Der Shapley-Wert ist ein Konzept aus der kooperativen Spieltheorie um eine "gerechte" Kostenaufteilung unter einer Menge von Spieler zu erreichen.
Sei N die Menge der Spieler, n = |N| und v die charakteristische Funktion des Spiels (v(S) ist der Wert der Koalition = die Höhe der Kosteneinsparung durch Koalitionsbildung).
Dann ist der Shapley-Wert (Auszahlung) für Spieler i definiert als
Er ist die einzige Auszahlungsfunktion, die die drei Axiome
- Symmetrie: Nummerierung der Spieler darf Ergebnis nicht beeinflussen
- Effizienz: ein Spieler erhält nur dann eine Auszahlung, wenn sein Beitritt den Wert der Koalition erhöht
- Aggregation: wenn das Spiel in zwei unabhängige Spiele zerlegt werden kann mit den charakteristischen Funktionen v und w, dann soll die Auszahlung jedes Spielers in zusammengesetzten Spiel der Summe der Auszahlungen in den aufgeteilten Spielen entsprechen
erfüllt.
Erklärung der Auszahlungsfunktion
Im Term
gibt der Zähler die Anzahl möglicher Permuatationen an, in denen Spieler i nach einer beliebige Reihenfolge von Spieler aus S kommt. n! ist die Anzahl aller möglichen Permutationen. Also ergibt der Term zusammen den Anteil an Permuatationen, in denen Spieler i nach den Spieler aus S und vor den Spieler aus N\S auftritt.
Der Term
- (v(S)-v(S\setminus\lbrace i\rbrace)
gibt die inkrementellen Kosten an, die entstehen, wenn i der Koalition S beitritt.