Trägheitsmoment

Vorlage:Physikalische Größe Das Trägheitsmoment, auch Masseträgheitsmoment, oder Inertialmoment, ist eine skalare, physikalische Größe, die in der Mechanik die Trägheit eines starren Körpers gegenüber einer Änderung einer Rotationsbewegung angibt. Es entspricht der Masse bei Translationsbewegungen und wird deswegen in der älteren Literatur auch Drehmasse genannt. Die Trägheitsmomente eines Körpers hängen von seiner Form, der Lage der Drehachse und der Massenverteilung ab. Der Wert eines Trägheitsmoments bezieht sich daher immer auf eine bestimmte Achse.

Bedeutung

Anschaulich ist ein Vergleich zwischen einer geradlinigen Translationsbewegung (also der Bewegung entlang einer Geraden) und einer Drehbewegung:

• Werden ein Fahrrad und ein Eisenbahnwagen auf dieselbe Geschwindigkeit beschleunigt, so ist intuitiv klar, dass für dieselbe Beschleunigung der Eisenbahnwagen kräftiger angeschoben werden muss als das Fahrrad. Die erforderliche Kraft hängt von der zu beschleunigenden trägen Masse ab.
• Bei Rotationsbewegungen liegt die Sache anders. Werden zwei Kugeln gleicher Masse aber unterschiedlichen Durchmessers – etwa aus Holz und aus Blei – zum Rotieren gebracht, wird ihre Massenverteilung um die Drehachse relevant. Je weiter die Massen von der Drehachse entfernt sind, desto größer ist das Drehmoment um beide Kugeln in eine gleichschnelle Drehung zu versetzen. Für die größere Holzkugel ist so das größere Drehmoment nötig. Der Widerstand, den die Kugeln der Drehung entgegensetzen, wird durch das Trägheitsmoment beschrieben.

Mit einem einfachen Experiment kann man eine Änderung des Trägheitsmoments bei gleich bleibendem Drehimpuls veranschaulichen. Man versetzt sich auf einen Schreibtischstuhl, Arme und Beine ausgestreckt, in Drehung. Durch Anziehen von Armen und Beinen nimmt das Trägheitsmoment ab – mit der Folge, dass die Drehbewegung schneller wird. Erneutes Ausstrecken verlangsamt die Bewegung. Um den Effekt zu verstärken, kann man schwere Gegenstände, etwa Hanteln, in jede Hand nehmen. Je größer deren Masse, desto deutlicher wird dies.

Ein weiteres Beispiel ist der Pirouetteneffekt aus dem Eiskunstlaufen. Die Kontrolle der Drehgeschwindigkeit kann allein aus der Verlagerung der Körpermasse aus der Drehachse erfolgen. Zieht der Eiskunstläufer die Arme an, dreht er sich schneller – ein erneutes Schwung holen ist nicht nötig.

Siehe auch: Drehimpulserhaltung

Formelzeichen und Einheit

Die geläufigsten Formelzeichen für das Trägheitsmoment sind $J$ und $I$, zurückgehend auf das lateinische Wort iners, das untätig und träge bedeutet. Ebenfalls üblich ist ein $\Theta$ (großes Theta). In diesem Artikel wird durchgehend $J$ verwendet.

Die SI-Einheit des Trägheitsmoments ist $[J]=$kg m².

Berechnung

Relevant ist die Massenverteilung des Körpers um die Drehachse.

Massenverteilung

Für einzelne Massenpunkte berechnet sich das Trägheitsmoment mit der Summe:

$J=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$

mit $m_{i}$ für die Masse und $r_{i}$ für den senkrechten Abstand des $i$-ten Teilchens von der Drehachse. Ist die Drehachse die $x$-Achse, so lautet das zugehörige Trägheitsmoment

$J_{x}=\sum _{i}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})$

und nach dem Übergang zum Integral mit dem Volumen $V$ des aus den Massenpunkten zusammengesetzten Körpers:

$J=\int _{V}r^{2}\rho ({\vec {r}})\mathrm {d} V$

$\rho ({\vec {r}})$ ist die vom Ortsvektor abhängige Dichte.

