Tensorprodukt

Das Tensorprodukt ist ein sehr vielseitiger Begriff der Mathematik: In der linearen Algebra und in der Differentialgeometrie dient er zur Beschreibung von multilinearen Abbildungen, in der kommutativen Algebra und in der algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts

$\underbrace {V\otimes \dotsb \otimes V} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dotsb \otimes V^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}$

(für einen Vektorraum $V$ mit Dualraum $V^{*}$, oft $V=\mathbb {R} ^{3}$) als Tensoren, kontravariant der Stufe $r$ und kovariant der Stufe $s$. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ $(r,s)$. Wie sich dieses Verständnis dem allgemeinen Verständnis von Tensoren unterordnet, erklärt Abschnitt Homomorphismen als Tensoren: Lineare Abbildungen $f\colon V\to W$ lassen sich als Tensoren aus $V^{*}\otimes W$ interpretieren. (Hierzu siehe auch Artikel Tensor).

Dieser Artikel legt den Schwerpunkt auf die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorproduktes. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor.

Der Begriff wird zunächst am einfachsten Beispiel des Tensorprodukts auf Vektorräumen erläutert, bevor skizziert wird, wie er auf Moduln verallgemeinert wird.

Tensorprodukt von Vektorräumen

Einleitung

Das Tensorprodukt ist ein Objekt der multilinearen Algebra, welches nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Was auf den ersten Blick enttäuschend klingen mag, bedeutet in Wahrheit jedoch die äußerst flexible Anwendbarkeit dieses Begriffs. Im Mittelpunkt stehen – als Erweiterung des Begriffs der linearen Abbildungen – die multilinearen Abbildungen. Dies sind Abbildungen in $N$ linearen Variablen (Vektoren), die in jeder einzelnen für sich genommen, während die anderen unverändert bleiben, linear sind. Dass Messgrößen in dieser Weise voneinander abhängen, beobachtet die Physik häufig. Im Falle von $N=1$ spricht man von (uni)linearen, bei $N=2$ von bilinearen, für $N=3$ von trilinearen, im allgemeinen Falle von $N$-fach multiliniearen Abbildungen.

Beispiele für multilineare Abbildungen auf ein und demselben Vektoraum $V$ der Dimension $\dim V=:n$ sind (insbesondere aus dem Anschauungsraum $K=\mathbb {R} ,n=3,V=\mathbb {R} ^{3}$) bekannt:

• Das (innere) Skalarprodukt: Dies ist ein Produkt zweier Vektoren ($N=2$) aus dem Vektorraum mit Werten im Grundkörper $K$. Es misst die Länge der (gerichteten) Projektion des einen Vektors auf den anderen skaliert mit dessen Länge.
• Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt oder äußere Produkt: Dies ist ein Produkt von $N=n-1$ Vektoren aus dem Vektorraum und liefert einen Vektor, dessen Länge im $n$-dimensionalen das vorzeichenbehaftete (da orientierte) Volumen des Hyperquaders misst, der von $n-1$ Vektoren aufgespannt wird, und der senkrecht (orthogonal) auf dem Hyperquader steht.
• Die Determinante misst (als Volumenform) im $n$-dimensionalen das Volumen des von $n$ Vektoren aufgespannten Quaders als Skalargröße. Für sie ist also $N=n$. Sie lässt sich auch als Skalarprodukt von einem ihrer $n$ Vektoren mit dem Vektorprodukt der übrigen $n-1$ Vektoren errechnen. (Dem entspricht die Entwicklungsformel nach einer Spalte oder Zeile.) Sie lässt sich durch das Spatprodukt (verallgemeinert ins $n$-Dimensionale) vom Kreuzprodukt ableiten.
• Die Duale Paarung ist ebenfalls eine bilineare Abbildung auf einem Vektorraum und seinem Dualraum. Sie besteht in der bloßen Auswertung eines Kovektors (einer Linearform) auf einem Vektor und ermöglicht es, einen Vektorraum als einen Unterraum seines Bidualraumes aufzufassen, bei endlicher Dimension sogar mit ihm kanonisch zu identifizieren.

All diese „Produkte“ verdienen diesen Namen, weil sie bilinear bzw. multilinear sind, und stellen daher – trotz ihrer Verschiedenheit – Beispiele für Tensoren dar. Tensoren sind multilineare Abbildungen, und das Tensorprodukt lässt sich als ein universeller Tensor verstehen: Alle denkbaren multilinearen Abbildungen (Produkte von Vektoren aus vorgegebenen Vektorräumen) lassen sich mit Hilfe des Tensor(produkt)raumes einheitlich beschreiben, ganz ähnlich, wie der Koordinatenraum $K^{m}$ ein Modell für jeden $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum ist. Der Fall $N=1$ ist also aus der Theorie der Vektorräume (der (uni)linearen Algebra) bekannt, und es wird im Folgenden deutlich werden, dass (für den Fall $N=1$ uni)lineare Tensoren nichts anderes als Kovektoren (Linearformen), also Elemente des Dualraumes sind. Man spricht auch von kovarianten Tensoren, im Gegensatz zu den kontravarianten Tensoren, welche den Vektoren des Ursprungsraums entsprechen.

Anmerkung: Für $N\geq 2$ gibt es auch gemischte Tensoren. Der Fall $N=1$ könnte auch als Induktionsanfang für eine induktive Definition benutzt werden, doch ist die Definition für den allgemeinen Fall auch unmittelbar möglich.

Lineare Abbildungen können in Koordinatenräumen dargestellt werden. Insbesondere können sie durch Linearformen (also durch lineare Abbildungen $\lambda :V\in K$ in den Grundkörper) dargestellt werden, wie kurz erläutert werden soll: Es seien dazu $V=\bigoplus _{i\in I}v_{i}$ und $W=\bigoplus _{j\in J}w_{j}$ Vektorräume über dem Grundkörper $K$ mit den Basen $(v_{i})_{i}$ bzw. $(w_{j})_{j}$. Jede Abbildung $f:B\to W$ einer Menge (!) $B$ in den Vektorraum $W$ zerfällt in naheliegender Weise in die Summe $f=f_{j}$ von Komponentenabbildungen $f_{j}$ definiert durch $f(v)=:\sum _{j\in J}\underbrace {w_{j}\cdot \lambda _{j}(v)} _{=:f_{j}(v)=\pi _{j}\circ f}$, wobei $\pi _{j}:W\to W_{j}:=K\cdot w_{j}$ die kanonischen Projektionen bezeichne. In dieser Weise lassen sich alle vektorwertigen Funktionen zerlegen, insbesondere lineare Abbildungen $f:V\to W$ in die Summe der zugehörigen Linearformen $\lambda _{j}$.

