Jacobische Thetafunktion

In der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bilden die Thetafunktionen eine spezielle Klasse von Funktionen mehrerer komplexer Variablen. Systematisch untersucht wurden sie zuerst von Carl Gustav Jakob Jacobi.

Thetafunktionen spielen eine Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und der quadratischen Formen. Eingeführt wurden sie 1829 von Jacobi in seinem Buch Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Jacobi verwendete für sie den griechischen Buchstaben $\Theta$ und gab ihr den Namen Thetafunktion. Sie ist bei Jacobi die Grundlage seiner Behandlung elliptischer Funktionen, systematisch entwickelt in seinen Vorlesungen. Die Bedeutung der Thetafunktion für die Theorie elliptischer Funktionen erkannte schon Carl Friedrich Gauß, veröffentlichte dies aber nicht. Die Thetafunktion selbst war in Spezialfällen schon Leonhard Euler und Johann I Bernoulli bekannt. Weitere Beiträge zur Theorie der Thetafunktion stammten im 19. Jahrhundert insbesondere von Karl Weierstrass, Bernhard Riemann, Frobenius und Henri Poincaré.

Thetafunktionen tauchen zum Beispiel bei der Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf.

Definition

Klassische Thetafunktion

Die klassische jacobische Thetafunktion ist definiert durch

$\vartheta (z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}$

Die Reihe ist in $\mathbb {C} \times \mathbb {H}$ normal konvergent, dabei bedeutet $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \mid \Im (z)>0\}$ die obere Halbebene. Für festes $\tau \in \mathbb {H}$ ist also $\vartheta (\cdot ,\tau )$ eine ganze Funktion, für festes $z\in \mathbb {C}$ ist $\vartheta (z,\cdot )$ eine auf $\mathbb {H}$ holomorphe Funktion.

Weitere Thetafunktionen

Verallgemeinert wird die Thetafunktion so definiert:

$\Theta _{a,b}(z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\left(n+{\frac {a}{2}}\right)^{2}\tau +2\pi i(n+{\frac {a}{2}})z+\pi inb}$

Neben der klassischen Thetafunktion findet man in der Literatur vor allem drei weitere Thetafunktionen, nämlich:

$\Theta _{0}(z,\tau ):=\Theta _{0,1}(z,\tau ):=\vartheta \left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\cdot e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}$

$\Theta _{2}(z,\tau ):=\Theta _{1,0}(z,\tau ):=e^{\pi i{\frac {\tau }{4}}+\pi iz}\cdot \vartheta \left(z+{\frac {\tau }{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\tau +2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)z}$

$\Theta _{1}(z,\tau ):=-\Theta _{1,1}(z,\tau ):=-e^{\pi i{\frac {\tau }{4}}+\pi i\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}\cdot \vartheta \left(z+{\frac {\tau +1}{2}},\tau \right)=-i\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\cdot e^{\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\tau +2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)z}$

Die jacobische Thetafunktion wird in dieser Schreibweise als Θ₃(z,𝜏) bzw. Θ₀,₀(z,𝜏) bezeichnet.

Die Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson definierten folgende Thetafunktionen:

$\vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]$

$\vartheta _{01}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]$

$\vartheta _{10}(v;w)=2w^{1/4}\cos(v)\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n}+w^{4n}]$

Dabei gilt dieser Zusammenhang:

$\vartheta _{00}[\pi z;\exp(i\pi \tau )]=\Theta _{0,0}(z,\tau )$

$\vartheta _{01}[\pi z;\exp(i\pi \tau )]=\Theta _{0,1}(z,\tau )$

$\vartheta _{10}[\pi z;\exp(i\pi \tau )]=\Theta _{1,0}(z,\tau )$

Theta-Nullwert

Unter dem Theta-Nullwert versteht man jeweils die Thetafunktion für den Wert $z=0$, also beispielsweise für die jacobische Thetafunktion die Reihe:

$\vartheta (\tau ):=\vartheta (0,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }=1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }$

Analog gilt:

$\vartheta _{00}(0;x)=\vartheta _{00}(x)$

$\vartheta _{01}(0;x)=\vartheta _{01}(x)$

$\vartheta _{10}(0;x)=\vartheta _{10}(x)$

Eigenschaften

Nullstellen

Für festes $\tau \in \mathbb {H}$ hat die Thetafunktion einfache Nullstellen an den Stellen

$z=k+m\tau +{\frac {\tau +1}{2}},k,m\in \mathbb {Z}$.

Transformationsformel

Die Thetafunktion ist periodisch in beiden Variablen, es gilt:

$\vartheta (z+1,\tau )=\vartheta (z,\tau +2)=\vartheta (z,\tau )$

Darüber hinaus gilt die wichtige Transformationsformel

$\vartheta \left(z,{\frac {-1}{\tau }}\right)=e^{\pi iz^{2}\tau }{\sqrt {\frac {\tau }{i}}}\vartheta (z\tau ,\tau )$

Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf

$\vartheta \left({\frac {-1}{\tau }}\right)={\sqrt {\frac {\tau }{i}}}\vartheta (\tau ).$

Bei der Wurzel ist dabei jeweils der Hauptzweig zu nehmen.

Produktdarstellung

Die Thetafunktion lässt sich mit Hilfe des jacobischen Tripelproduktes auch als unendliches Produkt darstellen, es gilt:

$\vartheta (z,\tau )=\prod _{n=1}^{\infty }(1-e^{2\pi in\tau })(1+e^{\pi i[(2n-1)\tau +2z]})(1+e^{\pi i[(2n-1)\tau -2z]})$

Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf

$\vartheta (\tau )=\prod _{n=1}^{\infty }(1-e^{2\pi in\tau })(1+e^{\pi i(2n-1)\tau })^{2}$

Aus dieser Darstellung folgt insbesondere, dass $\vartheta (\tau )$ keine Nullstellen in der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ hat.

Integraldarstellung

Die Thetafunktion besitzt eine Integraldarstellung:

$\vartheta (z,\tau )=i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2\pi uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}{\text{d}}u$

Die zugehörige Theta-Nullwertfunktion hat für positive x-Werte diese Integraldarstellung:

$\vartheta _{00}(x)=1+{\frac {4x}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-y^{2})\{1-x^{2}\cos[2{\sqrt {\ln(1/x)}}\,y]\}}{1-2x^{2}\cos[2{\sqrt {\ln(1/x)}}\,y]+x^{4}}}\,\mathrm {d} y$

Diese Formel wurde im Aufsatz Square series generating function transformations von der Mathematikerin Maxie Schmidt aus Georgia behandelt.

Differentialgleichung

Die Thetafunktion spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der Wärmeleitung, für reelle $x$ und $t>0$ ist sie eine Lösung der partiellen Differentialgleichung

${\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it),$

wie man durch Einsetzen von

$\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-n^{2}\cdot \pi \cdot t+2\pi inx}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\cdot \pi \cdot t}\cos {(2\pi nx)}$

sieht. Dies entspricht einer Fourierentwicklung im Ortsraum mit Koeffizienten mit exponentiell abfallender Zeitabhängigkeit.