Ist die Dichte konstant, vereinfacht sich die Berechnung zu

$J=\rho \int _{V}r^{2}\,\mathrm {d} V$

In diesem Fall spricht man von einer homogenen Masseverteilung. Weiter unten ist eine Beispielrechnung angegeben.

Trägheitstensor

Der Trägheitstensor $\mathrm {\Theta }$ eines Körpers ist eine Verallgemeinerung des Trägheitsmomentes dar. Mit seiner Hilfe lässt sich das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen, durch den Schwerpunkt gehenden Achse berechnen. Wenn ein starrer Körper um eine solche Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ rotiert, so lautet die Formel

$J={\frac {1}{\omega ^{2}}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}\Theta _{\alpha \beta }\omega _{\alpha }\omega _{\beta }$

oder in Matrixschreibweise

$J={\frac {1}{\omega ^{2}}}\,{\vec {\omega }}^{T}\cdot \mathrm {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}$

Herleitung

Sei der rotierende Körper aus einzelnen Massepunkten aufgebaut. Für die Ortsvektoren ${\vec {r}}_{i}$ der Massepunkte soll ein kartesisches Koordinatensystem verwendet werden, dessen Ursprung mit dem Schwerpunkt des Körpers zusammenfällt. Sei ${\vec {r}}_{i}$ der Ortsvektor des $i$-ten Massepunktes und $s_{i}$ sein Abstand von der Drehachse, dann gilt

$s_{i}={\sqrt {({\vec {r}}_{i})^{2}-\left({\frac {\vec {\omega }}{\omega }}\cdot {\vec {r}}_{i}\right)^{2}}}$

und somit für das Trägheitsmoment

$J=\sum _{i}m_{i}s_{i}^{2}=\sum _{i}m_{i}\left(({\vec {r}}_{i})^{2}-\left({\frac {\vec {\omega }}{\omega }}\cdot {\vec {r}}_{i}\right)^{2}\right)={\frac {1}{\omega ^{2}}}\sum _{i}m_{i}\left(({\vec {\omega }})^{2}({\vec {r}}_{i})^{2}-\left({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{i}\right)^{2}\right)$

$={\frac {1}{\omega ^{2}}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\left\{\sum _{i}m_{i}\left(({\vec {r}}_{i})^{2}\delta _{\alpha \beta }-r_{i\alpha }r_{i\beta }\right)\right\}\omega _{\alpha }\omega _{\beta }={\frac {1}{\omega ^{2}}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\Theta _{\alpha \beta }\omega _{\alpha }\omega _{\beta }$

mit dem Trägheitstensor

$\Theta _{\alpha \beta }=\sum _{i}m_{i}\left(({\vec {r}}_{i})^{2}\delta _{\alpha \beta }-r_{i\alpha }r_{i\beta }\right)$.

Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Achse

Illustration der Steiner-Regel. Drehachse 1 geht durch den Schwerpunkt des Körpers der Masse m. Drehachse 2 ist um den Abstand d verschoben.

Ist das Trägheitsmoment $I_{\mathrm {S} }$ für eine Achse durch den Schwerpunkt eines Körpers bekannt, so kann mit Hilfe des Satz von Steiner das Trägheitsmoment $I$ für eine beliebige parallel verschobene Drehachse berechnet werden. Die Formel lautet:

$\left.J=J_{\mathrm {S} }+md^{2}\right.$

Dabei gibt $d$ den Abstand der Achse durch den Schwerpunkt zur parallel verschobenen Drehachse an.

Man kann die Steiner-Regel für zwei beliebige parallele Drehachsen verallgemeinern. Dazu muss die Steiner-Regel zweimal hintereinander angewendet werden: Zunächst verschiebe man die Drehachse so, dass sie durch den Schwerpunkt des Körpers geht, danach auf den gewünschten Zielort.

