Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Matrizen, Vektoren und Vektorräumen.
Ein Vektor ist eine strukturierte Ansammlung von Zahlen:
/ 3 \ | 7 | | 6 | \ 1 /
(Spaltenvektor) oder
(3,7,3,8)
(Zeilenvektor). Die Bezeichnungen variieren:
- Kleinbuchstaben
- fetter Kleinbuchstaben
- unterstrichener Kleinbuchstaben
- Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber
Dieser Artikel verwendet Kleinbuchstaben.
Auch eine Matrix ist eine strukturierte Ansammlung von Zahlen:
/ 8 2 9 \ | 4 8 2 | | 8 2 7 | \ 5 9 1 /
Sie ist kann quadratisch sein (wichtiger Spezialfall). Matrizen werden meist mit Grossbuchstaben bezeichnet.
Der Einfachheit halber sind in diesem Artikel vorläufig alle Matrizen quadratisch, sie haben n Spalten und n Zeilen.
wichtigste Rechenregeln
- mit einem Index wird auf die Elemente eines Vektors (Bsp: x2) oder einer Matrix (Bsp: a13 ist dritte Element in der ersten Zeile) zugegriffen
- Vektoraddition: elementweise zusammenzählen
/ 1 \ / 3 \ / 4 \
| 2 | + | 7 | = | 9 |
\ 9 / \ 2 / \ 11 /
- Matrixaddition: elementweise zusammenzählen
/ 2 8 3 \ / 3 7 1 \ / 5 15 4 \
| 2 9 4 | + | 8 4 6 | = | 10 13 10 |
\ 7 3 1 / \ 7 3 4 / \ 14 6 5 /
- Skalarmultiplikation
/ 3 \ / 6 \
2*| 4 | = | 8 |
\ 1 / \ 2 /
/ 3 8 4 \ / 6 16 8 \
2*| 9 4 1 | = | 18 8 2 |
\ 4 7 2 / \ 8 14 4 /
- Matrixmultiplikation
C = A*B
cij = &sumnk=1aik bkj
- die Matrixmultiplikation funktioniert auch mit Matrizen und Vektoren. Dafür müssen im folgenden Beispiel diese Bedingungen erfüllt sein:
- x ist ein Spaltenvektor mit gleichvielen Einträgen wie A Spalten hat
- y ist ein Zeilenvektor mit gleichvielen Einträgen wie B Zeilen hat
- u ist ein Zeilen-, v ein Spaltenvektor. Die beiden Vektoren haben gleich viele Einträge
A*x y*B u*v
Wichtige Algorithmen der linearen Algebra
- Gauss-Algorithmus zum Lösen von linearen Gleichungssystemen
- Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren zur Konstruktion von Orthonormalbasen