Winkelsumme

Mit der (Innen-)Winkelsumme einer ebenen geometrischen Figur ist meistens die Summe aller Innenwinkel der Figur gemeint.

Winkelsumme in der euklidischen Geometrie

Liegt das Polygon in einer euklidischen Ebene, ist die Winkelsumme durch die Formel

$(n\cdot 180^{\circ })-360^{\circ }=(n-2)\cdot 180^{\circ }$

gegeben, wobei $n$ für die Zahl der Ecken des Polygons steht.

Beispiele

Aus der Formel ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für Drei-, Vier- und Fünfecke:

• für Dreiecke ($n=3$): $(n-2)\cdot 180^{\circ }=(3-2)\cdot 180^{\circ }=180^{\circ }$
• für Vierecke ($n=4$): $(n-2)\cdot 180^{\circ }=(4-2)\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$
• für Fünfecke ($n=5$): $(n-2)\cdot 180^{\circ }=(5-2)\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$

Herleitung der Formel

Dreiecke

Zum Beweis der Winkelsumme im Dreieck:
Die beiden blauen Winkel sind gleich groß, da es Stufenwinkel an Parallelen, die beiden roten weil es Wechselwinkel an Parallelen sind. Da alle drei Winkel an B den gestreckten Winkel bilden gilt $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° ist, folgt aus den Axiomen der euklidischen Geometrie (siehe Grafik).

Allgemein

Man kann ein konvexes $n$-Eck mit Hilfe eines Punktes im Innern in $n$ Teildreiecke teilen, die dann insgesamt eine Winkelsumme von $n\cdot 180^{\circ }$ haben. Allerdings muss man hiervon noch den Vollwinkel um diesen Punkt abziehen, also

$n\cdot 180^{\circ }-360^{\circ }=n\cdot 180^{\circ }-2\cdot 180^{\circ }=\mathbf {(n-2)\cdot 180^{\circ }} .$

Alternativ kann man sagen, dass von einer Ecke aus $(n-3)$ Diagonalen ausgehen, die das Polygon in $(n-2)$ Teildreiecke teilen, deren Winkelsumme also $(n-2)\cdot 180^{\circ }$ ist. Damit ist die Formel gezeigt.

Winkelsumme in der nichteuklidischen Geometrie

In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver Krümmung, beispielsweise auf der Oberfläche einer Kugel, beträgt die Winkelsumme stets mehr als die angegebenen Werte. Je größer das Polygon, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Beispiel: Auf der Erde hat das Dreieck, das vom Äquator, vom Nullmeridian und vom 90. Längengrad gebildet wird, die Winkelsumme 270°.

In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer Krümmung, zum Beispiel auf einer Sattelfläche, beträgt die Winkelsumme stets weniger als die angegebenen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen.