Eine Boole'sche Algebra besteht aus einer Menge S, zwei darauf definierten zweistelligen Funktionen ∧ (Konjunktion bzw. und) und ∨ (Disjunktion, oder) sowie einer einstelligen Funktion ¬ (Negation, nicht), für die gilt:
- ∧ und ∨ sind assoziativ, kommutativ und zueinander distributiv mit neutralen Element 1 für ∧ und 0 für ∨
- ¬(¬x) = x
- Boole'schen Kongruenzen: x∧x = x, x∨x = x
- Absorbitionsgesetze: x∧(x∨y) = x, x∨(x∧y) = x
- De Morgan'sche Regeln: ¬(x∧y) = ¬x∨¬y, ¬(x∨y) = ¬x∧¬y
Beispiele für eine Boole'sche Algebra sind die Aussagenlogik, die Schaltalgebra oder die Mengenalgebra.
Durch die Definition einer partiellen Ordnung auf S erhält man einen Boole'schen Verband.
George Boole publizierte eine erste Fassung der Algebra 1847. Sie wurde von später von John Venn, W. Stanley Jevons und Charles Peirce erweitert. Boole arbeitet mit Und-, Oder- und Nicht-Operationen, wobei die Oder-Operation exklusiv war. Peirce führte 1867 die inklusive Oder-Operation ein und bezeichnete sie mit einem Plus-Zeichen.