Höhe (Geodäsie)

Eine Höhe ist in der höheren Geodäsie die Positionsangabe des lotrechten Abstands von einer Referenzfläche. Man benutzt als Höhenreferenzfläche ein Geoid, Quasigeoid oder auch ein geodynamisch angepasstes Referenzellipsoid. Die Höhe dieser Bezugsflächen wird an einem mittlerem Meeresspiegel (auch Pegel genannt) festgemacht. Je nach Land oder Anwendung werden unterschiedliche Höhendefinitionen und unterschiedliche Pegel verwendet. (siehe auch Höhe über dem Meeresspiegel)

Höhendefinitionen

Im Allgemeinen wird erwartet, dass

1. eine Höhe eine geometrische Größe ist und in Längeneinheiten gemessen wird und
2. zwischen Punkten gleicher Höhe kein Wasser fließt.

Dass Höhen nicht gleichzeitig (1) geometrisch und (2) physikalisch korrekt sein können, kann man sich wie folgt verdeutlichen: Zu Punkt (2) müssten die Punkte das gleiche Schwerepotential aufweisen und somit auf einer Äquipotentialfläche der Schwere liegen. Aufgrund der Erdrotation und lokaler Unregelmäßigkeiten im Masseaufbau der Erde verlaufen die Äquipotentialflächen jedoch nicht parallel. So ist die Schwerkraft aufgrund der Erdrotation an den Polen 1/200 größer als am Äquator, die Potentialflächen liegen damit an den Polen um 1/200 enger beisamen.

Für die Praxis sind verschiedene Höhensysteme entwickelt worden.

1. geometrische definierte Höhen, ausgedrückt in einer Längeneinheit.
   • ellipsoidische Höhen
2. rein physikalisch definierte Höhen aus der Differenz zweier Schwerepotentiale.
   • dynamische Höhen
3. metrische Höhen über einer tatsächlichen oder genäherten Äquipotentialfläche
   • orthometrische Höhen
   • Normalhöhen
   • normal-orthometrische Höhen

Zwischen den Höhensystemen bestehen merkliche Unterschiede, die im Hochgebirge Größenordnungen von cm...dm pro Kilometer erreichen können. Die Unregelmäßigkeiten im Erdschwerefeld werden seit etwa 100 Jahren unter den Begriffen Lotabweichung bzw. Schwereanomalie und Geoid erforscht und heute ausreichend genau messtechnisch erfasst.

Ellipsoidische Höhen

Geometrisch definierte Höhen werden heute als ellipsoidische Höhe bezeichnet. Diese geben den Abstand eines Punktes von einem geodynamisch definierten Referenzellipsoiden entlang der Ellipsoidnormalen an. Zwei Punkte gleicher ellipsoidischer Höhe liegen jedoch nicht auf der selben Äquipotentialfläche, sodass zwischen ihnen Wasser fließen kann. Die Geoidundulation, das ist die Abweichung zwischen dem Referenzellipsoid und dem Geoid, beträgt weltweit bis zu 110 m.

Ellipsoidische Höhen können direkt mittels GPS bestimmt werden. Eine einfache Umrechnung von nivellierten in ellipsoidische Höhen ohne Kenntnis der Schwerestörungen ist nicht möglich. Hier wäre die Anlage eines Raumpolygonzuges erforderlich.

Dynamische Höhen

Damit zwischen zwei Punkten kein Wasser fließt, müssen sie auf einer Äquipotentialfläche der Schwere liegen. Dynamische Höhen hängen direkt mit dem Schwerefeld zusammen. Sie werden aus den Schweredifferenzen zum Geoid (Geopotentielle Kote $C$) in der Regel mit der Normalschwere auf Meeresniveau bei 45° Breite $\gamma _{0}^{45}$ in die Dimension Meter umgerechnet. Aufgrund der geringeren Schwerebeschleunigung am Äquator, liegen dort die Aquipotientialflächen um etwa $5/1000$ weiter auseinander als an den Polen.

$H={\frac {C}{\gamma _{0}^{45}}}$ mit $\gamma _{0}^{45}=9,80665\,{\frac {m}{s^{2}}}$

Orthometrische Höhen

Die orthometrische Höhe resultiert aus der metrischen Bogenlänge der gekrümmten Lotlinie zwischen einem Punkt auf der Erdoberfläche und dem Geoid. Für die orthometrische Korrektion ist die mittlere Schwerebeschleunigung ${\bar {g}}$entlang der Lotlinie notwendig. Diese kann im Erdinneren jedoch nicht gemessen werden, sodass sie nur durch Aufstellen einer Hypothese über die Masseverteilung berechnet werden kann. Orthometrische Höhen sind somit hypothesenbehaftet. Auch Punkte gleicher orthometrischer Höhe liegen in der Regel nicht auf der gleichen Niveaufläche.

