Auerbachbasis

Eine Auerbachbasis ist eine spezielle Basis in einem normierten Vektorraum. Als Basis ist sie eine Menge linear unabhängiger Vektoren. Damit eine Basis eine Auerbachbasis ist, müssen weitere Bedingungen, die Funktionen auf den Vektoren (Funktionale) betreffen, erfüllt sein. Benannt ist sie nach ihrem Entdecker Herman Auerbach.

Formale Definition

Sei $X$ ein normierter Vektorraum über den Körper $K$. Mit $X'$ wird der Dualraum bezeichnet, das ist der normierte Vektorraum der beschränkten linearen Funktionen von $X\to K$ (dieser wird auch mit $L(X,K)$ bezeichnet). Die Norm eines Elements $f\in X'$ ist gegeben durch

$||f||:=\sup _{||x||\leq 1}|f(x)|$.

Die Addition in $X'$ ist punktweise durchzuführen: $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ für $f,g\in X',x\in X$ Die Multiplikation in $X'$ ist ebenfalls punktweise: $(af)(x):=a(f(x))$ für $f\in X,a\in K$.

Eine Basis $B=\{b_{1},...,b_{n}\}$ von $X$ ist eine Auerbachbasis, falls es eine Basis $F=\{f_{1},...,f_{n}\}$ von $X'$ gibt, so dass gilt $f_{i}(b_{j})=\delta _{i,j}$ wobei $\delta _{i,j}$ das Kronecker-Delta ist.

Eigenschaften

Für Vektorräume mit endlicher Dimension gibt es immer eine Auerbachbasis.

Die Auerbachbasis hat gewisse Ähnlichkeiten zu orthogonalen Basen, da $f_{i}(b_{j})=\delta _{i,j}$ gewissermaßen dem Skalarprodukt $<f_{i},b_{j}>=\delta _{i,j}$ entspricht.