Liste besonderer Zahlen

Besondere Zahlen sind Zahlen, die eine oder mehrere auffällige Eigenschaften besitzen - im Sinne der Zahlentheorie (Vollkommene Zahlen, Mersenne-Zahlen, Primzahlen, Dreieckszahlen, usw.) oder auch anderer Bereiche der Mathematik. Auch besondere Zahlen im Sinne der Zahlenmystik oder der Populärkultur können hier verzeichnet werden. Da diese Liste geordnet ist, ist eine Liste besonderer komplexer Zahlen hintenangestellt.

Ob eine Zahl besonders ist, oder nicht, lässt sich mathematisch nicht scharf fassen, ohne sofort auf den Widerspruch zu stoßen, dass die kleinste natürliche Zahl, die keine besondere Zahl ist, eben deshalb besonders ist. Aus diesem Grund ist eine Liste der besonderen Zahlen immer unvollständig.

Bis 0

• −1: Die größte negative ganze Zahl. Jede reelle Zahl lässt sich als Produkt aus −1 und ihrem Additionsinversen darstellen. Im Körper der komplexen Zahlen ist −1 = i².

Bis 1

• 0: Die Zahl Null ist in jedem Zahlenkörper enthalten; neutrales Element der Addition. Die Ziffer 0 ermöglicht unser Stellenwertsystem.
• 0,00729735253329...: (ca. 1/137) Feinstrukturkonstante, vielleicht die wichtigste dimensionslose Zahl der Physik.
• 0,2078795763... = iⁱ: Die imaginäre Einheit i zur Potenz i hat den reellen Wert e^-π/2 (siehe auch Eulersche Identität).
• 0,22474487...:relativer Abstand der optimalen Auflagenpunkte von den Rändern eines gleichmäßig belasteten Balkens (Bessel-Punkte).
• 0,5772156...: Euler-Mascheroni-Konstante γ.
• 0,6180339887...: Kehrwert des Goldenen Schnitts φ und zugleich der um eins verringerte Goldene Schnitt: ${\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1$
• 0,9159655941...: Catalansche Konstante   $G={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-...$
• 1: Kleinste natürliche Zahl; ist in jedem Zahlenkörper enthalten; neutrales Element der Multiplikation.

Bis 10

• 1,2020569031...: Apérysche Konstante und gleichzeitig Wert der Riemannschen Zetafunktion  ζ(3)
• 1,2912859970...: Grenzwert der Folge    ${\frac {1}{1^{1}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{5}}}+...$
• 1,4142135623...: √2, d. h. die Wurzel aus zwei. Länge der Diagonale eines Quadrats der Kantenlänge eins. Seitenverhältnis verschiedener Papierformate, darunter DIN A4.
• 1,6180339887...: Goldener Schnitt φ.
• 1,6449340668...: Wert der Riemannschen Zetafunktion  ζ(2) =  π²/6
• 1,90216054...: Brunsche Konstante (Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge)
• 2: Kleinste (und einzige gerade) Primzahl. Mann und Frau, Yin und Yang.
• 2,718281828459...: Eulersche Zahl e.
• 3: Kleinste ungerade Primzahl. Anzahl der Quarks in einem Kernteilchen, Anzahl der Leptonenfamilien. Anzahl aller guten Dinge. Sooft krähte der Hahn (Passion). Mitgliederzahl der Dreieinigkeit.
• 3,14159265...: Kreiszahl π
• 4: Anzahl der Elemente in der Antike. 4 = 2 + 2 = 2 × 2 = 2².
• 4,6692016091029...: Feigenbaum-Konstante: Fixpunkt der logistischen Gleichung, Übergang ins Chaos.
• 5: Anzahl der platonischen Körper. Fermat-Zahl F₁. Bestandteil der beiden Primzahl-Zwillinge (3;5) und (5;7).
• 6: Kleinste ideale Zahl. Sechs Quarks (u, d, t, b, s und c). Erste vollkommene Zahl und dritte Dreieckszahl.
• 7: Anzahl der Todsünden. Anzahl der Kristallsysteme des dreidimensionalen Gitters. Im Christentum: Anzahl der Tage des Schöpfungszyklus, Buch mit sieben Siegeln u. a. Häufig auch in Märchen benutzt (sieben Zwerge, sieben Berge, sieben Geißlein, Siebenmeilenstiefel usw.). Verflixtes siebentes Jahr.
• 7,5: (Sette e mezzo): italienisches Kartenspiel.
• 8: Basis des Oktalsystems
• 8,5: (Otto e mezzo): Titel von Fellinis ungefähr achtem oder neuntem Film, in Anspielung auf 7,5.
• 9: Erste ungerade nicht-Primzahl.
• 10: Basis unseres Dezimalsystem; Anzahl der Finger, die zehn Gebote