Aus der (uni)linearen Algebra ist bekannt, dass derartige Linearformen als Kovektoren bezeichnet werden und dual zu den Ursprungsvektoren beschrieben werden: Werden die Vektoren $v=\sum _{i}v_{i}\cdot x_{i}\in V$ als Spaltenvektoren ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\dots \\x_{m}\end{pmatrix}}$ dargestellt (bezogen auf die gewählte Basis), so können die Kovektoren als Zeilenvektoren dargestellt werden und sind als Elemente des Dualraumes $V^{*}$ zu verstehen: Als solche sind sie eindeutig als eine Linearkombination $\sum _{i\in I}x'_{i}\cdot v_{i}^{*}$ der zu $(v_{i})_{i}$ dualen Basis $(v_{i}^{*})_{i}$ darstellbar. Bei endlicher Dimension besteht eine – freilich basisabhängige – Isomorphie zwischen Dualraum und Ursprungsraum, während die Isomorphie zwischen Bidualraum und Ursprungsraum kanonisch ist. („Der Ursprungsraum ist dem Dualraum sein Dualraum.“)

Zusammengefasst: Jede lineare Abbildung $f\in L(V,W):=\mathop {\mathrm {Hom} } (V,W)$ lässt sich als Linearkombination $\sum _{j\in J}w_{j}\lambda _{j}=f_{j}$ von Linearformen (Kovektoren) darstellen. Die elementaren Bausteine linearer Abbildungen sind also Kovektoren $v^{*}\in V^{*}$, und diese sind mit dem Dualraum gut bekannt. Der Koordinatenabbildung $\phi :V\to \bigoplus _{i\in I}v_{i}\cdot K\cong K^{(I)}\cong \coprod _{i\in I}K$ liefert eine konkrete Darstellung als Spalten- bzw. Zeilenvektoren, mit deren Hilfe jede lineare Abbildung $f\in L(V,W)$ mit einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung ${\tilde {f}}$ als Kompositum $f:V{\stackrel {\phi }{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}}K^{(I)}{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}W$ dargestellt werden kann.

Das $N$-fache Tensorprodukt $\otimes :\prod _{k=1}^{N}V^{(k)}\to \bigotimes _{k=1}^{N}V^{(k)}$ klärt dieselbe Fragestellung für $N$-fach multilineare Abbildungen $\psi :\prod _{k=1}^{N}V^{(k)}\to W$ und wird ebenfalls liefern: Jede derartige multilineare Abbildung $\psi$ ist mit Hilfe einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung ${\tilde {\psi }}:\bigotimes _{k=1}^{N}V^{(k)}\to W$ darstellbar als $\psi ={\tilde {\psi }}\circ \otimes$. Um alle multilinearen Abbildungen („Tensoren)“ zu kennen, genügt es also, dass Tensorprodukt zu kennen, denn ist universell: Jede multilineare Abbildung ist ein (sogar eindeutig bestimmtes) lineares Abbild des Tensorprodukts. So erscheint das Tensorprodukt als eine multilineare Koordinatenabbildung, mit der jeder Tensor auf eindeutige Weise linear parametrisiert werden kann. Man darf sie sich als eine multilineare Koordinatenabbildung vorstellen, die minimal mit der Eigenschaft ist, dass jede multilineare Abbildung ihr lineares Abbild ist. Die Minimalität sichert die Eindeutigkeit des linearen Abbildes. Als Koordinatenraum für die Koordinatendarstellung von Tensoren wird sich der Raum der $N$-dimensionalen (Super-)Matrizen empfehlen.

Da – zumal im endlichdimensionalen Falle – etliche Identifikationen rund um Vektorräume, ihre Dualräume und die Räume linearer Abbildungen möglich sind, gibt es für den Tensorproduktraum viele isomorphe Deutungen. Daher lassen sich in der Literatur viele Zugänge und unterschiedliche Betrachtungsweisen finden. Das Wesen des Tensorprodukts liegt jedoch in der Betrachtung multilinearer Abbildungen $V^{(1)}\times \dots \times V^{(N)}\longrightarrow W$, also Abbildungen, die in jeder einzelnen Komponente ($V^{(i)},\,i=1,\dots ,N$) bei festgehaltenen übrigen Komponenten $K$-linear sind. Der Raum dieser Abbildungen ist in naheliegender Weise ein Vektorraum über $K$ und wird mit $L^{N}(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};W)$ bezeichnet. Es ist $L(V,W)=L^{1}(V;W)$.

Wie erwähnt, beobachtet die Physik häufig, dass eine Messgröße, sei sie skalar- oder vektorwertig, von mehreren anderen abhängt und zwar von jeder einzelnen in linearer Weise. Wie sich die Abhängigkeit insgesamt beschreiben lässt, gibt der zugehörige Tensor an. Typischerweise entstammen die Observablen demselben Vektorraum $V=V^{(i)},i=1,\dots ,s$ oder aber seinem Dualraum $V^{*}=V^{(i)},i=s+1,\dots s+r=N$. Dies führt zum in der Physik üblichen Begriff der (gemischten) Tensoren vom Typ $(r,s)$, der $r$-fach kontravarianten und und $s$-fach kovarianten Tensoren (der Stufe $r+s$). Tatsächlich entstand der Begriff des Tensors zuerst in der Physik, wie im Artikel zum Tensor nachzulesen ist.

Es wird zunächst der Fall der bilinearen Abbildungen ($N=2$) behandelt, bevor der allgemeine Fall der multilinearen Abbildungen in verdichteter Form betrachtet wird.

Zur Motivation aus quantenmechanischer Sicht

In der Quantenmechanik ist der Zustandsraum eines Objekts ein Hilbertraum. Hat man $n$ Teilchen mit Zuständen $z_{1},\,\dotsc ,\,z_{n}$ in Hilberträumen $H_{1},\,\dotsc ,\,H_{n}$ und betrachtet nun die Zustände des aus den Teilchen gebildeten Systems $S$, so sind da zunächst die Zustände, die die Information zusammenfassen, die in den Zuständen $z_{i}\in H_{i}$ dieser Teilchen, jedes für sich allein, enthalten ist, und die man Produktzustände $z_{1}\cdot \dotsb \cdot z_{n}$ nennt. Da die Quantenmechanik verlangt, dass auch jede Überlagerung von Zuständen eines Objekts (hier $S$) wieder ein möglicher Zustand des Objekts ist, muss das mathematische Modell außer den genannten Produkten auch beliebige Linearkombinationen enthalten, die dann insgesamt den Hilbertraum des Systems $S$ bilden. Der neue Vektorraum wird mit $H_{1}\otimes \,\dotsb \,\otimes H_{n}$ bezeichnet und Tensorprodukt genannt.