Jacobi-Identität

Die Theta-Nullwerte erfüllen die sogenannte Jacobi-Identität:

$\Theta _{3}(\tau )^{4}=\Theta _{0}(\tau )^{4}+\Theta _{2}(\tau )^{4}$

Verallgemeinert kann die Jacobi-Identität auf folgende Theoreme erweitert werden:

$\vartheta _{00}(a+b;c)\vartheta _{00}(a-b;c)\vartheta _{00}(c)^{2}=\vartheta _{01}(a;c)^{2}\vartheta _{01}(b;c)^{2}+\vartheta _{10}(a;c)^{2}\vartheta _{10}(b;c)^{2}$

$\vartheta _{01}(a+b;c)\vartheta _{01}(a-b;c)\vartheta _{01}(c)^{2}=\vartheta _{00}(a;c)^{2}\vartheta _{00}(b;c)^{2}-\vartheta _{10}(a;c)^{2}\vartheta _{10}(b;c)^{2}$

Zusammenhang mit Modulformen und elliptischen Funktionen

Zusammenhang mit der dedekindschen Etafunktion

Die Thetafunktion hängt eng zusammen mit der dedekindschen Etafunktion, es gilt:

$\vartheta (0,\tau )={\frac {\eta ^{2}({\frac {\tau +1}{2}})}{\eta (\tau +1)}}$

Die Thetafunktion als Modulform zu einer Untergruppe der Modulgruppe

Mittels der Thetafunktion lassen sich Modulformen definieren. Setzt man $f(\tau ):=\vartheta ^{8}(\tau )$, so gilt aufgrund des Transformationsverhaltens:

$f(\tau +2)=f(\tau )\quad {\text{und}}\quad f\left({\frac {-1}{\tau }}\right)=\tau ^{4}f(\tau )$

Die Funktion $f(\tau )$ ist also eine Modulform vom Gewicht 4 zu der von den beiden Transformationen $\tau \mapsto \tau +2$ und $\tau \mapsto {\frac {-1}{\tau }}$ erzeugten Untergruppe $\Gamma _{\vartheta }$ der Modulgruppe $\Gamma$.

Quotienten von Thetafunktionen

Die Thetafunktion lässt sich zur Definition elliptischer Funktionen heranziehen. Setzt man etwa für festes $\tau \in \mathbb {H} \colon$

$f(z)={\frac {\vartheta ^{2}(z+{\frac {1}{2}},\tau )}{\vartheta ^{2}(z,\tau )}}$,

so ist $f(z)$ eine elliptische Funktion zum Gitter $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau$.

Auf ähnliche Weise lässt sich auch die Weierstraßsche ℘-Funktion konstruieren. Erfüllt nämlich eine holomorphe Funktion $f(z)$ die beiden Bedingungen

$f(z+1)=f(z)$

$f(z+\tau )={\text{e}}^{-az-b}f(z)$

für ein festes $\tau \in \mathbb {H}$, so ist die zweite logarithmische Ableitung eine elliptische Funktion zum Gitter $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau$. Beispielsweise gilt für die Weierstraßsche ℘-Funktion:

$\wp (z)=-{\frac {{\text{d}}^{2}}{{\text{d}}z^{2}}}\log \Theta _{1}(z,\tau )+c$

mit einer passenden Konstanten $c$.

Summen und Produkte

Darstellungen der Theta-Nullwerte als Summen und Produkte

Folgende Identitäten gelten für die Theta-Nullwerte der Thetafunktionen in ihren reellen Formen:

$\vartheta _{00}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x^{k^{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}$

$\vartheta _{01}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{k^{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}$

$\vartheta _{10}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x^{(k+{\frac {1}{2}})^{2}}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}$

Bei dieser Schreibweise gibt die erste tiefgestellte Zahl nach dem Theta die Verschiebung der Exponentenbasis um 1/2 in der Summendarstellung an.

Die zweite tiefgestellte Zahl entscheidet über die Alternierung der Vorzeichen in der Summendarstellung.

Pochhammer-Produkte

Für folgendes unendliche Produkt in Darstellung mit dem Pochhammer-Symbol gilt diese Identität:

$(x;x^{2})_{\infty }=2^{1/6}x^{1/24}\vartheta _{01}(x)^{1/3}\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{10}(x)^{-1/6}$

Srinivasa Ramanujan entdeckte diese Identität und schrieb sie in seinem berühmten Werk Modular Equations and Approximations to π nieder.

Ebenso wurde dieser Zusammenhang von Julius Wilhelm Richard Dedekind erkannt und in seiner Theorie über die Etafunktion behandelt.

Für das Eulersche Produkt gilt folgende Identität:

$(x;x)_{\infty }=3^{-1/2}x^{-1/24}\vartheta _{10}({\tfrac {1}{6}}\pi ;x^{1/6})=2x^{-1/24}\vartheta _{10}(x^{1/6})\vartheta _{01}(x^{1/6})\vartheta _{00}(x^{1/6})^{2/3}\vartheta _{00}(x^{1/2})[9\vartheta _{00}(x^{1/2})^{4}-\vartheta _{00}(x^{1/6})^{4}]^{-2/3}$

Auch der Rogers-Ramanujan-Kettenbruch ist mit den Thetafunktionen darstellbar:

$R(x)=x^{1/5}{\frac {(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/10})\vartheta _{01}(x^{1/10})\vartheta _{10}(x^{1/10})}{\vartheta _{00}(x^{5/2})\vartheta _{01}(x^{5/2})\vartheta _{10}(x^{5/2})}}{\biggr ]}^{1/3}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }$

Dabei wird mit $R(x)$ die Kettenbruchfunktion ausgedrückt.

Sie dient zum Lösen der allgemeinen quintischen Gleichungen in Bring-Jerrard-Form.

Zusammenhang mit zahlentheoretischen Funktionen

Mit Hilfe der Thetafunktion und deren Produktdarstellung lässt sich der Pentagonalzahlensatz beweisen.

