Koch-Kurve

Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve. Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte. Die Koch-Kurve ist eins der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal und wurde bei der Entdeckung als Monsterkurve bezeichnet. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht.

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Eigenschaften

Eigenschaften aus der fraktalen Geometrie

Die Koch-Kurve ist nach ihrer Konstruktionsvorschrift streng selbstähnlich, das heißt es erscheinen bei beliebiger Vergrößerung immer wieder die gleichen Strukturen.

Sie hat eine Hausdorff-Dimension von

{\frac {\log(4)}{\log(3)}}\approx 1,26

Länge und Flächeninhalt

Die Länge der Kurve ist unbegrenzt, da der Streckenzug bei jedem Iterationsschritt um den Faktor 4/3 länger wird. Nach dem $n$ -ten Iterationsschritt ist die Kurvenlänge auf das $(4/3)^{n}$ -fache angewachsen.

Die (oben grün eingefärbte) Fläche „unterhalb“ der Kurve ist hingegen begrenzt. Wenn das Dreieck unterhalb der ersten Iteration den Flächeninhalt 1 hat, kommt bei der zweiten Iteration an jeder der 4 Strecken ein Dreieck mit Flächeninhalt 1/9 hinzu, und bei der $n$ -ten Iteration kommt ein Flächeninhalt von $4^{n-1}\cdot (1/9)^{n-1}$ hinzu. Der gesamte Flächeninhalt berechnet sich demnach als geometrische Reihe zu

\sum _{n=0}^{\infty }\left({4 \over 9}\right)^{n}={1 \over 1-4/9}={9 \over 5}

.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Die Kurve ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar. Zur Untersuchung dieser Eigenschaften betrachtet man die Parameterdarstellung $f_{n}\colon [0,1]\to {\mathbb {R} }^{2}$ der $n$ -ten Iteration und deren Grenzfunktion $f(t)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(t)$ . Wenn man $t\in [0,1]$ als Zeitpunkt auffasst, ist $f_{n}(t)$ derjenige Punkt auf dem Streckenzug nach der $n$ -ten Iteration, den man zum Zeitpunkt $t$ erreicht, wenn man den Streckenzug mit konstanter Geschwindigkeit (allerdings mit $4^{n-1}-1$ abrupten Richtungsänderungen) vom linken zum rechten Endpunkt durchläuft. Die Funktionen $f_{n}$ sind alle stetig und konvergieren gleichmäßig gegen die Grenzfunktion $f$ , die nach einem Satz der Analysis darum ebenfalls stetig ist.

Kochsche Schneeflocke

Beginnt man den Ersetzungsprozess der Koch-Kurve nicht mit einer Strecke, sondern mit einem gleichseitigen Dreieck, dann erhält man die kochsche Schneeflocke. Sie besteht aus drei Koch-Kurven und schließt trotz ihrer unendlichen Länge nur einen Bereich mit endlicher Fläche ein.

Programmierbeispiel

Ein Programm in Logo zur Erzeugung einer Koch-Kurve mit :stufe Iterationsschritten lautet:

to kurve :stufe :laenge
make "stufe :stufe - 1
make "laenge :laenge / 3
if :stufe > 0 [kurve :stufe :laenge rt 60 kurve :stufe :laenge lt 120 kurve :stufe :laenge rt 60 kurve :stufe :laenge]
if :stufe = 0 [fd :laenge rt 60 fd :laenge lt 120 fd :laenge rt 60 fd :laenge]
end

Die Schneeflocke kann durch folgendes Programm approximiert werden:

to flocke :stufe :laenge
repeat 3 [kurve :stufe :laenge lt 120]
end

Ein Programm in KTurtle zur Erzeugung einer Koch-Kurve mit 3 Stufen und der Länge 200 lautet:

 
 reset
 canvassize 850,550
 go 125,350
 turnright 90

 learn koch x,t [
  if (t>0) [
    t = t-1
    x = x/3
    koch x,t
    turnleft 60
    koch x,t
    turnright 120
    koch x,t
    turnleft 60
    koch x,t
    ] else [
      forward 3*x
    ]
  ]

  koch 200,3

Erstveröffentlichungen

Helge von Koch, Une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire. Arkiv för Matematik 1 (1904) 681-704.
Helge von Koch, Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes. Acta Mathematica 30 (1906) 145-174.

Weblinks

Commons: Koch-Kurve – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien