Binomische Formeln

Die Binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zur Darstellung und zum Lösen von Quadrat-Binomen. Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern. Zum anderen erlauben sie die Term-Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte (die Faktorisierung), was bei der Vereinfachung von Bruchtermen, beim Radizieren von Wurzeltermen sowie Logarithmenausdrücken sehr oft die einzige Lösungsstrategie darstellt.

Die Formeln gelten in allen kommutativen Ringen.

Die Bezeichnung binomisch deutet nicht auf einen Mathematiker hin, sondern erklärt sich aus der Bedeutung von bi (zwei) und Nomen (Namen) (vgl. Binom). Gleichwohl taucht ein gewisser Alessandro Binomi in einigen Publikationen als ihr Urheber auf.

Formeln

$(a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$	1. Binomische Formel (Plus-Formel)
$(a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$	2. Binomische Formel (Minus-Formel)
$(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}$	3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)

Die Begründung der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen:

$(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

$(a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

$(a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}$

Diese Formeln, häufig in der Mathematik benutzt, bieten auch eine Hilfe beim Kopfrechnen. Das Quadrat einer beliebigen Zahl zwischen 10 und 100 lässt sich oft einfach mit der binomischen Formel bestimmen, indem man die Berechnung auf Quadrate von einfacheren Zahlen (Vielfache von 10 oder einstellige Zahlen) zurückführt. Beispielsweise ist

$37^{2}=(30+7)^{2}=30^{2}+2\cdot 30\cdot 7+7^{2}=1369$

Bei Kenntnis der Quadratzahlen bis 20 lassen sich auch viele Multiplikationen auf die dritte binomische Formel zurückführen. Beispielsweise ist

$17\cdot 13=(15+2)\cdot (15-2)=15^{2}-2^{2}=225-4=221$

Binomische Formeln lassen sich auch für höhere Potenzen angeben, diese Verallgemeinerung ist der binomische Lehrsatz. Man benutzt dazu die Binomialkoeffizienten, die mittels des Pascalschen Dreiecks leicht zu bestimmen sind.

Auch zur dritten Binomischen Formel gibt es eine Verallgemeinerung, die einem die Faktorisierung von $a^{n}$ - $b^{n}$ ermöglicht:

$a^{3}-b^{3}=(a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})$

$a^{4}-b^{4}=(a-b)\cdot (a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})$

oder allgemein für höhere Potenzen

$a^{n}-b^{n}=(a-b)\cdot (a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\ldots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$

Eine Faktorisierung von $a^{n}+b^{n}$ ist ebenfalls möglich, wenn n ungerade ist, z.B.:

$a^{3}+b^{3}=(a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})$

$a^{5}+b^{5}=(a+b)\cdot (a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4})$

Weblinks

• Binomische Formeln zum Online-Ausprobieren
• Binomische Formeln - Multiple Choice Test