Definition durch koordinatenbasierte Konstruktion

Es seien $V$ und $W$ zwei Vektorräume über einem gemeinsamen Skalarkörper $K$. Unter dem Tensorprodukt dieser beiden Vektorräume versteht man ein Paar $(V\otimes W,\otimes )$ bestehend aus

• einem Tensorproduktraum $V\otimes W$ und
• einer bilinearen Abbildung $\otimes \colon V\times W\to V\otimes W$.

Der Tensorproduktraum wird hier, die bilineare Abbildung wird dort konstruiert.

Zuvor jedoch ein Hinweis: Häufig spricht man abkürzend vom Tensorprodukt oder Tensorraum $V\otimes W$ unter Vernachlässigung der bilinearen Abbildung $\otimes$. Da dies leicht das Verständnis des Tensorprodukt erschwert, soll in diesem Artikel die Rolle der bilinearen Abbildung hervorgehoben werden. Gelegentlich wird aber auch gerade diese Abbildung als das Tensorprodukt angesprochen. Die Elemente des Tensorraumes werden ebenfalls als Tensoren bezeichnet. Doch auch bilineare Abbildungen werden als Tensoren bezeichnet: Unter ihnen befindet sich also auch das Tensorprodukt selbst, und es zeichnet eine Eigenschaft aus, die als „universell“ genannt wird: Es ist ein universeller Tensor. Wie in weiteren Abschnitten deutlich werden wird, gibt es eine Fülle kanonischer Identifikationen rund um die Tensorräume. So können auch lineare, bilineare und multilineare Abbildungen als Tensoren begriffen werden, zumal wenn die (nicht notwendig kanonische) Identifikation eines endlichdimensionalen Vektorraums mit seinem Dualraum stillschweigend vorgenommen wird – auch dieses Vorgehen verschleiert das Konzept des Tensorprodukts. Grundlage bildet jedoch die nun folgende Definition der beiden Bestandteile $V\otimes W$ und $\otimes \colon V\times W\to V\otimes W$.

Definition des bilinearen Tensorproduktraums durch Konstruktion

Der Tensorproduktraum $V\otimes W$ ist ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist ${\underline {v}}=\{v_{i}\mid i\in I\}$ eine Basis von $V$ und ${\underline {w}}=\{w_{j}\mid j\in J\}$ eine Basis von $W$, dann ist $V\otimes W$ ein Vektorraum, genannt Tensorproduktraum, in dem es eine Basis gibt, die auf umkehrbar eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts

${\underline {v}}\times {\underline {w}}=\{(v_{i},w_{j})\mid i\in I,j\in J\}$

der Basen der Ausgangsräume identifiziert werden kann.

NB: Diese Formulierung zeigt, dass der Tensorproduktraum $V\otimes W$ nicht eindeutig festgelegt ist: Es kann durchaus verschiedene Realisierungen geben. Ihnen allen gemeinsam ist aber, dass sie (durch eine Bijektion der Basen aufeinander, wie beschrieben, und lineare Fortsetzung) sämtlich miteinander identifiziert werden können, d. h. isomorph sind. Tensorprodukt(räume) sind also nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Die Dimension von $V\otimes W$ ist demzufolge gleich dem Produkt der Dimensionen von $V$ und $W$. Das Element dieser Basis, das dem geordneten Paar $(v_{i},w_{j})$ entspricht, wird als $v_{i}\otimes w_{j}$ notiert. Das Symbol $\otimes$ hat dabei bis hierher keine tiefere Bedeutung. Es erhält erst durch die Definition der bilinearen Abbildung $\otimes$ seine Bedeutung.

Da der Tensorproduktraum ein Vektorraum ist, hat also ein beliebiges Element des Tensorprodukts $V\otimes W$ die Gestalt

$\sum _{(i,j)\in I\times J}c_{ij}\cdot (v_{i}\otimes w_{j})\,,$

wobei die Summe endlich ist oder – was auf dasselbe hinausläuft – „fast alle“ Koeffizienten $c_{ij}$ verschwinden (gleich Null sein) müssen. Die Redensweise „fast alle“ bedeutet hierbei gemäß üblichem Sprachgebrauch „alle, bis auf endlich viele“. Das ließe sich auch mit dem Begriff der eingeschränkten Summe ${\widehat {\sum }}$ notieren: ${\widehat {\sum _{(i,j)\in I\times J}}}c_{ij}\cdot (v_{i}\otimes w_{j})$, vergleiche hierzu etwa den Artikel zum eingeschränkten direkten Produkt. Ein Tensor des Tensor(produkt)raumes wird daher häufig mit der Matrix $(c_{ij})_{i,j}$ identifiziert, ähnlich wie Vektoren mit den sie darstellenden Koordinatenvektoren.

Mit anderen Worten: Der Tensorraum $V\otimes W$ wird von den linear unabhängigen Elementen $v_{i}\otimes w_{j}$, die zunächst nur als Symbole begriffen werden, über dem Grundkörper $K$ frei erzeugt (vgl. die Artikel Direkte Summe und (allgemeiner) Produkt und Koprodukt):

$V\otimes W:=\bigoplus _{(i,j)\in I\times J}K\cdot (v_{i}\otimes w_{j})$.

