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| Zahlengerade |
Reelle Zahlen sind eine Erweiterung der rationalen Zahlen um Zahlen, denen man sich mit rationalen Zahlen beliebig annähern kann. Die Menge der reellen Zahlen steht anschaulich in einer umkehrbar eindeutigen Beziehung (einer Bijektion) mit den Punkten auf der Zahlengeraden.
Die reellen Zahlen, die nicht rational sind, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel ist eine irrationale Zahl, weil sie nicht rational ist, aber man sich ihr beliebig annähern kann, zum Beispiel mit dem Heron-Verfahren (nach Heron von Alexandria)
oder mit den endlichen Dezimalbrüchen
- 1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421, 1,414213, 1,4142135, ...
Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol R (stark betont dargestellt) verwendet. Weil dies handschriftlich nicht darstellbar ist, hat sich das Symbol eingebürgert. Der Name "reelle Zahlen" wurde eingeführt, um sie von imaginären Zahlen zu unterscheiden.
Die reellen Zahlen und Funktionen von R nach R sind der Untersuchungsgegenstand der reellen Analysis.
Einteilung der reellen Zahlen
Der Bereich der reellen Zahlen besteht also aus den rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie -1, 0, 1 und Bruchzahlen wie 3/4 und -2/3) und den irrationalen Zahlen (z. B. π (pi) und √2). Dabei ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar (Cantorsches Diagonalverfahren) und die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar.
Die Menge der reellen Zahlen lässt sich auch zerlegen in die Menge der algebraischen, reellen Zahlen (die reellen Lösungen algebraischer Gleichungen) und die Menge der transzendenten, reellen Zahlen (die übrigen). Dabei ist jede rationale Zahl auch algebraisch. Die Menge der algebraischen Zahlen ist immer noch abzählbar. Die Menge der transzendenten Zahlen ist überabzählbar. Die Menge der reellen Zahlen besteht - aus dieser Sicht betrachtet - also sozusagen fast nur aus transzendenten Zahlen.
Konstruktion von R aus Q
Die Menge der reellen Zahlen wird mathematisch als Vervollständigung der rationalen Zahlen definiert. Das heißt, reelle Zahlen sind Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dabei sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch.
Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein geordneter Körper.
Eine weitere Konstruktionsmöglichkeit ist die Darstellung der reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen. Dabei nutzt man aus, dass R die einzige Menge ist, in der jede nach oben beschränkte Teilmenge eine kleinste obere Schranke hat und "vervollständigt" die rationalen Zahlen in Bezug auf diese Eigenschaft
Bei der Lösung von kubischen Gleichungen stellte man fest, dass mitunter eine Quadratwurzel aus negativen Zahlen gezogen werden muß, was zur Einführung der komplexe Zahlen führt ( Casus irreducibilis).
Axiomatische Einführung der reellen Zahlen
Die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen ist etwas mühselig. Eine weitere Möglichkeit, die reellen Zahlen zu erfassen ist, sie axiomatisch einzuführen. Im wesentlichen benötigt man dazu drei Gruppen von Axiomen - das Körperaxiom, die Ordnungsstruktur sowie die Ordnungsvollständigkeit.
- Die reellen Zahlen sind ein Körper (Mathematik)
- Die reellen Zahlen sind geordnet, d.h.
- für beliebige a,b aus R gilt: a < b oder a = b oder a > b (totale Ordnung)
- aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität)
- aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit mit der Addition)
- aus a < b und c > 0 folgt ac < bc (Verträglichkeit mit der Multiplikation)
- für beliebige a,b aus R gilt: a < b oder a = b oder a > b (totale Ordnung)
- Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von besitzt ein Supremum