In der Mathematik ist ein topologischer Ring ein Ring, welcher bezüglich der Addition eine topologische Gruppe ist, und dessen Multiplikation in der Topologie ebenfalls stetig ist.
Die Körper der rationalen, reellen und komplexen Zahlen sind topologische Ringe bezüglich der üblichen Topologie (des durch die Betragsfunktion definierten metrischen Raumes).
Nach seiner Definition trifft auf einen topologischer Ring alles zu, was über eine topologische Gruppe gesagt werden kann.
Ist der Ring R bezüglich seiner Addition eine topologische Gruppe, dann kann die Stetigkeit der Multiplikation durch Eigenschaften der Nullumgebungen charakterisiert werden: Wenn für eine beliebige Umgebungsbasis von Null, B(0) (Nullumgebungsbasis) gilt:
- für alle U in B(0) und alle x in R existiert V in B(0) so daß und und
- für alle U in B(0) existiert V in B(0) so daß ,
dann und nur dann ist die Multiplikation auf R stetig.