Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt.

Definition

Für alle natürlichen Zahlen $n$ ist

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n.$

Außerdem ist

$0!=1.$

Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert; als Ersatz kann jedoch die Gammafunktion dienen.

Beispiele

• $1!=1\,$
• $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$
• $5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

Bemerkung

$n!=n\cdot (n-1)!$ für n > 0 folgt direkt aus der Definition. Zusammen mit der Eigenschaft $0!=1$ liefert dies eine rekursive Charakterisierung der Fakultät.

Bedeutung für die Kombinatorik

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil $n!$ als die Zahl der Möglichkeiten interpretiert werden kann, $n$ Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls $X$ eine $n$-elementige Menge ist, so ist $n!$ auch die Zahl der bijektiven Abbildungen $X\to X$ (die Anzahl der Permutationen).

Beispiel

Problem

Bei einem Autorennen starten 6 Fahrer. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge beim Zieleinlauf dieser Fahrer, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen?

Lösung

Für den ersten Platz kommen alle 6 Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den 3. Platz nur noch 4 Fahrer in Frage, usw. Es gibt also 6! = 720 verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Verwandte Begriffe

• Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$.

Er gibt u.a. die Anzahl der Möglichkeiten an, eine k-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge zu bilden. Hier ist das beliebteste Beispiel das Zahlenlotto mit

${49 \choose 6}={\frac {49!}{6!\,(49-6)!}}=13.983.816$

Möglichkeiten.

• Eine Verallgemeinerung der Fakultät für nicht natürlichzahlige Argumente kann mithilfe der Gammafunktion beschrieben werden, die für komplexe Zahlen $z$ mit $\mathrm {Re} \,z>0$ durch

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

definiert ist. Aus der Funktionalgleichung $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ und $\Gamma (1)=1$ folgt

$\Gamma (n+1)=n!$ für nichtnegative ganze Zahlen $n$.

Die Gammafunktion kann als meromorphe Funktion auf die gesamte komplexe Ebene fortgesetzt werden.

• Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, ist die Taylorreihe einer Funktion; insbesondere finden sich Fakultäten in den Potenzreihen der Sinusfunktion oder der Exponentialfunktion.

• Die Doppelfakultät, die wesentlich seltener als die Fakultät vorkommt, ist das Produkt

$n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdots 2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {gerade} \\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdots 1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {ungerade} .\end{cases}}$

Zum Beispiel ist (2n-1)!! die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von 2n Elementen. Sie werden auch als echt involutorische Permutationen bezeichnet. Damit meint man involutorische Permutationen ohne Fixpunkte. Häufig werden statt der Doppelfakultät die expliziten Ausdrücke

$(2k)!!=2^{k}\cdot k!$ bzw. $(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}\cdot k!}}$

benutzt.

• Auch die Subfakultät $!n$ ist außerhalb der Kombinatorik wenig verbreitet. Sie steht in engem Zusammenhang mit der Fakultät $n!$, sie bezeichnet die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n Elementen.

Numerische Berechnung

Der numerische Wert für n! kann gut rekursiv berechnet werden, falls n nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern noch ausgerechnet werden kann, ist dabei 69!, da $70!\approx 1,20\cdot 10^{100}>10^{100}$ schon außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches steht.

Wenn nun n sehr groß ist, kann man n! ziemlich gut durch die Stirling-Formel abschätzen:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

Dabei bedeutet $\sim$, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für $n\to \infty$ gegen 1 konvergiert.

Weblinks

• Seite über Fakultäten mit Quelltexten und weiteren Referenzen
• Eric W. Weisstein: Factorial. In: MathWorld (englisch).