Ein Körper ist eine mathematische Struktur aus einer Menge M und zwei Verknüpfungen, die üblicherweise als Addition + und Multiplikation * bezeichnet werden, obwohl sie sich von den üblichen Grundrechenarten unterscheiden können.
Definition
- (M,+,*) ist ein Körper, wenn gilt:
- (M,+) ist eine abelsche Gruppe mit Neutralelement 0.
- (M\{0},*) ist eine abelsche Gruppe. Darin ist M\{0} die Menge M ohne das Element 0.
- Es gilt das Distributivgesetz a*(b+c) = a*b + a*c.
Beispiele für Körper sind die Menge der rationalen Zahlen mit + und *, die Menge der reellen Zahlen mit + und * oder die Menge der komplexen Zahlen mit + und *.
Die Definition sorgt dafür, dass Multiplikation und Addition in der "gewohnten" Weise funktionieren. Dass (M\{0},*) eine Gruppe ist, heißt auch, dass es darin ein Neutralelement geben muss. Man nennt es 1. Die Inversen sind die Kehrwerte. Da die 0 keinen Kehrwert hat, musste sie aus der Menge herausgenommen werden.
Ein Gegenbeispiel bildet die Menge Z der ganzen Zahlen mit + und *. (Z,+,*) ist kein Körper. Zwar ist (Z,+) eine Gruppe (Neutral ist die 0, das Inverse zu a ist -a), aber (Z\{0},*) ist keine Gruppe. Es gibt zwar das Neutralelement 1, aber außer zu 1 und -1 gibt es keine Inversen (z.B. 3-1 = 1/3 ist in Z nicht definiert).
Endliche Körper
Der Körper ist endlich, wenn seine Grundmenge M endlich ist. Die Bezeichnungen 0, 1, +, * verlieren dann ihre gewohnte Bedeutung, und man kann sie auch anders bezeichnen, zum Beispiel n statt 0, e statt 1, o statt +, x statt *. Da ein Körper zumindest die Null (n, Neutrales der Addition) und die Eins (e, Neutrales der Multiplikation) enthalten muss, kann er nicht weniger als zwei Elemente haben (Man kann beweisen, dass stets 0 ungleich 1 ist, falls es überhaupt mehr als ein Element geben soll).
Der kleinste Körper besteht tatsächlich nur aus diesen zwei Elementen:
Grundmenge ist M = {n,e}.
Die Verknüpfungen o und x sind durch Verknüpfungstabellen definiert:
Addition o:
| n | e | |
| n | n | e |
| e | e | n |
Multiplikation x:
| n | e | |
| n | n | n |
| e | n | e |
Restklassenkörper
Restklassen fassen natürliche Zahlen in Klassen mit gleichem Divisionsrest (bei Division durch eine bestimmte Zahl, den "Modul") zusammen. Bei Divison durch 3 entstehen zum Beispiel die drei Restklassen
- 0 = { 0; 3; 6; 9; 12; ... } d.h. die durch 3 teilbaren Zahlen.
- 1 = { 1; 4; 7; 10; 13;... } d.h. der Divisionsrest ist 1.
- 2 = { 2; 5; 8; 11; 14;... } d.h. der Divisionsrest ist 2.
Unter Addition und Multiplikation von Restklassen versteht man die Addition und Multiplikation von beliebigen Elementen dieser Klassen und anschließende Restbildung des Ergebnisses. Beispiel:
1 + 2: Wähle etwa die 4 aus 1 und die 8 aus 2. Rechne 4 + 8 = 12. 12 ist in 0. Also 1 + 2 = 0.
Die Menge M = {0,1,2} bekommt so die Verknüpfungstabellen:
Addition +:
| 0 | 1 | 2 | |
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |
Multiplikation *:
| 0 | 1 | 2 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 0 | 2 | 1 |
Sie erfüllen die Definition eines Körpers. (M,+,*) nennt man den Restklassenkörper modulo 3.
Der oben erwähnte Minimalkörper mit nur 2 Elementen ist strukturgleich ("isomorph") zum Restklassenkörper modulo 2 (Ersetze n,e,o,x wieder durch 0,1,+,*, um dies einzusehen).
Ringe, Schiefkörper
Damit ein Körper entsteht, muss der Divisor eine Primzahl sein. Gegenbeispiel: Divisionsrest 4.
- M = {0;1;2;3} mit
- 0 = { 0; 4; 8; 12; 16; ... }
- 1 = ( 1; 5; 9; 13; 17; ... }
- 2 = ( 2; 6; 10; 14; 18;... }
- 3 = ( 3; 7; 11; 15; 19;... }
Darin ist 2 * 2 = 0. Die Multiplikation ist also in (M\{0},*) nicht abgeschlossen, es gibt Nullteiler (2 ist Teiler von 0). Zugleich hat 2 in (M\{0},*) kein Inverses. (M\{0},*) ist also keine Gruppe (sondern nur eine Halbgruppe). Die so entstehende Struktur (M,+,*) ist kein Körper, sondern ein Ring (Restklassenring modulo 4).
Die oben erwähnte Menge Z der ganzen Zahlen mit + und * bildet zum Beispiel einen Ring (Z,+,*).
Fehlt einer Struktur zu den Körpereigenschaften nur die Kommutativität der Multiplikation, so spricht man von einem Schiefkörper.
Welche endlichen Körper gibt es?
Ein endlicher Körper hat immer genau pn Elemente, wobei p eine (beliebige) Primzahl ist, und n eine natürliche Zahl. Zwei endliche Körper mit gleichvielen Elementen sind immer zueinander isomorph.
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