Als weitere Anwendung erhält man eine Formel für die dritte Potenz des Euler-Produktes:

$\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{3}=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(2m+1)q^{(m^{2}+m)/2}$

Werte der Theta-Nullwertfunktionen

Berechnung der Theta-Nullwerte

Für die Thetafunktionen ϑ₁₀ und ϑ₀₀ in reeller Form gelten folgende Formeln:

$\vartheta _{10}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]=\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+{\tfrac {1}{2}})^{2}\pi {\sqrt {x}}]={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+{\tfrac {1}{2}})\pi {\sqrt {x}}]{\biggr \}}^{1/2}=$

$={\sqrt {2\pi ^{-1}\lambda ^{*}(x)K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt[{4}]{\lambda ^{*}(4x)}}{\sqrt {4\pi ^{-1}K[\lambda ^{*}(4x)]}}$

$\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]=\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})={\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{1/2}={\sqrt {2\pi ^{-1}K[\lambda ^{*}(x)]}}=\operatorname {agm} [1;\lambda ^{*}(1/x)]^{-1/2}$

$\vartheta _{01}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]=\sum _{a=-\infty }^{\infty }(-1)^{a}\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})={\sqrt {2\pi ^{-1}\lambda ^{*}(1/x)K[\lambda ^{*}(x)]}}$

Dabei steht λ*(x) für die elliptische Lambda-Funktion und K(x) für das vollständige elliptische Integral erster Art:

$\lambda ^{*}(x)={\frac {\vartheta _{10}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}}{\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}}}={\frac {\vartheta _{10}[{\tfrac {1}{4}}\pi ;\exp(-{\tfrac {1}{2}}\pi {\sqrt {x}})]^{4}}{\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{4}}\pi ;\exp(-{\tfrac {1}{2}}\pi {\sqrt {x}})]^{4}}}$

$K(\varepsilon )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-{\varepsilon }^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\mathrm {d} \varphi =2\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4{\varepsilon }^{2}y^{2}}}}\mathrm {d} y$

Mit der Abkürzung agm wird das arithmetisch geometrische Mittel zum Ausdrück gebracht.

Von diesen beiden Thetafunktionen werden im Folgenden einige Theta-Nullwerte aufgelistet.

Liste der Nullwerte von ϑ₁₀

Lemniskatische Werte von ϑ₁₀:

$\vartheta _{10}[\exp(-\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-1/4}={\sqrt {G}}$

$\vartheta _{10}[\exp(-2\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-3/4}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$

$\vartheta _{10}[\exp(-3\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-3/2}3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}})$

$\vartheta _{10}[\exp(-4\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-5/4}({\sqrt[{4}]{2}}-1)$

$\vartheta _{10}[\exp(-5\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-7/4}5^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{2}$

$\vartheta _{10}[\exp(-6\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-2}3^{-3/8}{\sqrt {\tan({\tfrac {1}{24}}\pi )}}({\sqrt[{4}]{3}}-1)({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}})$

$\vartheta _{10}[\exp(-7\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-43/8}7^{-7/16}{\sqrt[{4}]{3+{\sqrt {7}}}}{\sqrt {5-{\sqrt {7}}+{\sqrt[{4}]{28}}}}[2{\sqrt {2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {3+{\sqrt {7}}}}({\sqrt[{4}]{28}}-{\sqrt {7}}+1)]^{2}$

$\vartheta _{10}[\exp(-8\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-2}({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}-2^{7/8})$

$\vartheta _{10}[\exp(-9\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-5/4}3^{-1}[2-({\sqrt[{4}]{12}}-{\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}+2}}]$

$\vartheta _{10}[\exp(-10\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-11/4}5^{-1/2}({\sqrt {5}}+1-2{\sqrt {2}}){\sqrt {({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {2}}-1)}}({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{2}({\sqrt[{4}]{5}}-{\sqrt {2}})$

Hierbei steht $G$ für die Gauß-Konstante, die der Quotient lemniskatischen Konstante dividiert durch die Kreiszahl ist.

Nicht lemniskatische Werte von ϑ₁₀, die mit den Gammafunktionswerten der Achtel ausgedrückt werden können:

$\vartheta _{10}[\exp(-{\sqrt {2}}\pi )]=\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$

$\vartheta _{10}[\exp(-2{\sqrt {2}}\pi )]=\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}(1-{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}})$

$\vartheta _{10}[\exp(-3{\sqrt {2}}\pi )]=\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}-1){\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\sqrt {\tan({\tfrac {1}{24}}\pi )}}$

$\vartheta _{10}[\exp(-4{\sqrt {2}}\pi )]=\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}(1-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}})$

$\vartheta _{10}[\exp(-5{\sqrt {2}}\pi )]=\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{15/8}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\{{\tfrac {1}{5}}({\sqrt {5}}-{\sqrt {2}})\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {3}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\operatorname {tanh} [{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arcosh} (2)-{\tfrac {1}{6}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {1}{9}}{\sqrt {6}})]\}$

Äquianharmonische Werte von ϑ₁₀:

$\vartheta _{10}[\exp(-{\sqrt {3}}\pi )]=\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )}}=2^{1/3}3^{1/8}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\sqrt {\omega _{2}/\pi }}$

$\vartheta _{10}[\exp(-2{\sqrt {3}}\pi )]=\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\sin({\tfrac {1}{24}}\pi )$

$\vartheta _{10}[\exp(-3{\sqrt {3}}\pi )]=\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-7/6}3^{7/8}{\sqrt {\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )}}({\sqrt {3}}+1-2{\sqrt[{3}]{2}})$

$\vartheta _{10}[\exp(-4{\sqrt {3}}\pi )]=\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}[1-{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}]$

$\vartheta _{10}[\exp(-5{\sqrt {3}}\pi )]=\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{9/8}[{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi ){\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\sqrt[{3}]{10}}-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5}}\cot({\tfrac {1}{10}}\pi ){\sqrt {\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )}}]$

Dabei ist ω₂ die Omega-2-Konstante des äquianharmonischen Falls.

Folgende Beziehungen gelten zwischen ϑ₁₀ und ϑ₀₀:

$\vartheta _{10}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]=\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]{\sqrt {\lambda ^{*}(x)}}$

$\vartheta _{10}[\exp(-2\pi {\sqrt {x}})]=\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\}$

Liste der Nullwerte von ϑ₀₀

Lemniskatische Werte von ϑ₀₀:

$\vartheta _{00}[\exp(-\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}=2^{1/4}{\sqrt {G}}$

$\vartheta _{00}[\exp(-2\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-3/4}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}$

$\vartheta _{00}[\exp(-3\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-1/4}3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}$

$\vartheta _{00}[\exp(-4\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-5/4}({\sqrt[{4}]{2}}+1)$

$\vartheta _{00}[\exp(-5\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}5^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}$

$\vartheta _{00}[\exp(-6\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-2}3^{-3/8}{\sqrt {\cot({\tfrac {1}{24}}\pi )}}({\sqrt[{4}]{3}}+1)({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}})$

$\vartheta _{00}[\exp(-7\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-5/8}7^{-7/16}{\sqrt[{4}]{3+{\sqrt {7}}}}{\sqrt {5-{\sqrt {7}}+{\sqrt[{4}]{28}}}}$

$\vartheta _{00}[\exp(-8\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-2}({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+2^{7/8})$

$\vartheta _{00}[\exp(-9\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}3^{-1}({\sqrt[{3}]{2{\sqrt {3}}+2}}+1)$

$\vartheta _{00}[\exp(-10\pi )]={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}2^{-11/4}5^{-1/2}({\sqrt {5}}+1+2{\sqrt {2}}){\sqrt {({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {2}}+1)}}({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{2}({\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {2}})$

Nicht lemniskatische Werte von ϑ₀₀, die mit den Gammafunktionswerten der Achtel ausgedrückt werden können:

$\vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {2}}\pi )]=\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}$

$\vartheta _{00}[\exp(-2{\sqrt {2}}\pi )]=\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}(1+{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}})$

$\vartheta _{00}[\exp(-3{\sqrt {2}}\pi )]=\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}+1){\sqrt {\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )}}$

$\vartheta _{00}[\exp(-4{\sqrt {2}}\pi )]=\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}(1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}})$

$\vartheta _{00}[\exp(-5{\sqrt {2}}\pi )]=\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{15/8}\{{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {3}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\operatorname {coth} [{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arcosh} (2)+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {1}{9}}{\sqrt {6}})]-{\tfrac {1}{5}}({\sqrt {5}}+{\sqrt {2}})\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )\}$

Äquianharmonische Werte von ϑ₀₀:

$\vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {3}}\pi )]=\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}=2^{1/3}3^{1/8}{\sqrt {\omega _{2}/\pi }}$

$\vartheta _{00}[\exp(-2{\sqrt {3}}\pi )]=\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )$

$\vartheta _{00}[\exp(-3{\sqrt {3}}\pi )]=\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}}+1)$

$\vartheta _{00}[\exp(-4{\sqrt {3}}\pi )]=\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}[1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}]$

$\vartheta _{00}[\exp(-5{\sqrt {3}}\pi )]=\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)$

Für die Funktion ϑ₀₀ gilt folgende Identität:

$\vartheta _{00}[\exp(-\pi /y)]={\sqrt {y}}\,\vartheta _{00}[\exp(-\pi y)]$

Für alle natürlichen Zahlen n gilt diese Beziehung:

${\frac {n\vartheta _{00}[\exp(-n\pi {\sqrt {x}})]^{2}}{\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}}}=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {dn} {\biggl \{}{\frac {2k}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x){\biggr \}}$

Dabei ist $\operatorname {dn}$ die Jacobische elliptische Funktion Delta amplitudinis. Beispielsweise gilt somit:

$\vartheta _{00}[\exp(-2\pi {\sqrt {x}})]=\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]\cos\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\}$

Bezug zur Ramanujanschen g-Funktion

Sehr effizient können die Werte der Theta-Nullwertfunktionen mit Hilfe der Ramanujanschen g-Funktion berechnet werden.

Zu dieser Funktion stehen die Thetafunktionen in diesem Zusammenhang:

$g(x)=2^{-1/12}\,\vartheta _{01}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{1/3}\vartheta _{10}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{-1/6}\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{-1/6}$

$g(x)=2^{-1/4}\,{\frac {\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{12}}\pi ;\exp(-{\tfrac {1}{24}}\pi {\sqrt {x}})]-\vartheta _{00}[{\tfrac {5}{12}}\pi ;\exp(-{\tfrac {1}{24}}\pi {\sqrt {x}})]}{\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{12}}\pi ;\exp(-{\tfrac {1}{12}}\pi {\sqrt {x}})]-\vartheta _{00}[{\tfrac {5}{12}}\pi ;\exp(-{\tfrac {1}{12}}\pi {\sqrt {x}})]}}$

Mit der Elliptischen Lambdafunktion steht die Ramanujansche g-Funktion in folgender Beziehung:

$\lambda ^{*}(x)=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[g(x)^{-12}]\}$

Mit den zuvor genannten Formeln können anschließend die Thetafunktionswerte aus den Lambda-Stern-Werten berechnet werden.

Die Theoreme für das Kubieren und die kubische Radizierung bei ϑ₀₁ können sogar direkt mit der Ramanujanschen g-Funktion in Beziehung gesetzt werden:

$3\,\vartheta _{01}[\exp(-3\pi {\sqrt {x}})]^{2}=\vartheta _{01}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}{\bigl [}{\sqrt {2{\sqrt {1-g(x)^{-8}+g(x)^{-16}}}+2-g(x)^{-8}}}+{\sqrt {1+g(x)^{-8}}}{\bigr ]}$

$\vartheta _{01}[\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi {\sqrt {x}})]^{2}=\vartheta _{01}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}{\bigl [}{\sqrt {2{\sqrt {1-g(x)^{-8}+g(x)^{-16}}}+2-g(x)^{-8}}}-{\sqrt {1+g(x)^{-8}}}{\bigr ]}$

Mit der Ramanujanschen kleinen g-Funktion und großen G-Funktion sind auch die Theoreme für die Potenzierung mit 5 so darstellbar:

$5\,\vartheta _{01}[\exp(-5\pi {\sqrt {x}})]^{2}=\vartheta _{01}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}[2g(x)^{-5}g(25x)+1]$

$5\,\vartheta _{00}[\exp(-5\pi {\sqrt {x}})]^{2}=\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]^{2}[2G(x)^{-5}G(25x)+1]$

Dabei kann G(x) auf folgende Weise definiert werden:

$G(x)=2^{-1/4}g(x)^{-1}g(4x)$

Werte der Nicht-Nullwertfunktionen

Identitäten für die Berechnung

Wenn der linke Eintrag in der Klammer der Thetafunktion einen Wert des Musters π*t mit t ∈ ℚ annimmt, dann können alle Werte der Funktionen ϑ₀₀, ϑ₀₁ und ϑ₁₀ mit dem hier abgebildeten elliptischen Nomen mit den Jacobifunktionen sn, cn und dn ausgedrückt werden:

$q(k)=\exp[-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}]$

Für alle 0 < k < 1 sind folgende Identitäten gültig:

$\vartheta _{00}[0;q(k)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}$

$\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{2}}\pi ;q(k)]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}$

$\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{4}}\pi ;q(k)]={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}{\sqrt[{16}]{1-k^{2}}}{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}$

$\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{6}}\pi ;q(k)]={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{12}]{1-k^{2}}}{\sqrt[{3}]{4\operatorname {dn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]\operatorname {nc} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}$

$\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{3}}\pi ;q(k)]={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{4\operatorname {dn} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]\operatorname {dc} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}$

$\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{10}}\pi ;q(k)]={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}{\sqrt[{5}]{8\{\operatorname {nc} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]-\operatorname {nc} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\}\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\operatorname {ns} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]\operatorname {nc} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]\operatorname {nd} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}$

$\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{5}}\pi ;q(k)]={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{5}]{8\{\operatorname {nc} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]-\operatorname {nc} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\}\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]\operatorname {ns} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\operatorname {nc} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\operatorname {dn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{4}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}$

$\vartheta _{00}[{\tfrac {3}{10}}\pi ;q(k)]={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}{\sqrt[{5}]{8\{\operatorname {nc} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]-\operatorname {nc} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\}\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]\operatorname {ns} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\operatorname {nc} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\operatorname {nd} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}$

$\vartheta _{00}[{\tfrac {2}{5}}\pi ;q(k)]={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{5}]{8\{\operatorname {nc} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]-\operatorname {nc} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\}\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\operatorname {ns} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]\operatorname {nc} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]\operatorname {dn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{4}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}$