Definition der bilinearen Abbildung durch explizite Festlegung auf Erzeugenden

Man kann nun mit Hilfe dieser Basis ein Produkt von Vektoren aus $V$ und $W$ definieren, das mit demselben Verknüpfungssymbol notiert wird. Natürlicherweise ist das Produkt zweier Basisvektoren $v_{i}\in {\underline {v}}\subset V$ und $w_{j}\in {\underline {w}}\subset W$ gerade der Basisvektor, der mit $v_{i}\otimes w_{j}\in V\otimes W$ bezeichnet wurde. Das Produkt beliebiger Vektoren wird nun durch bilineare Fortsetzung festgelegt:

Zwei Vektoren

$v=\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}\in V$ und $w=\sum _{j\in J}b_{j}w_{j}\in W$ (wie oben auch hier: endliche Summen, da ein Grenzwertbegriff oder Konvergenzbegriff mangels topologischer Struktur nicht zur Verfügung steht)

wird das Produkt

$v\otimes w=\sum _{(i,j)\in I\times J}a_{i}b_{j}\cdot (v_{i}\otimes w_{j})$

zugeordnet. Diese Summe ist ebenfalls endlich, weil fast alle Produkte $a_{i}b_{j}=0\in K$ sind, da dies schon für die Koeffizienten $a_{i}$ und $b_{j}$ gilt. Somit ist die bilineare Abbildung $\otimes$ definiert (unter Benutzung der obigen Bezeichnungen):

${\begin{matrix}\otimes \colon &V\times W&\longrightarrow &V\otimes W&&{\text{definiert durch}}\\&(v,w)&\longmapsto &v\otimes w&=&\sum _{(i,j)\in I\times J}a_{i}b_{j}\cdot (v_{i}\otimes w_{j})\;.\end{matrix}}$

Tensoren, die sich in der Gestalt $v\otimes w$ mit einem geeigneten Paar $(v,w)\in V\times W$ darstellen lassen, heißen elementare oder einfache Tensoren. Im Allgemeinen sind Tensoren jedoch keine elementaren Tensoren, sondern benötigen eine Summendarstellung (wie oben dargestellt) mit mehr als einem Summanden.

Eigenschaften

Im Folgenden werden einige Eigenschaften zusammengestellt, die für das Tensorprodukt wesentlich sind.

Bilinearität

Für das Tensorprodukt von Vektoren gelten (gemäß der obigen Konstruktion durch die bilineare Fortsetzung) folgende Rechenregeln für alle $v,v',v''\in V$ und $w,w',w''\in W$ sowie $\lambda \in K$:

	$(v'+v'')\otimes w=v'\otimes w+v''\otimes w$	(1)
	$v\otimes (w'+w'')=v\otimes w'+v\otimes w''$	(2)
	$(\lambda v)\otimes w=\lambda \cdot (v\otimes w)=v\otimes (\lambda w)$	(3)

Mit anderen Worten: Die Abbildung $\otimes \colon V\times W\to V\otimes W$; $(v,w)\mapsto v\otimes w$ ist $K$-bilinear, das heißt in jeder der beiden Komponenten, während die andere unverändert bleibt, linear. (Das soll nicht überraschen, denn sie wurde durch bilineare Fortsetzung gewonnen.)

Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze, was den Namen Tensorprodukt motiviert.

Dimensionsformel

Die Dimensionsformel wurde bereits erwähnt: $\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W$.

Kommutativität nicht gegeben

Ein Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, denn für $v\in V,w\in W$ gehören die Tensoren

$v\otimes w\in V\otimes W$ und $w\otimes v\in W\otimes V$

nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume $V$ und $W$ identisch sind. Jedoch sind auch in diesem Fall die Tensoren $v\otimes w$ und $w\otimes v$ im Allgemeinen verschieden: Siehe dazu Beispiele im Abschnitt über die Realisierung von Tensoren als Homomorphismen und im Abschnitt zum endlichdimensionalen Fall (Kronecker-Produkt).

Elementare Tensoren als Erzeugende

Tensoren der einfachen Gestalt $v\otimes w$ heißen elementare oder einfache Tensoren. Keineswegs hat jeder Tensor diese Gestalt: Allgemeine Tensoren sind – gemäß obiger Konstruktion – eine Linearkombination (eine endliche Summe) elementarer Tensoren. Dabei genügt es sogar, sich auf die elementaren Tensoren $v_{i}\otimes w_{j}$ zu beschränken, die von den Ausgangsbasen ${\underline {v}}$ und ${\underline {w}}$ herrühren, wie bereits im Rahmen der Konstruktion erwähnt wurde und auch aus den Rechenregeln ableitbar ist.

Lineare Fortsetzung von Abbildungen auf elementaren Tensoren

Die Tatsache, dass der Tensorproduktraum $V\otimes W$ von den elementaren Tensoren über $K$ linear erzeugt wird, hat ein wichtiges Prinzip zur Folge, das die Definition linearer Abbildungen betrifft. Es bezeichne $Y$ einen $K$-Vektorraum und $L(V\otimes W,Y)$ den Raum aller linearer Abbildungen $V\otimes W\to Y$.

Das Prinzip besagt:

Um eine lineare Abbildung $f\in L(V\otimes W,Y)$ wohl zu definieren, genügt es, sie auf elementaren Tensoren festzulegen. Es genügt sogar die Bilder $f(v_{i}\otimes w_{j})$ der elementaren Tensoren $v_{i}\otimes w_{j}$ anzugeben. Die Abbildung $f$, die bis dato erst eine Abbildung $f:\{v_{i}\otimes w_{j}\mid i,j\}\to Y$ ist, kann dann auf den gesamten Tensorraum $V\otimes W$ linear fortgesetzt werden, und zwar auf eindeutige Weise, und ist dadurch wohldefiniert.

Mit anderen Worten: Die Restriktionsabbildung

${\begin{matrix}\mathrm {restr} :L(V\otimes W,Y)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\mathrm {Abb'} (\{v_{i}\otimes w_{j}\mid (i,j)\in I\times J\},Y)\cong Y^{(I\times J)}\\{\text{definiert durch:}}\quad f&\longmapsto &f\mid _{I\times J}\,,\end{matrix}}$

die eine lineare Abbildung auf die Menge der Erzeugenden einschränkt, ist ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung wird gerade durch die lineare Fortsetzung geliefert.

Dabei mögen die beiden Notationen $\mathrm {Abb'} (M,Y)=Y^{(M)}$ die Menge aller Abbildungen von einer Menge $M$ in eine Gruppe $Y$ (hier: Vektorraum) bezeichnen, deren Werte an fast allen („$\forall '$“) Stellen $x\in M$ verschwindet: $f(x)=0\in Y\;\forall 'x$.

Dieses Prinzip beruht auf derjenigen universellen Eigenschaft, welche (gemäß obiger Definition) die Konstruktion des Tensorraums durch freie Erzeugung über dem Körper $K$ mit sich bringt.

Universelle Eigenschaft

Damit wird deutlich, dass das auf diese Weise mit konstruierte Tensorprodukt

$\otimes :V\times W\to V\otimes W$

unter allen bilinearen Abbildungen

$V\times W\to Y$ in einen beliebigen Vektorraum $Y$

eine besondere Eigenschaft hat. Es ist nämlich universell in dem Sinne, dass jede bilineare Abbildung lediglich ein lineares Abbild des Tensorprodukts ist, soll heißen:

Ist $\psi :V\times W\to Y$ ein bilineare Abbildung in einen $K$-Vektorraum $Y$, so kann $\psi$ aus $\otimes$ durch Anhängen einer (sogar eindeutig bestimmten) linearen Abbildung ${\tilde {\psi }}:V\otimes W\to Y$ gewonnen werden. Dazu muss sie – wie soeben beschrieben – nur auf den elementaren Tensoren $v\otimes w$ durch ${\tilde {\psi }}(v\otimes w):=\psi (v,w)$ definiert werden.

