Sehnentrapezformel

Mit der Sehnentrapezformel berechnet man Näherungen zu einem Integral zu der Funktion f(x), indem man eine Teilfläche unter der Kurve f(x) durch ein Trapez annähert. Das Trapez wird gebildet aus den Seiten [a,b], dem Intervall auf der x-Achse, den senkrechten Geraden [a,f(a)] und [b,f(b)] sowie der der Sehne als Verbindungsgerade zwischen f(a) und f(b). Diese Sehne ersetzt die Kurve f(x).

Die Sehnentrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:

$Q(f)={\frac {b-a}{2}}(f(a)+f(b))$

Diese Formel - und auch die folgenden - kann man herleiten aus der "Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche" (siehe Numerische Quadratur).

Damit lässt sich das Intergral darstellen als

$J(f)=\int _{a}^{b}f(x)dx=Q(f)+E(f)$

Ist f(x) zweimal stetig differenzierbar in [a,b], dann gilt für das Restglied E(f) folgende Abschätzung (siehe Numerische Quadratur):

$\left|E(f)\right|\leq {(b-a)^{3} \over 12}\max _{a\leq x\leq b}{\left|f''(x)\right|}$

Ist f(x) zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle ζ aus [a,b]:

$E(f)=-{(b-a)^{3} \over 12}{f''(\zeta )}$

Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall [a,b] in N nebeneinanderliegende gleich grosse Teilintervalle der Länge h. In jedem Teilintervall wendet man die Sehnentrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte Sehnentrapezformel:

$Q(f)=h\ ({1 \over 2}f(x_{0})+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})+{1 \over 2}f(x_{N}))$

mit h = (b-a) / N

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:

$\left|E(f)\right|\leq {(b-a) \over 12}h^{2}\max _{a\leq x\leq b}{\left|f''(x)\right|}$

bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle ζ aus dem Intervall [a,b]:

$E(f)=-{(b-a) \over 12}h^{2}f''(\zeta )$