Außerdem gilt:

$\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{10}}\pi ;q(k)]\vartheta _{00}[{\tfrac {3}{10}}\pi ;q(k)]={\sqrt {1-k^{2}}}\{{\text{nc}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]-{\text{nc}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\}\pi ^{-1}K(k)$

$\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{5}}\pi ;q(k)]\vartheta _{00}[{\tfrac {2}{5}}\pi ;q(k)]=\{{\text{dn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]+{\text{dn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]\}\pi ^{-1}K(k)$

In der Ausdrucksweise mit der Lambdafunktion und der g-Funktion gilt somit:

$\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{10}}\pi ;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]\vartheta _{00}[{\tfrac {3}{10}}\pi ;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]=\lambda ^{*}(1/x)g(x)^{-5}g(25x)\pi ^{-1}K[\lambda ^{*}(x)]$

$\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{5}}\pi ;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]\vartheta _{00}[{\tfrac {2}{5}}\pi ;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]=G(x)^{-5}G(25x)\pi ^{-1}K[\lambda ^{*}(x)]$

Diese Thetaprodukte dienen auch zum Lösen der quintischen Gleichungen.

Zur Ermittlung der Werte von ϑ₀₁ aus den Werten von ϑ₀₀ dient diese Symmetriebeziehung:

$\vartheta _{01}(x;c)=\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}\pi -x;c)$

Zur Ermittlung der Werte von ϑ₁₀ gereichen jene Theoreme:

$\vartheta _{10}(x;c)^{4}=\vartheta _{00}(c)^{3}\vartheta _{00}(2x;c)-\vartheta _{01}(x;c)^{4}$

$\vartheta _{10}(x;c)^{4}=\vartheta _{00}(x;c)^{4}-\vartheta _{01}(c)^{3}\vartheta _{01}(2x;c)$

Explizite Beispiele

Diese Werte entstehen durch Einsatz von $k=\lambda ^{*}(1)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\colon$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}\pi ;{\text{e}}^{-\pi })={\sqrt {G}}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}}\pi ;{\text{e}}^{-\pi })=2^{-3/16}{\sqrt[{4}]{{\sqrt {2}}+1}}{\sqrt {G}}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{6}}\pi ;{\text{e}}^{-\pi })=2^{-3/2}({\sqrt[{4}]{12}}+{\sqrt {3}}-1){\sqrt[{6}]{2+{\sqrt {3}}}}{\sqrt {G}}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{3}}\pi ;{\text{e}}^{-\pi })=2^{-1/4}{\sqrt[{6}]{2+{\sqrt {3}}}}{\sqrt {G}}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{10}}\pi ;{\text{e}}^{-\pi })=2^{-3/2}{\bigl [}{\sqrt[{4}]{5}}+1+({\sqrt[{4}]{5}}-1){\sqrt {{\sqrt {5}}-2}}{\bigr ]}{\sqrt[{5}]{2({\sqrt {5}}+2)\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\cot({\tfrac {3}{20}}\pi )}}{\sqrt {G}}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{5}}\pi ;{\text{e}}^{-\pi })=2^{-1/4}{\sqrt[{5}]{2({\sqrt {5}}+2)\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\tan({\tfrac {3}{20}}\pi )}}{\sqrt {G}}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {3}{10}}\pi ;{\text{e}}^{-\pi })=2^{-3/2}{\bigl [}{\sqrt[{4}]{5}}+1-({\sqrt[{4}]{5}}-1){\sqrt {{\sqrt {5}}-2}}{\bigr ]}{\sqrt[{5}]{2({\sqrt {5}}+2)\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\tan({\tfrac {3}{20}}\pi )}}{\sqrt {G}}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {2}{5}}\pi ;{\text{e}}^{-\pi })=2^{-1/4}{\sqrt[{5}]{2({\sqrt {5}}+2)\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\cot({\tfrac {3}{20}}\pi )}}{\sqrt {G}}$

Auch hier steht $G$ für die Gauß-Konstante:

$G={\sqrt {2}}\pi ^{-1}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})$

Die folgenden Werte entstehen durch Einsatz von $k=\lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1\colon$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}\pi ;{\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi })=2^{-5/8}{\sqrt[{4}]{{\sqrt {2}}+1}}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{6}}\pi ;{\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi })=2^{-9/8}{\sqrt[{4}]{{\sqrt {2}}+1}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{3}}\pi ;{\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi })=2^{-1/8}\sin({\tfrac {5}{24}}\pi ){\sqrt[{3}]{{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{10}}\pi ;{\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi })\vartheta _{00}({\tfrac {3}{10}}\pi ;{\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi })=2^{-9/4}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}{\biggl \langle }{\tfrac {1}{18}}{\bigl \{}4{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}}){\bigr ]}+\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr \}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}{\biggr \rangle }\,\pi ^{-1}\beta ({\tfrac {3}{8}})$

Der Ausdruck in den Dachklammern ist der Ramanujansche g-Funktionswert g(50).

Folgende Werte entstehen durch Einsatz von $k=\lambda ^{*}(5)=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)]\colon$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}\pi ;{\text{e}}^{-{\sqrt {5}}\pi })=2^{-47/40}5^{-5/16}({\sqrt {5}}-1)^{5/8}({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+1)\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {9}{20}})^{1/2}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{6}}\pi ;{\text{e}}^{-{\sqrt {5}}\pi })=2^{-47/40}5^{-5/16}({\sqrt {2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {3}}+1}}+1){\sqrt[{8}]{{\sqrt {5}}-1}}{\sqrt[{6}]{4+{\sqrt {15}}}}\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {9}{20}})^{1/2}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{3}}\pi ;{\text{e}}^{-{\sqrt {5}}\pi })=2^{-37/40}5^{-5/16}({\sqrt {5}}+1)^{5/8}{\sqrt[{6}]{4+{\sqrt {15}}}}\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {9}{20}})^{1/2}$

Und diese Werte entstehen durch Einsatz von $k=\lambda ^{*}(6)=\tan[{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{3}})]\colon$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}\pi ;{\text{e}}^{-{\sqrt {6}}\pi })=2^{-13/24}3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}{\sqrt[{4}]{{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {11}{24}})^{1/2}$

$\vartheta _{00}({\tfrac {1}{10}}\pi ;{\text{e}}^{-{\sqrt {6}}\pi })\vartheta _{00}({\tfrac {3}{10}}\pi ;{\text{e}}^{-{\sqrt {6}}\pi })=2^{-25/12}3^{-3/4}({\sqrt {2}}+1){\sqrt {{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}\cot {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arcsin {\bigl [}{\tfrac {4}{9}}({\sqrt {10}}-1){\bigr ]}{\bigr \}}\,\pi ^{-1}\beta ({\tfrac {11}{24}})$

Der gezeigte Kotangens nimmt den Wert vom Ramanujanschen g-Funktionsquotienten g(150)/g(6)⁵ an.