Es genügt also, das Tensorprodukt zu kennen, um alle bilinearen Abbildungen durch (uni)lineare Abbildung zu gewinnen. Somit birgt das Tensorprodukt alle Informationen für bilineare Abbildungen.

Die universelle Eigenschaft ist sogar geeignet, das Tensorprodukt hinreichend zu kennzeichnen: Dies geschieht durch die Universaldefinition, welche koordinatenfrei, basisunabhängig formuliert ist.

Endlichdimensionaler Fall

Haben die Vektorräume $V$ und $W$ endliche Dimension über $K$, sind also $I$ und $J$ endliche Mengen der Mächtigkeit $m=\dim V$ bzw. $n=\dim W$, so ist der Tensorproduktraum offenbar $V\otimes W$ mit dem $(mn)$-dimensionalen Raum $K^{(m\cdot n)}$ zu identifizieren. Wie aber sieht diese Identifikation aus? Aus der obigen Definition geht hervor, dass der Tensorproduktraum nur bis auf Isomorphie bestimmt ist. Dies soll an diesem Beispiel illustriert werden, indem verschiedene Möglichkeiten der Identifikation vorgestellt werden. Dadurch soll verdeutlicht werden, dass es nicht genügt, unter dem Tensorprodukt lediglich das Produkt zweier Räume zu verstehen, sondern es muss zusätzlich angegeben werden, wie das Produkt $v\otimes w$ zweier Vektoren definiert sein soll. Zwar ist es üblich, vom Tensorprodukt von Vektorräumen zu sprechen, aber es wäre besser, vom Tensorprodukt auf Vektorräumen zu sprechen, einer „Multiplikation“ von Vektoren, deren Ergebnis in einem neuen Raum liegt, eben dem Tensorproduktraum. Zu diesem Zweck sei der Einfachheit halber direkt in die Koordinatenräume übergangen: $V:=K^{m}$ und $W:=K^{n}$.

• Identifikation von $K^{(m\cdot n)}$ mit einem Vektorraum von Matrizen

Die Zeilen werden mit dem Basisindex $i\in I=\{1,\dotsc ,m\}$ von $V$ nummeriert, die Spalten mit dem Basisindex $j\in J=\{1,\dotsc ,n\}$ von $W$. Das Tensorprodukt zweier Vektoren $v=\sum _{i=1}^{m}a_{i}v_{i}\in V$ und $w=\sum _{j=1}^{n}b_{j}w_{j}\in W$ ist die Matrix $(a_{i}b_{j})_{i\in I,j\in J}$: Ihr Eintrag an der Stelle $(i,j)$ ist das Produkt aus der $i$-ten Koordinate von $v$ bezüglich ${\underline {v}}$ und der $j$-ten Koordinate von $w$ bezüglich ${\underline {w}}$.

Das Tensorprodukt lautet in diesem Falle $v\otimes w:=(a_{i}b_{j})_{i\in I,j\in J}$ und liefert $(m\times n)$-Matrizen.

• Identifikation von $K^{m}\times K^{n}\to K^{(m\cdot n)}$ mit dem üblichen Kronecker-Produkt

Für zwei Vektoren

$v:={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}$ und $w:={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$ setze ${\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}(a_{1}\cdot w)\\\vdots \\(a_{m}\cdot w)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\\\vdots \\a_{1}b_{n}\end{pmatrix}}\\\vdots \\{\begin{pmatrix}a_{m}b_{1}\\\vdots \\a_{m}b_{n}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$

In der Sprache der Matrizen heißt diese Konstruktion auch dyadisches Produkt der Koordinatenvektoren und ordnet sich dem Kronecker-Produkt von Matrizen unter.

Dies Produkt ist bilinear, jedoch nicht kommutativ, denn Vertauschung der Faktoren führt zu einer Permutation der Bild-Koordinaten.

• Identifikation von $K^{m}\times K^{n}\to K^{(m\cdot n)}$ mit dem opponierten Kronecker-Produkt

Ebenso gut ließe sich auch umgekehrt (vgl. Artikel Gegenring) definieren:

${\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{pmatrix}}{\stackrel {op}{\otimes }}{\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}(v\cdot b_{1})\\\vdots \\(v\cdot b_{n})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\\\vdots \\a_{m}b_{1}\end{pmatrix}}\\\vdots \\{\begin{pmatrix}a_{1}b_{n}\\\vdots \\a_{m}b_{n}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$

Auch dieses Tensorprodukt ist bilinear.

Diese Beispiele sollen verdeutlichen, dass das Tensorprodukt von Vektoren nur bis auf Isomorphie bestimmt ist: Die obigen Tensorprodukte sind nicht gleich, aber isomorph, und dies, obschon die Tensorprodukträume gleich sind.

Universaldefinition

Bisher wurde nicht auf die Frage eingegangen, auf welche Weise der mit $V\otimes W$ bezeichnete Vektorraum ohne Bezugnahme auf vorgegebene Basen der beiden Vektorräume beschrieben werden kann. Dies soll nun anhand der Universaldefinition geschehen, welche diesen Vektorraum allein anhand der universellen Eigenschaft eindeutig – allerdings bis auf Isomorphie – kennzeichnet. Allerdings war dies auch schon in der obigen Definition der Fall, da dort lediglich verlangt wurde, dass $V\otimes W$ eine Basis haben solle, die umkehrbar eindeutig mit den Paaren $(v_{i},w_{j})$ von Basisvektoren aus $V$ bzw. $W$ identifizierbar sei. Tatsächlich darf man sich – zumindest aus mathematischer Sicht – das Tensorprodukt zweier Vektoren nicht als ein „durch Multiplikation errechenbares“ Produkt in einem unverrückbar festgelegten Produktraum vorstellen. Vielmehr kann es verschiedene „Realisierungen“ geben. Beachte: Selbst beim Aufbau des Zahlensystems, für die vertrauten natürlichen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen, gibt es verschiedene, lediglich äquivalente Beschreibungsweisen. Immerhin stellt das Kronecker-Produkt ein konkretes (da koordinatengebundenes) Beispiel dar (siehe die Beispiele für den endlichdimensionalen Fall). Wesentlich und allen Realisierungen gemeinsam sind jedoch Eigenschaften, die das Tensorprodukt als solches eindeutig charakterisieren. Dies ist der Inhalt der folgenden universellen Eigenschaft des Tensorprodukts. Dabei müsste man also streng genommen nicht von dem Tensorprodukt sprechen, sondern von einem Tensorprodukt oder von einer Realisierung des Tensorprodukts. Das ist aber nicht üblich, stattdessen wird die Identifikation isomorpher Realisierungen stillschweigend unterstellt – ganz so, wie man es bei Zahlen schließlich auch tut.