$J_{\mathrm {neu} }=J_{\mathrm {alt} }+m(d_{\mathrm {neu} }^{2}-d_{\mathrm {alt} }^{2})$

Wenn der Trägheitstensor für einen Körper bekannt ist, so lassen sich mit diesem und dem Satz von Steiner die Trägheitsmomente des Körpers für Rotationen um eine beliebige Drehachse im Raum berechnen.

Besondere Rotationsachsen

Hauptträgheitsachsen

Betrachtet man einen unregelmäßig geformten Körper, der um eine Achse durch seinen Schwerpunkt rotiert, so variiert dessen Trägheitsmoment je nach Lage der Drehachse. Dabei gibt es zwei Achsen, bezüglich derer das Trägheitsmoment des Körpers maximal bzw. minimal ist. Diese Achsen stehen immer senkrecht zueinander und bilden zusammen mit einer dritten, wiederum senkrecht auf beiden stehenden Achse die Hauptträgheitsachsen des Körpers.

Die Hauptträgheitsachsen fallen mit eventuell vorhandenen Symmetrieachsen des Körpers zusammen. Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich groß, so sind alle Drehachsen in der Ebene, die von den zugehörigen Hauptträgheitsachsen aufgespannt wird, ebenfalls Hauptträgheitsachsen mit dem gleichen Trägheitsmoment. Das ist bei zylindersymmetrischen Körpern unmittelbar klar, gilt aber z. B. ebenso für einen Stab mit quadratischer oder hexagonaler Grundfläche. Für den Fall, dass alle Hauptträgheitsmomente identisch sind, ist jede Drehachse durch den Schwerpunkt eine Hauptträgheitsachse mit dem gleichen Trägheitsmoment. Für alle regelmäßigen Körper wie Kugel, Tetraeder, Würfel, usw. ist demnach das Trägheitsmoment für jede Achse durch den Schwerpunkt gleich groß.

Siehe auch: Trägheitsellipsoid

Eingespannte Achsen

Wenn ein starrer Körper um eine fest eingespannte Achse mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ rotiert, so lässt sich der Drehimpuls $L$ aus

${\vec {L}}=J{\vec {\omega }}$

berechnen. Dabei ist J das Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse ${\vec {\omega }}$. Die kinetische Energie der Rotation, auch kurz als Rotationsenergie bezeichnet, kann durch

$E_{kin,rot}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}={\frac {L^{2}}{2J}}$

ausgedrückt werden. Diese Formeln zeigen die Analogie zu den entsprechenden Formeln für Impuls und kinetische Energie der Translationsbewegung.

Bei freier Rotation ohne feste Achse zeigen Drehachse und Drehimpuls nicht mehr in die gleiche Richtung. Zur korrekten Berechnung muss hier das Trägheitsmoment durch den Trägheitstensor ersetzt werden. Einzige Ausnahme ist eine freie Rotation um eine der Hauptträgheitsachsen.

Beispiele

Trägheitsmomente von Himmelskörpern

Fast alle größeren Körper im Weltall (Sterne, Planeten) sind angenähert kugelförmig und rotieren mehr oder weniger schnell. Das Trägheitsmoment um die Rotationsachse ist immer das größte des Himmelskörpers.

Die Differenz dieses „polaren“ und des äquatorialen Trägheitmoments hängt mit der Abplattung des Körpers zusammen, also seiner Verformung der reinen Kugelgestalt durch die Fliehkraft der Rotation. Bei der Erde liegt diese Differenz bei 0,3 Prozent, entspricht also fast der Erdabplattung von 1:298,24. Beim rasch rotierenden Jupiter sind diese Relativwerte rund 20mal größer.