Mit $\beta (x)=B(x;x)$ wird die Eulersche Betafunktion dargestellt.

Für die Funktionen ϑ₀₀, ϑ₀₁ und ϑ₁₀ gelten diese Symmetriebeziehungen:

$\vartheta _{00}(x;c)=\vartheta _{00}(-x;c)=\vartheta _{00}(x+\pi ;c)$

$\vartheta _{01}(x;c)=\vartheta _{01}(-x;c)=\vartheta _{01}(x+\pi ;c)$

$\vartheta _{10}(x;c)=\vartheta _{10}(-x;c)=-\vartheta _{10}(x+\pi ;c)$

Der Allgemeinfall der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen ϑ₀₀[x;q(k)], ϑ₀₁[x;q(k)] und ϑ₁₀[x;q(k)] kann weder mit den Jacobi-Funktionen sn, cn und dn noch mit den Theta-Nullwertfunktionen noch mit den Kombinationen beider zuletzt genannten Funktionsklassen ausgedrückt werden. Jedoch können sowohl die Jacobi-Funktionen als auch die Theta-Nullwertfunktionen sehr wohl alleine durch den Allgemeinfall der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen dargestellt werden. Basierend auf diesen Tatsachen bilden die Thetafunktionen zusammen mit den elliptischen Integralen die Grundlage für alle elliptischen Jacobi-Funktionen und Modulfunktionen.

Nomentransformationen

Transformationen bei den Theta-Nullwertfunktionen

Zu den Transformationen des Elliptischen Nomens bei den Theta-Nullwertfunktionen dienen diese Formeln:

$\vartheta _{10}(x^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}}$

$\vartheta _{00}(x^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}]}}$

$\vartheta _{01}(x^{2})={\sqrt {\vartheta _{01}(x)\vartheta _{00}(x)}}$

Nach der Jacobi-Identität bilden somit auch die Quadrate der Theta-Nullwertfunktionen von der Quadratfunktion Pythagoräische Tripel.

Außerdem gelten jene Transformationen:

$\vartheta _{00}(x^{4})={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}(x)+{\tfrac {1}{2}}\vartheta _{01}(x)$

$81\,\vartheta _{00}(x^{3})^{8}-54\,\vartheta _{00}(x^{3})^{4}\vartheta _{00}(x)^{4}-3\,\vartheta _{00}(x)^{8}=24\,\vartheta _{00}(x^{3})^{2}\vartheta _{00}(x)^{2}[2\,\vartheta _{01}(x)^{4}-\vartheta _{00}(x)^{4}]$

$81\,\vartheta _{01}(x^{3})^{8}-54\,\vartheta _{01}(x^{3})^{4}\vartheta _{01}(x)^{4}-3\,\vartheta _{01}(x)^{8}=24\,\vartheta _{01}(x^{3})^{2}\vartheta _{01}(x)^{2}[2\,\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}]$

Transformationen bei den Nicht-Nullwertfunktionen

Zu den Transformationen des Elliptischen Nomens bei den Nicht-Nullwertfunktionen dienen jene Formeln:

$\vartheta _{00}(x;c^{2})=\vartheta _{00}(c)^{-1/2}\vartheta _{01}(c)^{-1/2}\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{4}}\pi ;c)\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{4}}\pi ;c)$

$\vartheta _{01}(x;c^{2})=\vartheta _{00}(c)^{-1/2}\vartheta _{01}(c)^{-1/2}\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}x;c)\vartheta _{01}({\tfrac {1}{2}}x;c)$

$\vartheta _{00}(x;c^{1/2})=[\vartheta _{00}(c)^{2}+\vartheta _{10}(c)^{2}]^{-1/2}[\vartheta _{00}(x;c)^{2}+\vartheta _{10}(x;c)^{2}]$

$\vartheta _{01}(x;c^{1/2})=[\vartheta _{00}(c)^{2}-\vartheta _{10}(c)^{2}]^{-1/2}[\vartheta _{00}(x;c)^{2}-\vartheta _{10}(x;c)^{2}]$

$\vartheta _{10}(x;c^{1/2})=2^{1/2}\vartheta _{10}(c)^{-1/2}\vartheta _{00}(c)^{-1/2}\vartheta _{10}(x;c)\vartheta _{00}(x;c)$

Ableitungen

Ableitungen der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen

Die partiellen Ableitungen der Theta-Nicht-Nullwertfunktionen nach dem linken Klammereintrag lauten wie folgt:

$\vartheta _{01}'(v;w)={\frac {\partial }{\partial v}}\vartheta _{01}(v;w)={\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]}\vartheta _{01}(v;w){\text{zn}}{\biggl \{}{\frac {v}{2}}{\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]};{\frac {\vartheta _{00}(w)^{2}-\vartheta _{01}(w)^{2}}{\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}}}{\biggr \}}+$

$+{\frac {1}{2}}\vartheta _{00}(w)\vartheta _{01}(w)^{2}\vartheta _{01}({\tfrac {1}{4}}\pi ;w)^{2}{\frac {\vartheta _{01}({\tfrac {1}{4}}\pi +v;w)^{2}-\vartheta _{01}({\tfrac {1}{4}}\pi -v;w)^{2}}{\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}\vartheta _{01}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}}}$

$\vartheta _{00}'(v;w)={\frac {\partial }{\partial v}}\vartheta _{00}(v;w)={\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]}\vartheta _{00}(v;w){\text{zn}}{\biggl \{}{\frac {v}{2}}{\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]};{\frac {\vartheta _{00}(w)^{2}-\vartheta _{01}(w)^{2}}{\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}}}{\biggr \}}-$

$-{\frac {1}{2}}\vartheta _{01}(w)\vartheta _{00}(w)^{2}\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}}\pi ;w)^{2}{\frac {\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}}\pi -v;w)^{2}-\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}}\pi +v;w)^{2}}{\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}\vartheta _{01}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}}}$

Für diese Theta-Ableitungsfunktionen in der so definierten Form etablierte sich die Bezeichnung „Elliptic Theta Prime“ im englischen Sprachraum.

