Explizites Euler-Verfahren

Zur numerischen Lösung des Anfangswert-Problems

${\dot {x}}=f(x,t)\quad ,\quad x(t_{0})=x_{0}$

für eine gewöhnliche Differential-Gleichung wähle man eine Diskretisierungs-Schrittweite $h>0$, betrachte die diskreten Zeitpunkte

$t_{k}=t_{0}+kh\quad ,\quad k=1,2,\dots$

und berechne die iterierten Werte

$x_{k+1}=x_{k}+hf(x_{k},t_{k})\quad ,\quad k=1,2,\dots$

Die berechneten Werte $x_{k}$ stellen Approximationen an die tatsächlichen Werte $x(t_{k})$ der exakten Lösung des Anfangswert-Problems dar.

Je kleiner man die Schrittweite $h$ wählt, desto mehr Rechenarbeit hat man, aber desto besser werden auch die approximierten Werte.

Eine Modifikation des Verfahrens besteht hier darin, dass man die Schrittweite variabel wählt. Eine sinnvolle Veränderung der Schrittweite setzt einen Algorithmus zur Schrittweiten-Steuerung voraus, der den Fehler im aktuellen Schritt abschätzt und dann die Schrittweite für den nächsten Schritt dementsprechend wählt.

Das Eulersche Polygonzug-Verfahren ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswert-Problems und es lässt sich im Wesentlichen durch zwei verschiedene Ideen auf effizientere Verfahren verallgemeinern.
Die erste Idee ist, bei der Berechnung des nächsten Schrittes mehr als nur einen der zuvor berechneten Werte mit einzubeziehen. Auf diese Weise erhält man die Klasse der linearen Mehrschrittverfahren.
Die zweite Idee ist, bei der Berechnung des nächsten Schrittes die Funktion $f(x,t)$ auf dem Intervall $[t_{k},t_{k+1}]$ an mehreren Stellen auszuwerten. Auf diese Weise erhält man die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren.
Die Klasse der Allgemeinen linearen Verfahren bezieht beide Ideen der Verallgemeinerung mit ein und enthält die Klasse der linearen Mehrschrittverfahren sowie die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren als Spezialfall.