Eine Abbildungsmatrix ist eine Matrix, die in der linearen Algebra verwendet wird, um die lineare Abbildung eines endlichdimensionalen Vektorraumes in sich oder in einen anderen endlichdimensionalen Vektorraum zu beschreiben.
Lineare Abbildungen
Eine lineare Abbildung eines Vektoraumes auf einen anderen ist ein Homomorphismus von Vektorräumen. In dem (für Abbildungsmatrizen praktisch wichtigsten) Sonderfall, dass die Definitionsmenge dieser linearen Abbildung mit der Zielmenge der linearen Abbildung übereinstimmt, spricht man von einem Endomorphismus oder einer linearen Selbstabbildung des Vektorraums.
Verwendung von Abbildungsmatrizen
Voraussetzungen
Um eine lineare Abbildung von Vektorräumen durch eine Matrix beschreiben zu können, muss zunächst sowohl im Urbildraum als auch im Zielraum eine Basis fest gewählt worden sein. Bei einem Wechsel der Basen in einem der betroffenen Räume muss die Matrix transformiert werden, sonst beschreibt sie eine andere lineare Abbildung!
Wenn in der Definitionsmenge und der Zielmenge eine Basis gewählt worden ist, dann lässt sich eine lineare Abbildung eindeutig durch eine Abbildungsmatrix beschreiben. Allerdings muss dafür festgelegt werden, ob man die Koordinaten von Vektoren in Spalten- oder Zeilenschreibweise notiert. Die üblichere Schreibweise ist die in Spalten.
Dazu muss man den Vektor, der abgebildet werden soll, als Spaltenvektor (bzgl. der gewählten Basis) schreiben.
Aufbau der Abbildungsmatrix bei Verwendung von Spaltenvektoren
Nach der Wahl von Basen in Definitionsmenge und Zielmenge stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums. Konkret: Der erste Basisvektor des Urbildraumes hat nach der Abbildung den Koordinatensatz aus der ersten Spalte usw. So wird die gesamte Abbildungsmatrix aufgebaut. Eine Abbildungsmatrix, die eine Abbildung aus einem 4-dimensionalen Vektorraum in einen 6-dimensionalen Vektorraum beschreibt, muss daher stets 6 Zeilen (für die sechs Bildkoordinaten der Basisvektoren) und 4 Spalten haben.
Bestimmung der Bilder von Vektoren
Mit der Abbildungsmatrix kann man aus den Koordinaten eines Vektors (bzgl. der Basis des Urbildraums) die Koordinaten seines Bildes unter der Abbildung (bzgl. der Basis des Bildraums) berechnen, indem man den (Spalten-)Vektor von rechts mit der Matrix multipliziert.
Verwendung von Zeilenvektoren
Verwendet man anstelle von Spalten- Zeilenvektoren, dann muss die Abbildungmatrix transponiert werden. Das bedeutet, dass nun die Koordinaten des Bildes des 1. Basisvektors im Urbildraum in der ersten Zeile stehen usw. Bei der Berechnung der Bildkoordinaten muss der (Zeilenkoordinaten-)vektor nun von links an die Abbildungsmatrix multipliziert werden.
Beschreibung von Endomorphismen durch Abbildungsmatrizen
Bei einer linearen Selbstabbildung (einem Endomorphismus) eines Vektorraums, legt man gewöhnlich eine feste Basis des Vektorraumes als Definitionsmenge und Zielmenge zugrunde. Dann beschreibt die Abbildungsmatrix die Veränderung, die die Koordinaten eines beliebigen Vektors bezüglich dieser Basis bei der Abbildung erfahren. Die Abbildungsmatrix ist bei Endomorphismen stets quadratisch, d.h. die Zahl der Zeilen stimmt mit der Zahl der Spalten überein.
Weblinks
- Linkkatalog zum Thema Algebra bei curlie.org (ehemals DMOZ)