Durch den Zusatz der elliptischen Nomenfunktion im rechten Klammereintrag können die Ableitungen so formuliert werden:

${\frac {\partial }{\partial x}}\vartheta _{01}[x;q(k)]=2\pi ^{-1}K(k)\vartheta _{01}[x;q(k)]{\text{zn}}[2\pi ^{-1}K(k)x;k]$

${\frac {\partial }{\partial x}}\vartheta _{00}[x;q(k)]=2\pi ^{-1}K(k)\vartheta _{00}[x;q(k)]\{{\text{zn}}[2\pi ^{-1}K(k)x;k]-k^{2}{\text{sn}}[2\pi ^{-1}K(k)x;k]{\text{cd}}[2\pi ^{-1}K(k)x;k]\}$

${\frac {\partial }{\partial x}}\vartheta _{10}[x;q(k)]=2\pi ^{-1}K(k)\vartheta _{10}[x;q(k)]\{{\text{zn}}[2\pi ^{-1}K(k)x;k]-{\text{sn}}[2\pi ^{-1}K(k)x;k]{\text{dc}}[2\pi ^{-1}K(k)x;k]\}$

Mit dem Kürzel zn wird die Jacobische Zetafunktion dargestellt:

${\text{zn}}(z;k)=E[{\text{am}}(z;k);k]-E(k)K(k)^{-1}z$

Hierbei ist E(ε) das vollständige elliptische Integral zweiter Art:

$E(\varepsilon )=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-{\varepsilon }^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\mathrm {d} \varphi =2\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4{\varepsilon }^{2}y^{2}}}{(y^{2}+1)^{2}}}\mathrm {d} y$

Und E(α;ε) ist das unvollständige elliptische Integral zweiter Art:

$E(\alpha ;\varepsilon )=\int _{0}^{1}\alpha {\sqrt {1-{\varepsilon }^{2}\sin(\alpha \varphi )^{2}}}\,\partial \varphi$

Dieses Integral E(ε) nennt das Verhältnis des Viertelumfangs zur größeren Halbachse bei der Ellipse mit dem Wert ε als spezifische Exzentrizität.

Mit dem Kürzel am wird die Jacobi-Amplitude dargestellt:

${\text{am}}(z;k)=\int _{0}^{1}z\,{\text{dn}}(yz;k)\,\partial y$

Und für das Delta Amplitudinis ist diese Formel gültig:

${\text{dn}}(z;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]^{-1}$

Die Jacobi-Amplitude ist die Umkehrfunktion zum unvollständigen elliptischen Integral erster Art:

$F[{\text{am}}(z;k);k]=z$

Der Ausdruck F(α;ε) nennt das unvollständige elliptische Integral erster Art:

$F(\alpha ;\varepsilon )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{\sqrt {1-{\varepsilon }^{2}\sin(\alpha \varphi )^{2}}}}\,\partial \varphi$

Wärmeleitungsgleichung

Als Lösungen der Wärmeleitungsgleichung haben die Thetafunktionen diese Eigenschaften:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial v^{2}}}\vartheta _{10}(v;w)=-4w{\frac {\partial }{\partial w}}\vartheta _{10}(v;w)$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial v^{2}}}\vartheta _{00}(v;w)=-4w{\frac {\partial }{\partial w}}\vartheta _{00}(v;w)$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial v^{2}}}\vartheta _{01}(v;w)=-4w{\frac {\partial }{\partial w}}\vartheta _{01}(v;w)$

Ableitungen der Theta-Nullwertfunktionen

Die Ableitungen der Theta-Nullwertfunktionen lauten wie folgt:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\vartheta _{10}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}{\biggr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\vartheta _{00}(x)=\vartheta _{00}(x)[\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}]{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\vartheta _{01}(x)=-\vartheta _{01}(x)[\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}]{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}$

Die Ableitungen der Quotienten aus jeweils zwei der drei hier genannten Thetafunktionen haben immer eine rationale Beziehung zu jenen drei Funktionen:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{00}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\vartheta _{00}(x)}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\vartheta _{01}(x)}{\vartheta _{00}(x)}}={\frac {\vartheta _{01}(x)^{5}-\vartheta _{00}(x)^{4}\vartheta _{01}(x)}{4x\vartheta _{00}(x)}}$

Integrale

Bestimmte Integrale der Theta-Nullwertfunktionen

Für die Theta-Nullwertfunktionen ϑ₀₀(x), ϑ₀₁(x) und ϑ₁₀(x) sind diese Integrale gültig:

$\int _{0}^{1}\vartheta _{00}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )\approx 3{,}153348$

$\int _{0}^{1}\vartheta _{01}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \,{\text{csch}}(\pi )\approx 0{,}272029$

$\int _{0}^{1}\vartheta _{10}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}}=\pi \tanh(\pi )\approx 3{,}129881$

Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion

Bernhard Riemann benutzte in seiner berühmten Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe die Transformationsformel der Thetafunktion für einen Beweis der Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion, es gilt nämlich folgende Identität:

$\int _{0}^{\infty }x^{n}\{\vartheta _{00}[\exp(-x)]-1\}\,\mathrm {d} x=2\Gamma (n+1)\zeta (2n+2)$

Dieses Integral ist für alle Werte n > −½ gültig und konvergent.

Beispielsweise hat die Apéry-Konstante folgende Integraldarstellung:

$\zeta (3)=\pi ^{-1/2}\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,\{\vartheta _{00}[\exp(-x)]-1\}\,\mathrm {d} x$

Anwendungsbeispiele bei Reihenentwicklungen

Reihen mit Fibonacci-Zahlen und Pell-Zahlen

Unendliche Summe der Kehrwerte ungeradstelliger Fibonacci-Zahlen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sqrt {5}}{2}}\operatorname {sech} [(n-{\tfrac {1}{2}})\operatorname {arcosh} ({\tfrac {3}{2}})]={\frac {\sqrt {5}}{4}}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+{\tfrac {1}{2}})\operatorname {arcosh} ({\tfrac {3}{2}})]=$

$={\frac {\sqrt {5}}{4}}\vartheta _{10}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{\pi }}{\sqrt {\lambda ^{*}[16\,\pi ^{-2}\ln(\Phi )^{2}]}}K\{\lambda ^{*}[16\,\pi ^{-2}\ln(\Phi )^{2}]\}$

Dabei ist $\Phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ die goldene Zahl.

Unendliche Summe der Kehrwerte von den Quadraten der Fibonacci-Zahlen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{12}}\vartheta _{10}(\Phi ^{-2})^{4}-{\frac {5}{24}}\vartheta _{00}(\Phi ^{-2})^{4}+{\frac {5}{24}}$

Unendliche Summe der Kehrwerte ungeradstelliger Pell-Zahlen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\vartheta _{10}[({\sqrt {2}}-1)^{2}]^{2}$

Reihen mit Potenzen als Summanden

Summenreihen mit einer bezüglich des Summenindex konstanten Basis und einem bezüglich des Summenindex quadratischen Exponenten können stets als elementare Linearkombinationen der Funktion ϑ₀₀ ausgedrückt werden:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }x^{ak^{2}+bk+c}=\exp {\bigl [}{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\ln(x){\bigr ]}{\bigl [}{\frac {-\pi }{a\ln(x)}}{\bigr ]}^{1/2}\vartheta _{00}{\bigl \{}{\frac {\pi b}{2a}};\exp {\bigl [}{\frac {\pi ^{2}}{a}}\ln(x)^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}$

Dabei muss $x$ einen positiven Wert annehmen.