Bis 100

• 11: Kleinste Schnapszahl, närrische Zahl im Rheinischen Karneval (Elferrat); kleinste Primzahl, aus der sich keine Mersenne-Primzahl bauen lässt.
• 12: Basis frühgeschichtlicher Zahlsysteme und ein Symbol der Vollkommenheit; taucht häufig in biblischen Erzählungen auf (Jünger, Stämme). 12 ist die Anzahl der Stunden die sich die Sonne am Tag zeigt und die Anzahl der Monate des Jahres.
• 13: Die Wilde Dreizehn; Unglückszahl; kleinste Mirpzahl
• 14: Anzahl der Bravais-Gitter.
• 15: Kleinste Pseudoprimzahl.
• 15,154262241479...: e^e
• 16: Basis des Hexadezimalsystems
• 17: Fermat-Zahl F₂. 7. Primzahl. Exponent der 6. Mersenne-Zahl; Anzahl der kristallografischen Gruppen in der Ebene.
• 20: Flächenzahl des Ikosaeders
• 23: Zahl der Illuminaten.
• 23,140692632779...: e ^π
• 24: Anzahl der Stunden eines Tages.
• 26: Anzahl der sporadischen Gruppen; Anzahl der Buchstaben im lateinischen Alphabet.
• 27,322: Die Anzahl der Tage, die der Mond für einen Umlauf um die Erde benötigt (siderischer Monat).
• 28: Zweite vollkommene Zahl und die siebte Dreieckszahl.
• 32: Anzahl der Kristallklassen im dreidimensionalen Kristallgitter; Anzahl der Flächen, aus denen ein Fußball zusammengenäht ist; Anzahl der Karten beim Skat.
• 36,4621596072079...:  π ^π
• 40 steht als Symbol für Prüfung, Bewährung, Initiation, Tod.
• 42: Die Antwort schlechthin.
• 43: Ordnugszahl des ersten chemischen Elements ohne stabile Isotope (Technetium)
• 47: Diese Zahl findet in nahezu jeder Folge der Fernsehserien Raumschiff Enterprise: Das nächste Jahrhundert, Star Trek: Voyager und Star Trek: Deep Space Nine in irgend einer Form Verwendung.
• 52: Heilige Zahl der Mayas, nach 52 Jahren beginnt der Kalender neu
• 56: Grenzwert zur Wurstkatastrophe.
• 60: Basis des Babylonischen Zahlsystems; die Ordnung der Ikosaedergruppe.
• 61: Ordnungszahl des zweiten Elements ohne stabile Isotope (Promethium)
• 66: Alter, in dem das Leben erst anfängt.
• 69: Symbol für gegenseitigen Oralverkehr; Liedtitel von Serge Gainsbourg.
• 75: "Kronjuwelenhochzeit", höchste Bezeichnung für die Dauer von Jahren nach einer Eheschließung.
• 83: Ordnungszahl von Bismut, dem Element mit der höchsten Ordnungszahl, welches ein stabiles Isotop besitzt.
• 88: Sprichwörtlich: "Egal wie ~"; Szenekürzel für "HH" / Heil Hitler unter Neonazis (da H der 8. Buchstabe des Alphabets ist)
• 90: Rechter Winkel, gemessen in Altgrad
• 91: Erste relativ gute Pseudoprimzahl
• 97: Oft gewählt als Beispiel für eine beliebige Zahl; viele Bibliotheken stempeln Seite 97.
• 99: Anzahl der Luftballons; Anzahl der Bierflaschen auf der Mauer.
• 100: Hundert. Anzahl der Jahre eines Jahrhunderts.

