.

Datei:Maxwell-boltzmann-verteilung-abhaengigkeit-masse.PNG

Maxwell-Boltzmann-Verteilung von Wasserstoff (H2), Stickstoff (N2) und Chlor (Cl2)

Maxwell-Boltzmann-Verteilung von Stickstoff bei verschiedenen Temperaturen

Mit steigender Temperatur T nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit zu und die Verteilung wird gleichzeitig breiter. Mit steigender Teilchenmasse m hingegen nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit ab und die Geschwindigkeitsverteilung wird gleichzeit schmaler (Hinweis: m(H₂) = 2 u; m(N₂) = 14 u; m(Cl₂) = 71 u)

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v_w, also die Geschwindigkeit am Maximum der Verteilungsfunktion berechnet sich aus

$v_{\mathrm {w} }={\sqrt {{2kT} \over m}}$

und die durchschnittliche Geschwindigkeit v_d aus

$v_{\mathrm {d} }={\sqrt {{8kT} \over {\pi m}}}$.