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Fraktal

selbstähnliche Mengen und Geometrien
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Fraktal (Adjektiv oder Substantiv) ist ein von Benoit Mandelbrot (1977) geprägter Begriff (aus dem lateinischen adjektiv: fractus; von dem lat. Verb frangere: brechen, in Stücke zerbrechen, irregulär), der alle natürlichen oder künstlichen Gebilde oder Muster bezeichnet, die einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit aufweisen.

Berühmtes Fraktal: die Mandelbrot-Menge

Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten Dimension nach Hausdorff und stellte fest, dass fraktale Gebilde als Räume (oder mathematische Gebilde) mit einer nicht-ganzzahligen Dimension angesehen werden können. (Zur Erinnerung: ein Zahlenstrahl oder eine Linie hat die Dimension 1, eine Fläche die Dimension 2, ein Raum die Dimension 3.) Daher wird nach ihm alles, was eine gebrochene Dimension aufweist, als Fraktal bezeichnet. In Mandelbrots Worten:

A fractal is by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.
Ein Fraktal ist laut Definition eine Menge, deren Hausdorff-Besikowitsch Dimension (auch: "fraktale Dimension") ihre topologische Dimension echt übersteigt.

Die fraktale Dimension ist ein Maß für die Vervielfachung der selbstähnlichen Einheiten eines Fraktals mit wachsender Vergrößerung der fraktalen Struktur.

Beispiele

Linie, Quadrat, Koch'sche Schneeflocke, ...

Die Selbstähnlichkeit muss nicht perfekt sein, wie die erfolgreiche Anwendung der Methoden der fraktalen Geometrie auf natürliche Gebilde wie Bäume, Wolken, Küstenlinien, etc. zeigen. Die genannten Objekte sind in mehr oder weniger starkem Maß selbstähnlich strukturiert (ein Baumzweig sieht ungefähr so aus wie ein verkleinerter Baum), die Ähnlichkeit ist jedoch nicht streng, sondern stochastisch. Im Gegensatz zu Formen der euklidischen Geometrie, die bei einer Vergrößerung oft flacher und flacher und damit einfacher werden (z.B. Kreis), können bei Fraktalen immer komplexere und neue Details auftauchen.

Mandelbrot fand heraus, dass kein Fraktal in der Ebene eine Dimension größer als e haben kann. (?)

Fraktale Muster werden oft durch rekursive Operationen erzeugt. Auch einfache Erzeugungsregeln ergeben nach wenigen Rekursionsschritten schon komplexe Muster.

 

Ein künstlich erzeugter Baum. Siehe Applet.

Ein Fraktal im dreidimensionalen Raum ist der Menger-Schwamm.

Ein ähnliches Fraktal wie die Mandelbrot-Menge ist das Newton-Fraktal:

Datei:FRACT008.GIF

Es wird über das Newton-Verfahren, das zur Nullstellenberechnung verwendet wird, berechnet.

Verfahren zur Erzeugung von Fraktalen

Fraktale können auf viele verschiedene Arten erzeugt werden, doch alle Verfahren beinhalten ein rekursives Vorgehen. Mögliche Verfahren sind:

  • Die Iteration von Funktionen ist die einfachste und bekannteste Art, Fraktale zu erzeugen; die Mandelbrot-Menge entsteht so. Eine besondere Form dieses Verfahrens sind IFS (Iterierte Funktionensysteme), bei denen mehrere Funktionen kombiniert werden. So lassen sich natürliche Gebilde erstellen.
  • Dynamische Systeme erzeugen fraktale Gebilde, so genannte seltsame Attraktoren.
  • L-Systeme, die auf wiederholter Textersetzung beruhen, eigenen sich sehr gut zur Modellierung natürlicher Gebilde wie Pflanzen und Zellstrukturen.

Fraktale, die sich geometrisch konstruieren lassen

 
Kochsche Schneeflocke
Datei:Pfeil.PNG
Pfeilspitzen-Fraktal
Datei:Gc 3.PNG
Gosper-Kurve
Datei:Pepl 3.PNG
Penta Plexity

Fraktal L-System Winkel Strecken-Verhältnis
Drachenkurve 
F -> R
R -> +R--L+
L -> -R++L-
45°  
Gosper-Kurve 
F -> R
R -> R+L++L-R--RR-L+
L -> -R+LL++L+R--R-L
60°  
Hilbert-Kurve
Koch-Kurve 
F -> F+F--F+F
60° 1:1/3
Peano-Kurve
Penta Plexity 
F++F++F++F++F
F -> F++F++F|F-F++F
36°  
Pfeilspitze 
F -> R
R -> -L+R+L-
L -> +R-L-R+
60° 1:1/2
Sierpinski-Dreieck
Sierpinski-Teppich

Fraktale in der Natur

Sehr leicht kann man Fraktale auch in der Natur und im täglichen Leben beobachten. Sofort fällt einem die fraktale Struktur des grünen Blumenkohls und Farnen in das Auge. Auch bei bestimmten Bäumen kann man eine fraktale Struktur erkennen.

Literatur

Siehe auch

Chaostheorie, Apfelmännchen, Julia-Menge, Chaos-Spiel, Menger-Schwamm, Lindenmayer-Systeme, Digitale Kunst


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