Einige vorbereitende Festlegungen vorab: Es seien also $V$ und $W$ sowie $X$ und $Y$ Vektorräume über dem Körper $K$. Der Vektorraum der linearen Abbildungen von $V$ nach $X$ sei mit $L(V,X)$ bezeichnet, und der Vektorraum der bilinearen Abbildungen $V\times W\to X$ werde mit $L^{2}(V,W;X)$ bezeichnet.

Allgemein gilt nun: Ist eine bilineare Abbildung $\phi :V\times W\to X$ gegeben, so ist für jeden Vektorraum $Y$ die Abbildung

${\begin{aligned}\Phi \colon \;L(X,Y)&\longrightarrow L^{2}(V,W;Y)\\f&\longmapsto [f\circ \phi :(v,w)\mapsto f(\phi (v,w))]\end{aligned}}$

ein Homomorphismus.

Zur Erklärung:

Es ist leicht zu nachzuprüfen, dass für jede lineare Abbildung $f\in L(X,Y)$ das Kompositum $f\circ \phi$ bilinear ist. Die obige Abbildung $\Phi$ ist also wohldefiniert. Sie ist zudem ein Vektorraum-Homomorphismus (also eine lineare Abbildung).

Definition: Als Tensorprodukt der $K$-Vektorräume $V$ und $W$ wird jeder $K$-Vektorraum $X$ zusammen mit einer bilineare Abbildung $\phi \colon V\times W\to X$ bezeichnet, welcher die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Jede bilineare Abbildung $\psi \colon V\times W\to Y$ in einen $K$-Vektorraum $Y$ faktorisiert linear eindeutig über $\phi$, das heißt:

Es gibt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ${\tilde {\psi }}\colon X\to Y$ gibt, sodass gilt: $\psi ={\tilde {\psi }}\circ \phi$, das heißt:

Für beliebige Paare $(v,w)\in V\times W$ von Vektoren gilt dann: $\psi (v,w)={\tilde {\psi }}(\phi (v,w))$.

Man notiert dann $V\otimes W:=X$ und versteht darunter den – bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten – Vektorraum $X$.

Die (zum Tensorprodukt gehörige) bilineare Abbildung $\phi$ wird als $\phi (v,w)=:v\otimes w$ notiert. Es ist wichtig zu beachten, dass diese wesentlicher Bestandteil des Tensorproduktes ist: Einen Tensorproduktraum $V\otimes W$ zu betrachten, ohne zu wissen, welche bilineare Abbildung $(v,w)\mapsto v\otimes w$ ihm (als „Produkt“) zugrunde liegt, ist sinnlos.

Bemerkung: Gibt es eine bilineare Abbildung $\phi \colon V\times W\to X$ in einen Vektorraum $X$ mit dieser universellen Eigenschaft, so ist $X$ bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Zur Erklärung:

Nutzt man nämlich die universelle Eigenschaft für $\phi :V\times W\to X$ gegenüber $\chi$ und ebenso – mit vertauschten Rollen – für $\chi :V\times W\to Z$ gegenüber $\phi$, so erhält man zwei Homomorphismen ${\tilde {\chi }}\in L(X,Z)$ bzw. ${\tilde {\phi }}\in L(Z,X)$ mit $\chi ={\tilde {\chi }}\circ \phi$ und $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \chi$. Also sind beide zueinander invers: ${\tilde {\chi }}\circ {\tilde {\phi }}(x)=x\;\forall x\in X$. Daher sind zwei Realisierungen des Tensorproduktes zueinander isomorph.

NB: Wesentlich ist es, hierbei zu beachten, dass die Isomorphie sich nicht nur auf die beiden Räume $X$ und $Z$ als Vektorräume bezieht: Vielmehr beziehen die beiden zueinander inversen Isomorphismen die jeweiligen bilinearen Abbildungen ein, indem sie auch sie aufeinander abbilden. Hieran wird deutlich, dass das Tensorprodukt zweier Vektorräume nicht lediglich als ein neuer Vektorraum verstanden werden darf. In Wahrheit bewegt sich das Tensorprodukt also nicht in der Kategorie der Vektorräume, sondern in der Kategorie der bilinearen Abbildungen $\psi :V\times W\to [??]$. Darin bildet $\otimes :V\times W\to V\otimes W$ ein initiales oder Anfangsobjekt, weil jede bilineare Abbildung $\psi$ über die bilineare Abbildung $\phi$ eindeutig faktorisiert. Am zugehörigen Diagramm spiegelt sich diese Tatsache darin wider, dass es ein Dreieck ist: Beide bilinearen Abbildungen erscheinen darin, und es kommutiert: Es geht nicht allein um einen Isomorphismus $X\cong Z$, sondern um einen Isomorphismus, der mit den bilinearen Abbildungen $\phi ,\psi$ verträglich ist. Daher sollte man unter der Begrifflichkeit „Tensorprodukt“ nicht den Produktraum $V\otimes W$ zu verstehen suchen, sondern eine universelle bilineare Abbildung $\phi :V\times W\to X$ in eine geeignete Realisierung. „Produkt“ steht also nicht für ein Produkt von Räumen, sondern für ein Produkt auf Räumen (in einen anderen Raum), für eine Multiplikation, eben eine bilineare Abbildung, die im Übrigen nicht kommutativ ist.

Vor dem Hintergrund der eingangs gemachten Anmerkung über die Abbildung $\Phi$ lässt sich die Universaldefinition nun auch so formulieren:

Äquivalente Definition: Der Vektorraum $X$ wird als Tensorprodukt von $V$ und $W$ bezeichnet, wenn die Abbildung $\Phi \colon \;L(X,Y){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}L^{2}(V,W;Y)$ für jeden Vektorraum $Y$ bijektiv, mithin also ein Isomorphismus ist. Man schreibt dann auch $V\otimes W:=X$ und $v\otimes w:=\phi (v,w)$.