Bis 1000

• 105: Das Kreisteilungspolynom Φ₁₀₅ ist das erste, dessen Koeffizienten nicht alle −1, 0 oder 1 lauten.
• 111: 3 × 37
• 113: Kleinste dreistellige Mirpzahl (113 und 311 sind Primzahlen)
• 128: Anzahl der Zeichen in einem 7-Bit-Code (ASCII).
• 137,035 999 76(50): Kehrwert der Feinstrukturkonstante.
• 144: 1 Gros, 12 Dutzend
• 153: Steht in der christlichen Zahlensymbolik für die gesamte Menschheit.
• 168: Anzahl der Stunden einer Kalenderwoche.
• 196: kleinste und bekanteste Lychrel-Zahl
• 216: Kubikzahl, die sich als Summe dreier Kubikzahlen darstellen lässt: 6³ = 3³ + 4³ + 5³
• 230: Die Anzahl der Symmetrietypen von Kristallen (Raumgruppe).
• 256: Anzahl der mit einem Byte darstellbaren Zeichen.
• 257: Fermat-Zahl F₃.
• 341: Kleinste Pseudoprimzahl zur Basis 2
• 360: Anzahl der Tage eines Jahres bei der Zinsrechnung (in Deutschland). Anzahl der Grade eines Vollkreises, gemessen in Altgrad.
• 365: Anzahl der Tage im Kalenderjahr
• 366: Anzahl der Tage im Schaltjahr
• 496: Dritte vollkommene Zahl
• 511: 7 × 73      111₂ × 1001001₂ = 111.111.111₂      2⁹ − 1
• 561: Kleinste Carmichael-Zahl
• 563: Dritte und derzeitig größte bekannte Wilson-Primzahl
• 666: Mystisch die "Zahl des großen Tiers"; Symbolisch für den Teufel/Satan.
• 777: Mystisch/biblisch die "göttliche Zahl"; mit der Bedeutung der absoluten Perfektion.
• 880: Anzahl der magischen Quadrate vierter Ordnung, die nicht durch Spiegelung oder Drehung auseinander hervorgehen.
• 888: "Christus-Zahl"
• 945: Kleinste ungerade abundante Zahl.
• 1000: Tausend. Größte römische Ziffer (M).

Bis 10.000

• 1001: Arabische magische Zahl. Produkt der vierten, fünften und sechsten Primzahl (7, 11 und 13)
• 1009: Kleinste vierstellige Mirpzahl (1009 und 9001 sind Primzahlen)
• 1024: Umrechnungszahl bei Speichereinheiten (z. B. 1024 KiB = 1 MiB)
• 1337: Schreibweise von leet
• 1111: 11 × 101
• 1233: 12² + 33²
• 1729: Kleinste Zahl, die sich auf zwei verschiedene Weisen als Summe zweier dritter Potenzen darstellen lässt: 10³ + 9³ = 12³ + 1³. Geht auf eine Anekdote zurück, in der Srinivasa Ramanujan seinen Mentor G. H. Hardy darauf hinweist, dass die Nummer seines Taxis keine gewöhnliche Zahl sei. Außerdem ist 1729 die erste Carmichael-Zahl der Form (6n + 1) × (12n + 1) × (18n + 1).
• 2047: M₁₁ = 2¹¹ − 1: die kleinste Mersenne-Zahl, die nicht prim, also keine Mersenne-Primzahl ist: 2047 = 23 × 89
• 8128: Vierte vollkommene Zahl
• 8833: 88² + 33²
• 9841: 13 × 757      111₃ × 1001001₃ = 111.111.111₃
• 10.000: Eine Myriade

Bis 1 Million

• 10.100: 10² + 100² (gilt für die b-adischen Systeme: 2 bis 20, vermutlich aber für alle b-adischen Systeme >= 2)
• 16.843: Erste Wolstenholme-Primzahl
• 18.980: Ist 52 × 365 - soviel Tage beträgt die Kalender-Periode der Mayas
• 29.341: 10. Carmichael-Zahl, kleinste Pseudoprimzahl zu den Basen 2, 3, 5, 7 und 11.
• 41.041: Kleinste Carmichael-Zahl mit 4 Primfaktoren
• 63.973: Carmichael-Zahl M₄(1)
• 65.536: 2¹⁶; Verwendung in der EDV (Farbtiefe).
• 65.537: Fermat-Zahl F₄
• 86.400: Anzahl der Sekunden eines Tages
• 131.071: Mersenne-Primzahl M₁₇
• 142.857: Kleinste nicht-triviale Zyklische Zahl.
• 144.000: Mystisch/biblische Zahl der Geretteten am Tag des jüngsten Gerichts.
• 294.409: Carmichael-Zahl M₃(6)
• 524.287: Mersenne-Primzahl M₁₉
• 990.100: 990² + 100²
• 1.000.000: Eine Million