Das Trägheitsmoment eines Himmelskörpers lässt wegen r² im obigen Integral auf die innere Konzentration seiner Masse schließen. Jenes der Erde ist viel kleiner, als wenn sie homogen aufgebaut wäre. Daraus kann man errechnen, dass der Erdkern aus Eisen (oder metallisch verdichtetem Wasserstoff) besteht.

Hauptträgheitsmomente einfacher geometrischer Körper

Wenn nicht ausdrücklich anders angegeben, liegt der Schwerpunkt auf der Drehachse auf die sich das Trägheitsmoment bezieht. Das Trägheitsmoment für Drehungen um andere Achsen kann man dann mit Hilfe der Satz von Steiner berechnen.

Vorlage:Highlight1 | Abbildung	Vorlage:Highlight1 | Beschreibung	Vorlage:Highlight1 | Trägheitsmoment
	Eine Punktmasse im Abstand $r$ um eine Drehachse.	$J=m\cdot r^{2}$
	Ein Zylindermantel, der um seine Symmetrieachse rotiert.	$J=m\cdot r^{2}$
	Ein Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.	$J={1 \over 2}m\cdot r^{2}$
	Ein Hohlzylinder, der um seine Körperachse rotiert. Das „+“ sieht zunächst verblüffend aus, doch die Masse ist nicht wie beim Vollzylinder homogen verteilt, sondern liegt ausschließlich im Außenbereich. Ein Hohlzylinder hat also, bei gleicher Masse, im Vergleich zum Vollzylinder ein größeres Trägheitsmoment.	$J={1 \over 2}m\cdot (r_{2}^{2}+r_{1}^{2})$
	Ein Vollzylinder, der um eine Achse rotiert, die senkrecht zur Symmetrieachse liegt.	$J={1 \over 4}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}$
	Ein Zylindermantel der senkrecht zu seiner Körperachse rotiert.	$J={1 \over 2}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}$
	Ein dünner Stab, der senkrecht zur Symmetrieachse rotiert. Diese Formel ist eine Näherung für einen Zylinder mit $r\ll l$.	$J={1 \over 12}m\cdot l^{2}$
	Dünner Stab, der senkrecht zu seiner Körperachse um ein Ende rotiert. Diese Formel ist die Anwendung der Steiner-Regel auf den dünnen Stab.	$J={1 \over 3}m\cdot l^{2}$
	Eine Kugelschale, die um den Mittelpunkt rotiert, für eine Wandstärke $d\ll r$.	$J={2 \over 3}m\cdot r^{2}$
	Eine massive Kugel, die um den Mittelpunkt rotiert.	$J={2 \over 5}m\cdot r^{2}$
	Ein Quader, der um eine Achse rotiert, die parallel zu einer seiner Kanten liegt.	$J={1 \over 12}m\cdot (a^{2}+b^{2})$

Beispielrechnung: Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel

Zum Verständnis dieses Abschnittes sind grundlegende Kenntnisse der Integralrechnung und Koordinatentransformation hilfreich.

Um das Trägheitsmoment einer massiven homogenen Kugel bezüglich einer Drehachse durch den Kugelmittelpunkt zu berechnen, wird das im Abschnitt „Berechnung“ angegebene Integral verwendet. Der Einfachheit halber soll der Kugelmittelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems liegen und die Drehachse entlang der $z$-Achse verlaufen. Um das Integral

$J=\rho \int _{V}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V$

auszuwerten, empfiehlt es sich statt kartesischen lieber Kugelkoordinaten zu verwenden. Beim Übergang müssen dabei die kartesischen Koordinaten x,y,z und das Volumenelement dV durch die Kugelkoordinaten $r,\vartheta ,\varphi$ ausgedrückt werden. Das geschieht mithilfe der Ersetzungsregeln

$x=r\sin \vartheta \cos \varphi$

$y=r\sin \vartheta \sin \varphi$

$z=r\cos \vartheta$

und der Funktionaldeterminanten

$\mathrm {d} V=r^{2}\sin \vartheta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi .$

