Mastergleichung

Eine Mastergleichung ist eine phänomenologisch begründete Differentialgleichung erster Ordnung, die die Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeiten eines Systems beschreibt, Zustände aus einer diskreten Menge von Zuständen anzunehmen:

${\frac {\mathrm {d} P_{k}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{\ell }T_{k\ell }P_{\ell },$

wobei P_k die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich das System im Zustand k befindet, und die Matrix $T_{\ell k}$ aufgebaut ist aus Konstanten von Übergangswahrscheinlichkeiten.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie gilt dies als ein kontinuierlicher Markov-Prozess, bei dem die integrierte Mastergleichung der Chapman-Kolmogorow-Gleichung genügt.

Man beachte, dass gilt:

$\sum _{\ell }T_{\ell k}=0$

(die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten), so dass sich die Gleichung umschreiben lässt zu:

${\frac {\mathrm {d} P_{k}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{\ell }(T_{k\ell }P_{\ell }-T_{\ell k}P_{k}).$

Ist die Matrix $T_{\ell k}$ symmetrisch (d.h. alle mikroskopischen Übergänge sind reversibel), so gilt:

$T_{k\ell }=T_{\ell k},$

und damit:

${\frac {\mathrm {d} P_{k}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{\ell }T_{k\ell }(P_{\ell }-P_{k}).$

Viele physikalischen Probleme in der klassischen Mechanik, der Quantenmechanik und anderer Bereiche der Wissenschaft können auf die Form einer Mastergleichung zurückgeführt werden, wobei oft eine starke Vereinfachung des Problems möglich wird (siehe Mathematisches Modell).

Eine spezielle Form der Mastergleichung ist die Fokker-Planck-Gleichung, die die zeitliche Entwicklung einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt.

Siehe auch

• Markov-Prozess