Bis 1 Milliarde

• 2.124.679: Zweite Wolstenholme-Primzahl
• 3.674.160: Anzahl der Positionen eines Rubik-Würfels der Größe 2 × 2 × 2 (Pocket Cube), die durch manuelles Verdrehen erreicht werden können.
• 5.882.353: 588² + 2.353²
• 13.983.816: Anzahl der möglichen Kombinationen im Lotto 6 aus 49.
• 19.173.961: 73 × 262.657      111₈ × 1001001₈ = *33.550.336: Fünfte vollkommene Zahl

111.111.111₈

• 41.312.432: Einzige Zahl, die nur eine Ziffer zwischen den beiden Einsen, zwei Ziffern zwischen beiden Zweien, drei Ziffern zwischen beiden Dreien und vier Ziffern zwischen beiden Vieren enthält.
• 56.052.361: Carmichael-Zahl M₃(35)
• 94.122.353: 9.412² + 2.353²
• 111.111.111: 111 × 1001001 = (3 × 37) × (3 × 333.667)
• 118.901.521: Carmichael-Zahl M₃(45)
• 172.947.529: Carmichael-Zahl M₃(51)
• 216.821.881: Carmichael-Zahl M₃(55)
• 228.842.209: Carmichael-Zahl M₃(56)
• 232.248.983: 131 × 1.772.893      111₁₁ × 1001001₁₁ = 111.111.111₁₁
• 275.305.224: Anzahl der magischen Quadrate 5. Ordnung, die nicht durch Spiegelung oder Drehung auseinander hervorgehen.
• 1.000.000.000: Eine Milliarde (engl.: one billion, one milliard)

Ab 1 Milliarde

• 1.299.963.601: Carmichael-Zahl M₃(100)
• 2.147.483.647: Mersenne-Primzahl M₃₁
• 2.301.745.249: Carmichael-Zahl M₃(121)
• 4.294.967.297: Anhand dieser Zahl widerlegte Euler eine Vermutung von Fermat - siehe Fermatsche Primzahl.
• 8.589.869.056: Sechste vollkommene Zahl
• 26.947.368.421: 421 × 64.008.001      111₂₀ × 1001001₂₀ = 111.111.111₂₀
• 39.714.002.239: 463 × 85.775.383      111₂₁ × 1001001₂₁ = 111.111.111₂₁
• 137.438.691.328: Siebte vollkommene Zahl
• 192.739.365.541: Carmichael-Zahl M₄(45)
• 461.574.735.553: Carmichael-Zahl M₄(56)
• 1.000.000.000.000: Eine Billion (engl.: one trillion)
• 10.028.704.049.893: Carmichael-Zahl M₄(121)
• 39.859.693.877.551: 2.551 × 15.625.125.001      111₅₀ × 1001001₅₀ = 111.111.111₅₀
• 61.728.399.382.716: Die 11.111.111te Dreieckszahl, ein Palindrom.
• 1.000.000.000.000.000: Eine Billiarde (engl.: one quadrillion)
• 1.387.908.063.808.891: 6.163 × 225.200.075.257      111₇₈ × 1001001₇₈ = 111.111.111₇₈
• 9.585.921.133.193.329: Die kleinste Carmichael-Zahl nach dem System von Richard G. E. Pinch
• 35.417.244.247.309.081: 13.807 × 2.565.165.803.383      111₁₁₇ × 1001001₁₁₇ = 111.111.111₁₁₇
• 1.000.000.000.000.000.000: Eine Trillion (engl.: one quintillion)
• 2.305.843.008.139.952.128: Achte vollkommene Zahl
• 2.305.843.009.213.693.951: Mersenne-Primzahl M₆₃
• 43.252.003.274.489.856.000: Anzahl der Positionen eines Rubik-Würfels der Größe 3 × 3 × 3, die durch manuelles Verdrehen erreicht werden können.
• 1.000.000.000.000.000.000.000: Eine Trilliarde (engl.: one sextillion)
• 1.000.000.000.000.000.000.000.000: Eine Quadrillion (engl.: one septillion)
• 618.970.019.642.690.137.449.562.111: Mersenne-Primzahl M₈₉
• 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000: Eine Quadrilliarde (engl.: one octillion)
• 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000: Eine Quintillion (engl.: one nonillion)
• 162.259.276.829.213.363.391.578.010.288.127: Mersenne-Primzahl M₁₀₇
• 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000: Eine Quintilliarde (engl.: one decillion)
• 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000: Eine Sextillion (engl.: one undecillion)
• 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176: Neunte vollkommene Zahl
• 170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727: Mersenne-Primzahl M₁₂₇
• 10³⁹: Eine Sextilliarde
• 10⁴²: Eine Septillion
• 10⁴⁵: Eine Septilliarde
• 7.401.196.841.564.901.869.874.093.974.498.574.336.000.000.000: Anzahl der Positionen eines Rubik-Würfels der Größe 4 × 4 × 4 (Master Cube), die durch manuelles Verdrehen erreicht werden können.
• 10⁴⁸: Eine Oktillion
• 10⁵¹: Eine Oktilliarde
• 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000: Ist die Ordnung der Monstergruppe (der größten sporadischen Gruppe).
• 10⁵⁴: Eine Nonillion
• 10⁵⁷: Eine Nonilliarde
• 10⁶⁰: Eine Dezillion
• 10⁶³: Eine Dezilliarde
• 10⁶⁶: Eine Undezillion
• 10⁶⁹: Eine Undezilliarde
• 10⁷²: Eine Duodezillion
• 10⁷⁵: Eine Duodezilliarde
• 282.870.942.277.741.856.536.180.333.107.150.328.293.127.731.985.672.134.721.536.000.000.000.000.000: Anzahl der Positionen eines Rubik-Würfels der Größe 5 × 5 × 5 (Professor's Cube), die durch manuelles Verdrehen erreicht werden können.
• 10⁷⁸: Eine Tredezillion
• 10⁸⁰: Geschätzte Anzahl der Elementarteilchen im Weltall
• 10¹⁰⁰: Ein Googol, gab der Suchmaschine Google ihren Namen.
• 10⁶⁰⁰: Eine Centillion
• 2^16.384 + 1: Kleinste Zahl, die zugleich eine Fermat-Zahl F₁₄ und eine Carmichael-Zahl C₄₉₃₃ ist; eine Zahl mit 4.933 Dezimalstellen
• 2^24.036.583 − 1: die größte bekannte Primzahl, eine Zahl mit 7.235.733 Dezimalstellen
• 70388830...50240001: Mit 16.142.049 Stellen die, bis 1996, größte gefundene Carmichael-Zahl die 1.101.518 verschiedene Primteiler besitzt. Gefunden wurde sie von Löh und Niebuhr.
• 10^Googol ($10^{10^{100}}$): Googolplex
• $10^{10^{10^{34}}}$: Skewes Zahl, lange Zeit (1931-1971) die größte in einem mathematischen Beweis verwendete endliche Zahl. (siehe MathWorld)
• 10^Googolplex ($10^{10^{10^{100}}}$): Googolplexplex
• 10^{Googolplexplex}: Googolplexplexplex
• 10^{Googolplexplexplex}: Googolplexplexplexplex
• Grahams Zahl: Verdrängte Skewes Zahl von Platz 1. (siehe MathWorld)
• Fantastilliarde: Vermögen von Dagobert Duck