$H={\frac {C}{\bar {g}}}$ mit ${\bar {g}}={\frac {1}{H}}\int _{0}^{H}g\,dH$

Normalhöhen

Normalhöhen beschreiben den Abstand eines Punktes entlang der normalen Lotlinie vom Quasigeoid. Auch sie setzen aufwändige gravimetrische Messungen voraus. Für die Umrechnung wird die mittlere Normalschwere ${\bar {\gamma }}$benutzt. Die Normalhöhe ist anders als die orthometrische Höhe hypothesenfrei bestimmbar. Sie beschreiben ein Höhensystem, das von dem sowjetischen Geophysiker Michail Sergejewitsch Molodenski beschrieben wurde. Normalhöhen und orthometrische Höhen unterscheiden sich wegen Abweichung der tatsächlichen Schwere von der Normalschwere. Die Unterschiede können im Hochgebirge mehrere Dezimeter betragen.

$H={\frac {C}{\bar {\gamma }}}$ mit ${\bar {\gamma }}={\frac {1}{H}}\int _{0}^{H}\gamma \,dH$

Normal-orthometrische Höhen

Liegen keine Schweremessungen vor, kann die Schwerekorrektion der beobachteten Höhenunterschiede nur mit der Normalschwere durchgeführt werden. Die abgeleiteten Höhen nennt man dann normal-orthometrische Höhen oder sphäroidisch-orthometrische Höhen. Die Abweichungen zu Normalhöhen fallen gering aus, da sich die Korrekturen nur wegen des kleinen Anteil des Oberflächenfreiluftgradienten unterscheiden.

Korrektionen

Die eigentliche Messgröße der Höhenmessung sind keine Höhen über dem Meeresspiegel sondern Höhenunterschiede $\Delta H$. Diese werden in der Landesvermessung üblicherweise durch Nivellement bestimmt. Um die gemessenen Höhenunterschiede $dn$ in eine der Höhendefinitionen umzurechnen sind Korrektionen $E$ anzubringen.

$\Delta H_{12}=H_{2}-H_{1}=\int _{1}^{2}dn+E_{12}$

dynamische Korrektion

Durch dynamische Korrektion lassen sich die nivellierten Höhenunterschiede in dynamische Höhenunterschiede umrechnen.

$E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {g-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}dn$

orthometrische Korrektion

Bei der orthometrischen Korrektion kommen zum streng bestimmbaren dynamischen Anteil zwei hypothesenbehaftete ortsabhänge Anteile.

$E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {g-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}dn+{\frac {{\bar {g}}_{1}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{1}-{\frac {{\bar {g}}_{2}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{2}$

Unter der Annahme der mittleren Erdkrustendichte von 2,67 g/cm³ gilt für die mittleren Schwere ${\bar {g}}$:

${\bar {g}}=g+0,424*10^{-6}s^{-2}\,H$

normale Korrektion

Analog dazu können mit der normalen Korrektion Normalhöhenunterschiede berechnet werden. Hier werden anstelle der mittleren Schweren ${\bar {g}}$ die hypothesefreien mittleren Normalschweren ${\bar {\gamma }}$ verwendet.

$E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {g-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}dn+{\frac {{\bar {\gamma }}_{1}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{1}-{\frac {{\bar {\gamma }}_{2}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{2}$

normal-orthometrische Korrektion

Bei der normal-orthometrischen Korrektion wird anstelle der gemessenen Schwere $g$ die Normalschwere $\gamma$ zur dynamischen Korrektion benutzt.

$E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {\gamma -\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}dn+{\frac {{\bar {\gamma }}_{1}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{1}-{\frac {{\bar {\gamma }}_{2}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{2}$

Siehe auch

• Höhe, Höhenmessung

Literatur

• Wolfgang Torge: Geodäsie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin u.a. 2003, ISBN 3-11-017545-2

Weblinks

• Höhenreferenzsysteme. Bundesamt für Kartographie und Geodäsie
• Abbildung: Höhen und Bezugsflächen