Zur Erklärung:

Es bleibt lediglich noch nachzuweisen, dass die Bijektivität von $\Phi$ mit der Aussage der universellen Eigenschaft äquivalent ist: Diese sichert nämlich gerade zu, dass es zu jeder bilineare Abbildung $\psi \colon V\times W\to Y$ eine lineare Abbildung ${\tilde {\psi }}\in L(V\otimes W,Y)$ gibt (Existenzaussage), so dass $\psi ={\tilde {\psi }}\circ \phi =\Phi ({\tilde {\psi }})$, und dass diese Abbildung ${\tilde {\psi }}$ zudem eindeutig bestimmt (Eindeutigkeitsaussage) ist. Die Existenzaussage ist mit der Surjektivität, die Eindeutigkeitsaussage mit der Injektivität von $\Phi :{\tilde {\psi }}\mapsto \psi$ äquivalent. Also besagt die universelle Eigenschaft gerade, dass der Homomorphismus $\Phi$ ein Isomorphismus ist.

Hinweis: Zwar ist der Homomorphismus ${\tilde {\phi }}$ zunächst nur auf jedem elementaren Tensor $v\otimes w\in V\otimes W$ durch ${\tilde {\psi }}(v\otimes w)=\psi (v,w)$ festgelegt. Durch lineare Fortsetzung ist ${\tilde {\phi }}$ damit jedoch auf dem gesamten Tensorraum $V\otimes W$ wohldefiniert, wie im Abschnitt über die Fortsetzbarkeit von Abbildungen auf elementaren Tensoren zu Homomorphismen auf dem Tensorraum erklärt wurde.

Diese Definition liefert also unmittelbar eine wichtige Interpretation (Realisierung) des Tensorprodukts:

Für jeden Vektorraum $Y$ besteht ein Isomorphismus:

$\Phi :\,L(V\otimes W,Y){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}L^{2}(V,W;Y)$ vermöge $f\mapsto [(v,w)\mapsto f(v\otimes w)]$.

Wenn es also einen Vektorraum mit der universellen Eigenschaft gibt, so ist er – eben aufgrund der universellen Eigenschaft – nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Allerdings lässt die Universaldefinition die Frage offen, ob es überhaupt einen Vektorraum mit diesen Eigenschaften gibt. Um also Existenz eines solchen Vektorraumes sicherzustellen, muss entweder ein solcher Vektorraum konstruiert werden oder aber „zufällig“ ein solcher Vektorraum „gefunden“ werden. Einen Existenzbeweis durch Konstruktion führt (in einem allgemeineren Falle) der Artikel Tensorprodukt von Moduln aus: Dazu wird zunächst ein zu großer Vektorraum konstruiert, der anschließend nach einem Unterraum fakturiert wird, so dass der Quotientenraum „erzwungenermaßen“ genau die gewünschten Eigenschaften hat.

Die Universaldefinition zeigt einen Weg zu einer Realisierung des Tensorproduktes auf: Dieser Gedanke wird im Abschnitt Natürliche Homomorphismen berührt und im Abschnitt Homomorphismen als Tensoren vertieft. Darin wird ein Vektorraum benannt, von dem sich (mit Hilfe der universellen Eigenschaft) recht leicht erkennen lässt, dass er die gewünschte universelle Eigenschaft des Tensorraums $V\otimes W$ hat. Dieses Vorgehen gelingt allerdings nur für den Fall, dass $V$ oder $W$ endliche Dimension über ihrem Grundkörper $K$ haben, weil Eigenschaften des Dualraumes genutzt werden, die eben die endliche Dimension als Voraussetzung benötigen.

Der triviale Fall $V=K=W$

Ein Seitenblick möge zeigen, wie der Fall $V=K=W$ das Tensorprodukt „trivialisiert“: Dabei zeigt sich, dass sich die Situation ganz analog zu den (uni)linearen Abbildungen aus der elementaren linearen Algebra verhält. Einzig bemerkenswert ist, dass die Kommutativität des Grundkörpers eine Rolle spielt, im Gegensatz zum linearen Fall.

Der Skalarkörper bildet über sich selbst in natürlicher Weise einen eindimensionalen Vektorraum. Für eine bilineare $\psi :K\times K\to Y$ und beliebige Körperelemente $x,y\in K$ gilt

$\psi (x,y)=\psi (x\cdot 1,y\cdot 1)=xy\cdot \psi (1,1)\in Y\;.$

NB: Man beachte, wie hierbei fast unbemerkt die Kommutativität des Körpers eingeht.

Also ist eine bilineare Abbildung $\psi :K\times K\to Z$ bereits durch den Wert von $\psi (1,1)$ festgelegt, und bis auf diesen Wert (als Faktor) ist sie mit der Körpermultiplikation identisch: Die Eigenschaften der Bilinearität gehen in die Distributivität der Multiplikation über, im Verbund mit der Assoziativität und der Kommutativität: $\lambda (xy)=(\lambda x)y=x(\lambda y)$.

Also ist in diesem Falle der Körper selbst mit dem Tensorprodukt identifizierbar: $(K,\cdot )\cong (K\otimes K,\otimes )$. Die universelle Eigenschaft bedeutet: Setzt man ${\tilde {\psi }}(1)=:{\tilde {\psi }}(1\cdot 1):=\psi (1,1)$, so vermittelt ${\tilde {\psi }}$ das lineare Abbild der bilinearen Abbildung $\psi$, wie es die universelle Eigenschaft fordert.

Schließlich muss ja gelten $\dim K\otimes K=\dim K\cdot \dim K=1$. Das Tensorprodukt zweier Skalare (aufgefasst als Vektoren) liefert also nichts Neues: Es ist bis auf einen Skalarfaktor $1\otimes 1$ mit der Körpermultiplikation identisch, lässt sich also durch ein Monom $f(X,Y)=a\cdot X\cdot Y$ beschreiben. Dieser Skalarfaktor $a=1\otimes 1$ darf allerdings nicht verschwinden: Wäre nämlich $1\otimes 1=0$, so wäre die universelle Eigenschaft verletzt: Die einzige bilineare Abbildung, die lineares Abbild dieses „Null-Produktes“ ist, ist nämlich die triviale Nullabbildung. Die genaue Wahl des Skalarfaktors $a=1\otimes 1\in K\backslash \{0\}$ tut aber auch nichts zur Sache: Das Tensorprodukt ist ja nur bis auf Isomorphie festgelegt. Also kann naheliegender Weise $1\otimes 1=1$ normiert werden.