Unendliche Größen

• ∞: Unendlich, in bestimmten Rechensystemen der Kehrwert von 0, ist größer als alle Zahlen dieser Liste und ist selbst keine Zahl. Mit ∞ lässt sich zwar in beschränktem Umfang rechnen, jedoch sind viele Ausdrücke, die ∞ enthalten, entweder selbst ∞ oder nicht definiert.
• $\aleph _{0}$ (aleph 0): Die abzählbare Mächtigkeit der natürlichen, rationalen und algebraischen Zahlen. Kleinste transfinite Zahl. Siehe auch Kardinalzahlen.
• c: Die überabzählbare Mächtigkeit der irrationalen, transzendenten, reellen und komplexen Zahlen und Quaternionen, kann auch - sofern die Kontinuumshypothese akzeptiert wird - als $2^{\aleph _{0}}$ betrachtet werden.

Komplexe Zahlen

In dieser Teilliste sind besondere komplexe Zahlen versammelt, die nicht reell sind.

• i: Eine komplexe Zahl, deren Quadrat den Wert −1 hat, die andere Quadratwurzel von −1 ist −i. i und −i sind vierte Einheitswurzeln. Siehe auch imaginäre Zahlen.
• (−1 ± √3)/2: die primitiven dritten Einheitswurzeln; die dritte Potenz dieser beiden Zahlen ist −1.
• πi: Liefert als Argument der Exponentialfunktion den Wert ; −1, siehe Eulersche Identität.
• 2πi: Periode der komplexen Exponentialfunktion.

siehe auch Liste von Zahlennamen

Literatur

• F. Le Lionnais: Les Nombres Remarquables. Hermann, Paris 1983
• David Wells: Das Lexikon der Zahlen. Fischer, Frankfurt am Main 1991, ISBN 3596101352

Weblinks

• The secret lives of numbers