Binomialkoeffizient

Definition des Binomialkoeffizienten:

Sei p eine reelle und q eine nicht-negative ganze Zahl (natürliche Zahl oder null). Dann nennt man

${p \choose q}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {p(p-1)(p-2)\cdots (p-q+1)}{q!}}&{\mbox{für }}q>0\\1&{\mbox{für }}q=0\end{matrix}}\right.$

den Binomialkoeffizienten "p über q".

Für nicht-negatives ganzzahliges p lässt sich der Binomialkoeffizient auch schreiben als

${p \choose q}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {p!}{q!(p-q)!}}&{\mbox{für }}q\leq p\\0&{\mbox{für }}q>p\end{matrix}}\right.$

Beispiele:

${5 \choose 3}={\frac {5!}{3!2!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3}{3!}}={\frac {60}{6}}=10$

${2{,}5 \choose 2}={\frac {2{,}5\cdot 1{,}5}{2!}}={\frac {3{,}75}{2}}=1{,}875$

${-1 \choose n}={\frac {(-1)\cdot (-2)\cdots (-n)}{n!}}=(-1)^{n}$

${p \choose 1}=p$

${p \choose p}=1$

Der Name "Binomialkoeffizient" kommt vom Auftreten in der binomischen Reihe

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}x^{k}$

Ist α ganzzahlig, so bricht die Reihe nach dem Glied k=α ab, d.h. alle weiteren Glieder sind 0.

Beispiele:

$(1+x)^{2}={2 \choose 0}x^{0}+{2 \choose 1}x^{1}+{2 \choose 2}x^{2}=1+2x+x^{2}$

${\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{-1 \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}$

${\sqrt {1+x}}=(1+x)^{1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }{1/2 \choose k}x^{k}$

Eine mögliche Anwendung des Binomialkoeffizienten ist die Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit p Elementen q Elemente auszuwählen, ohne auf die Reihenfolge bei der Auswahl zu achten. Damit lässt sich z.B. die Anzahl der Möglichkeiten beim deutschen Lotto 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl oder Superzahl) berechen:

${49 \choose 6}=13.983.816$

Die Betafunktion B(x,y) erlaubt eine Erweiterung der Definition auf reelle q, aber nur für q>-1 und p-q>-1:

${p \choose q}={\frac {1}{(p+1)B(q+1,p-q+1)}}$

siehe auch: Polynomialkoeffizient, Fakultät