Einsetzen in den Ausdruck für das Trägheitsmoment liefert

$J=\rho \int _{0}^{R}\!\mathrm {d} r\,\int _{0}^{\pi }\!\mathrm {d} \vartheta \,\int _{0}^{2\pi }\!\mathrm {d} \varphi \,r^{4}\sin ^{3}\vartheta$

Hier zeigt sich der Vorteil der Kugelkoordinaten: Die Integralgrenzen hängen nicht voneinander ab. Die beiden Integrationen über r und $\varphi$ lassen sich daher elementar ausführen. Das verbleibende Integral in

$J={\frac {2}{5}}\pi \rho R^{5}\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\vartheta \,\mathrm {d} \vartheta$

kann durch partielle Integration mit

$u=\sin ^{2}\vartheta$

$v^{\prime }=\sin \vartheta$

gelöst werden:

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\vartheta \,\mathrm {d} \vartheta ={\frac {4}{3}}.$

Für das Trägheitsmoment ergibt sich schließlich:

$J={\frac {2}{5}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi \rho R^{5}={\frac {2}{5}}\rho VR^{2}={\frac {2}{5}}MR^{2}$

Experimentelle Bestimmung

Zur Messung eines Trägheitsmoments eines Körpers verwendet man einen Drehtisch. Dieser besteht aus einer Kreisscheibe, die um ihre Symmetrieachse drehbar ist und einer Schneckenfeder. Sie bewirkt bei einer Drehung der Scheibe ein rücktreibendes Drehmoment $D$, das direkt proportional zum Auslenkwinkel $\phi$ ist: $D=-D_{r}\phi$. Die Proportionalitätskonstante $D_{r}$ nennt man Direktionsmoment oder Richtmoment. Ihr Wert hängt von der Stärke der Feder ab. Die Scheibe führt nun harmonische Schwingungen mit der Schwingungsdauer

$T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {I_{0}}{D_{r}}}}$,

aus, wobei $I_{0}$ das Trägheitsmoment der Scheibe ist. Legt man nun zusätzlich einen Körper mit bekanntem Trägheitsmoment $I_{1}$ auf die Scheibe, so ändert sich die Schwingungsdauer zu

$T_{1}=2\pi {\sqrt {\frac {I_{0}+I_{1}}{D_{r}}}}$.

Aus der Differenz

$T_{1}^{2}-T_{0}^{2}=4\pi ^{2}{\frac {I_{1}}{D_{r}}}$

lässt sich das Direktionsmoment $D_{r}$ des Drehtisches bestimmen und aus obiger Formel für $T_{0}$ erhält man dann das Trägheitsmoment $I_{0}$ des Drehtisches. Legt man nun einen beliebigen Körper auf den Drehtisch, so kann man sein Trägheitsmoment $I$ bezüglich der Rotationsachse aus der gemessenen Schwingungsdauer

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{0}+I}{D_{r}}}}$

berechnen.

Siehe auch

• Flächenträgheitsmoment
• Kreisel

Literatur

• Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage 1994, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 2000, ISBN 3-86025-122-8
• Ernst W. Otten: Repetitorium Experimentalphysik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1998, ISBN 3-540-62987-4
• Torsten Fließbach: Mechanik. 3. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1999, ISBN 3-8274-0546-7
• Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko: Classical mechanics. International Edition, 3. Auflage, Pearson/Addison Wesley, Upper Saddle River, N.J., 2002, ISBN 0-321-18897-7

Weblinks

Wikibooks: Die Mechanik starrer Körper – Lern- und Lehrmaterialien

• Trägheitsmomente geometrischer Körper bei Matheplanet – Anleitungen zum Berechnen diverser Trägheitsmomente mit Beispielen.
• Umrechner für Trägheitsmomente – Kleines Programm um Trägheitsmomente in amerikanische Maßeinheiten und zurück zu rechnen.