Beispielsweise ergibt jene unendliche Summe folgenden Wert:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\bigl (}{\frac {7}{11}}{\bigr )}^{5k^{2}+3k+2}={\bigl (}{\frac {7}{11}}{\bigr )}^{31/20}{\bigl (}{\frac {\pi }{5}}{\bigr )}^{1/2}\ln {\bigl (}{\frac {11}{7}}{\bigr )}^{-1/2}\vartheta _{00}{\bigl \{}{\frac {3\pi }{10}};\exp {\bigl [}{\frac {1}{5}}\pi ^{2}\ln {\bigl (}{\frac {7}{11}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}$

Rogers-Ramanujan-Kettenbruch

Die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion hat folgende Identitäten zu den Thetafunktionen:

$R(y)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(y^{1/10})\vartheta _{01}(y^{1/10})\vartheta _{10}(y^{1/10})}{\vartheta _{00}(y^{5/2})\vartheta _{01}(y^{5/2})\vartheta _{10}(y^{5/2})}}{\biggr ]}^{1/3}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }$

$R(y)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(y)^{2}}{2\vartheta _{01}(y^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(y)^{2}}{2\vartheta _{01}(y^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}$

$R(y^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(y)^{2}}{2\vartheta _{01}(y^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(y)^{2}}{2\vartheta _{01}(y^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}$

$R(y^{4})={\frac {\vartheta _{00}(y)-\vartheta _{00}(y^{5})}{\vartheta _{00}(y)+\vartheta _{00}(y^{5})}}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(y)^{2}}{2\vartheta _{01}(y^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(y)^{2}}{2\vartheta _{01}(y^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}$

Diese Identitäten wurden von den Mathematikern Nikolaos Bagis, Julius Wilhelm Richard Dedekind und Soon Yi Kang erforscht.

Bringsches Radikal

Mit der Thetafunktion und dem Rogers-Ramanujan-Kettenbruch kann auch das Bringsche Radikal beschrieben werden. Dieses ist als Umkehrfunktion von der Summe der fünften Potenzfunktion und der identischen Abbildungsfunktion definiert:

${\text{BR}}(x)^{5}+{\text{BR}}(x)=x$

Das Bringsche Radikal hat diese für alle reellen Werte $x$ gültige Beziehung zu den elliptischen Funktionen:

${\frac {\sqrt[{4}]{25\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{2}\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-5\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{4}}}{\sqrt[{4}]{\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{2}\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{4}}}}{\text{BR}}(x)=$

$={\frac {\sqrt {R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}^{4}{\bigr \rangle }}}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }{\sqrt {R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}}}+{\frac {\sqrt {R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}^{4}{\bigr \rangle }}}{\sqrt {R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}}+$

$+{\frac {R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }{\sqrt {R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}}{\sqrt {R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}^{4}{\bigr \rangle }}}}-{\frac {\sqrt {R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}{\sqrt {R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}\}^{4}{\bigr \rangle }}}}$

Rechenhinweis:

${\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,x)]^{2}={\bigl (}50{\sqrt {5}}\,x^{2}+32+2{\sqrt {3125x^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125x^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}\,x{\bigr )}$

Die Funktionsbezeichnung ctlh steht für den Cotangens Lemniscatus Hyperbolicus und die Bezeichnung aclh für den Areacosinus Lemniscatus Hyperbolicus. Die Tatsache, dass für die Darstellung des Bringschen Radikals über Modulfunktionen der Modul genau dem gezeigten Cotangens-Lemniscatus-Hyperbolicus-Quadrat entspricht, wurde bereits durch den französischen Mathematiker Charles Hermite erkannt. Er schrieb diesen Zusammenhang in seiner Arbeit Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus nieder. Die italienische Version seiner Arbeit Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado enthält auf der Seite 258 diejenige Formel, aus welcher der hier genannte Modul hervorgeht. Mit der elliptischen Identität des Bringschen Radikals beschäftigten sich außerdem die russischen Mathematiker Viktor Prasolov und Yuri Solovyev in ihrem Werk Elliptic Functions and Elliptic Integrals aus dem Jahre 1991. Generell dient das Bringsche Radikal zum Lösen der verallgemeinerten Gleichung fünften Grades und wurde vom schwedischen Mathematiker Erland Samuel Bring erforscht.

Siehe auch

• Ramanujan-Thetafunktion
• Jacobische elliptische Funktion
• Elliptisches Nomen
• Lambert-Reihe

Literatur

• N. I. Akhiezer: Elements of the Theory of Elliptic Functions, AMS Translations of Mathematical Monographs, Band 79, 1990, AMS, Rhode Island, ISBN 0-8218-4532-2 (russisches Original Moskau 1970).
• Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. Springer-Verlag, New York 1990, ISBN 0-387-97127-0.
• Hershel Farkas, Harry Rauch: Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces. Williams & Wilkins, Baltimore 1974.
• Hershel Farkas, Irwin Kra: Riemann Surfaces. Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1980 (Kapitel 6)
• Adolf Hurwitz: Vorlesungen über Allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2000, ISBN 3-540-63783-4.
• Dale Husemöller: Elliptic Curves. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2004, ISBN 0-387-95490-2.
• Jun-Ichi Igusa: Theta Functions. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer Verlag, 1972.
• Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 3-540-63744-3.
• Adolf Krazer: Lehrbuch der Thetafunktionen. B. G. Teubner, Leipzig 1903.
• David Mumford Tata Lectures on Theta, Band 1, 3. Auflage. Springer Verlag 1994 (insgesamt drei Bände).
• Reinhold Remmert: Funktionentheorie I. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1989, ISBN 3-540-51238-1.
• Bruno Schoeneberg: Elliptic Modular Functions. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer Verlag, 1974 (Kapitel 9, Theta Series).
• Edmund T. Whittaker, George Neville Watson: A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990. S. 469–470.
• Charles Hermite: Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Nr. 11, März 1858.

Tafelwerke:

• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York 1972; S. 576.
• Gradshteyn-Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products. 7. Auflage. Newcastle, England, 2011, S. 34.

Aufsätze und Buchbeiträge, die im Artikel benutzt wurden:

• Jonathan Borwein, Peter Borwein: π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley-Interscience, 1987. S. 94–97.
• Soon Yi Kang: Ramanujan’s Formulas For Explicit Evaluation Of The Rogers-Ramanujan Continued Fraction And Theta-Functions. Acta Arithmetica, Band 90, 1999, S. 49–68.
• Nickos Papadatos: The characteristic function of the discrete Cauchy distribution. Kapodistrias-Universität Athen, 2018, Arxiv.
• Srinivasa Ramanujan: Modular Equations and Approximations to π. Quart. J. Pure. Appl. Math. Auflage 45, 350–372, 1913–1914.
• Maxie D. Schmidt: Square series generating function transformations. Journal of Inequalities and Special Functions, Band 8, 2017, Heft 2, Arxiv 2016.
• Nikolaos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. Arxiv 2015.
• Michael Trott: Modular Equations of the Rogers-Ramanujan Continued Fraction, Mathematica, Band 9, 2004, S. 314–333
• Jinhee Yi: Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Band 292, Nr. 2, 2004, S. 381–400.

Weblinks

• Theta Functions in NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Eric W. Weisstein: Jacobi Theta Functions. In: MathWorld (englisch).