Hyper-Operator

hyper4 ist eine mathematische Notation zur Beschreibung von "Potenz-Türmen" und großen Zahlen durch eine Erweiterung der herkömmlichen Operatoren für die Addition, Multiplikation und Potenzierung.

Herleitung der Notation

Die Notation setzt die Folge von Addition ($+$), Multiplikation ($\cdot$) und Potenzierung ($a^{b}$) fort.

Ausgehend von den Beobachtungen

• $a+b=1+(a+(b-1))$
• $a\cdot b=a+(a\cdot (b-1))$
• $a^{b}=a\cdot (a^{(b-1)})$

definiert man rekursiv einen dreistelligen Operator $a^{(n+1)}b:=a^{(n)}(a^{(n+1)}(b-1))$ mit $a^{(1)}b=a+b$ sowie die Bezeichnungen $\operatorname {hyper{\mathit {n}}} (a,b)=a^{(n)}b$ und $\operatorname {hyper} (a,n,b)=a^{(n)}b$

Somit ist hyper1 die Addition, hyper2 die Multiplikation und hyper3 die Potenzierung. hyper4 wird auch bezeichnet als Tetration oder Superpotenz; es gibt dafür auch die Notation $\operatorname {hyper4} (a,b)={}^{b}a$. Beispiel: $3^{4}3=3^{3}(3^{4}2)=3^{3^{4}2}=3^{3^{3}(3^{4}1)}=3^{3^{3}}=3^{2}7=7625597484987$

Die Familie wurde für $n>3$ nicht für Reelle Zahlen erweitert, weil es mehrere "offensichtliche" Wege dazu gibt, die jedoch nicht assoziativ sind.

Die hypern-Operatorenfamilie ist eng verwandt mit Knuths Pfeilnotation.

Eine andere Erweiterung

Die obige Erweiterung kann auch auf der entgegengesetzten Seite durchgeführt werden. Ausgehend von

• $a+b=a+(b-1))+1$
• $a\cdot b=(a\cdot (b-1))+a$
• $a^{b}=(a^{(b-1)})\cdot a$

definiert man $a_{(n+1)}b=(a_{(n+1)}(b-1))_{(n)}a$ mit $a_{(1)}b=a+b$

Diese Notation "kollabiert" jedoch für $n=4$; sie ergibt im Gegensatz zu hyper4 keinen Potenz-Turm mehr:

$a_{(4)}b=a^{(a^{(b-1)})}$

Wie können sich $a^{(n)}b$ and $a_{(n)}b$ plötzlich für $n>3$ unterscheiden? Das liegt an der Assoziativität, einer Eigenschaft, die die Operatoren $+$ und $\cdot$ besitzen (siehe auch Körper), die aber dem Potenz-Operator fehlt . (Im Allgemeinen ist $a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}$.)

Die anderen Ebenen kollabieren nicht auf diese Weise, weshalb auch diese Operatorenfamilie, genannt "niedere hyper-Operatoren" von Interesse ist.

Siehe auch: Ackermannfunktion

Weblinks (englisch)

• The Dictionary of Large Numbers (Dictionary's author Robert Munafo claims the (n) notation as his own—it's alright to use it, but it's not a standard.)
• Lynz and the Clarkkkkson
• On extending hyper4 to nonintegers