Haben jedoch die beiden Vektorräume $V$ und $W$ mehr als eine Dimension ($\dim V>1,\dim W>1$), so liegt das Tensorprodukt zweier Vektoren in einem Vektorraum, der erst konstruiert oder „gefunden“ werden muss, eben einer Realisierung des Tensorproduktraums. Das Tensorprodukt dreier Vektoren liegt in einem weiteren, davon verschiedenen Raum usw. usf.

Das Tensorprodukt als Bifunktor: Das Tensorprodukt linearer Abbildungen

Es seien zwei Vektorräume $V,\,W,$ mit je einer linearen Abbildung auf einen weiteren Vektorraum gegeben: $f\colon V\to V'$ und $g\colon W\to W'$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $h\colon V\otimes W\to V'\otimes W'$, welche auf den elementaren Tensoren gerade mit dem Tensorprodukt der Bildvektoren übereinstimmt:

$h(v\otimes w)=f(v)\otimes g(w)$ für jedes Paar $(v,w)\in V\times W\,.$

Die Abbildung $h$ kann also auf den elementaren Tensoren (oder gar auf den Basisvektoren $v_{i}\otimes w_{j}$) definiert und linear fortgesetzt werden.

Diese Abbildung wird mit demselben Verknüpfungssymbol als $h=f\otimes g$ geschrieben und heißt das Tensorprodukt der beiden Homomorphismen $f$ und $g$.

Sind weitere Vektorräume bzw. lineare Abbildungen $f'':V'\to V''$ und $g'':W'\to W''$ gegeben, und ist $h'=f'\otimes g'$, so gilt darüber hinaus:

$h'\circ h=(f'\otimes g')\circ (f\otimes g)=(f'\circ f)\otimes (g'\circ g)$

Wie sich aus der obigen Konstruktion durch lineare Fortsetzung einer auf den elementaren Tensoren definierten Abbildung ergibt, gilt: Die Konstruktion von $f\otimes g$ ist von der Wahl der Basen unabhängig.

Mit anderen Worten:

Es gibt also einen natürlichen Monomorphismus $L(V,X)\otimes L(W,Y)\to L(V\otimes W,X\otimes Y)$, definiert durch $(f\otimes g)(v\otimes w):=f(v)\otimes g(w)$. Dieser ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $V$ oder $W$ endlichdimensional ist.

Dies zeigt, dass das Tensorprodukt in der Sprache der Kategorientheorie ein (kovarianter) Bifunktor auf der Kategorie der $K$ Vektorräume (in die Kategorie der $K$-bilinearen Abbildungen) ist.

Vertauschbarkeit mit dem Koprodukt

Aus der Konstruktion geht hervor, dass das Tensorprodukt (als Bifunktor) mit dem Koprodukt (Direkte Summe) vertauschbar ist, das heißt für $K$-Vektorräume $V_{i},W,W_{j},W$ bestehen folgende Isomorphismen:

${\big (}\bigoplus _{i\in I}V_{i}{\big )}\otimes W\cong \bigoplus _{i\in I}{\big (}V_{i}\otimes W{\big )}\,,$

folglich

$V\otimes {\big (}\bigoplus _{j\in J}W_{j}{\big )}\cong \bigoplus _{j\in J}{\big (}V\otimes W_{j}{\big )}$

und

${\big (}\bigoplus _{i\in I}V_{i}{\big )}\otimes {\big (}\bigoplus _{j\in J}W_{j}{\big )}\cong \bigoplus _{i\in I}\bigoplus _{j\in J}{\big (}V_{i}\otimes W_{j}{\big )}\,.$

Natürliche Homomorphismen

Wenn $V^{*}$ den Dualraum von $V$ bezeichnet, dann liefert die oben erwähnte Beziehung $L(V,X)\otimes L(W,Y)\to L(V\otimes W,X\otimes Y)$ für endlichdimensionale Vektorräume $V,W$ und für den Fall $X=Y=K$ die Isomorphien:

$V^{*}\otimes W^{*}\cong (V\otimes W)^{*}$

Dabei wurde der Isomorphismus $K\otimes K\cong K$ verwendet. Allgemein ist $K\otimes V\to V$, definiert durch $c\otimes v\mapsto cv$, ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Durch Currying erhält man – unabhängig von Überlegungen zum Tensorprodukt – einen Isomorphismus

${\begin{matrix}\Xi :\;&L^{2}(V,W;X)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V,L(W,X))\;,\\&\beta &\longmapsto &[v\mapsto (w\mapsto \beta (v,w))]\;.\end{matrix}}$

Zusammen mit der Universaldefinition erhält man auf diese Weise für $X=K$ die folgende Identifikation:

${\begin{matrix}\Psi :&V^{*}\otimes W^{*}&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&(V\otimes W)^{*}&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L^{2}(V,W;K)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V,W^{*})\\&\lambda \otimes \mu &\longmapsto &[v\otimes w\mapsto \lambda (v)\mu (w)]&\longmapsto &[(v,w)\mapsto \lambda (v)\mu (w)]&\longmapsto &{\big [}v\mapsto \lambda (v)\mu =[w\mapsto \lambda (v)\mu (w)]{\big ]}\;.\end{matrix}}$

Nun besteht ein kanonischer Isomorphismus zwischen einem endlichdimensionalen Vektorraum und seinem Bidualraum:

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&V^{**},\\v&\longmapsto &[\lambda \mapsto \lambda (v)]\end{matrix}}$

Nutzt man diese Tatsache, so kann man das Tensorprodukt von $V$ und $W$ also auch als den Dualraum des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen $V\times W\to K$ realisieren, endliche Dimensionen vorausgesetzt:

${\begin{matrix}\Psi _{\bullet }^{\bullet }:&V\otimes W&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L^{2}(V,W;K)^{*}&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V^{*},W)\\&v\otimes w&\longmapsto &[\beta \mapsto \beta (v,w)]&\longmapsto &[\mu \mapsto \mu (v)\cdot w]\end{matrix}}$

In Worten: Der Dualraum $L^{2}(V,W;K)^{*}$ des Raumes $L^{2}(V,W;K)$ der bilinearen Abbildungen ist eine Realisierung des Tensorprodukts $V\otimes W$. Setzt man hierbei $W=K$ so erhält man als Sonderfall die eben bereits verwendete Tatsache zurück, dass der Bidualraum $V^{**}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ mit diesem kanonisch identifiziert werden kann.

Wer sogar die nicht-kanonische Identifikation $V\cong V^{*}$ vornimmt (etwa aufgrund eines auf $V$ definierten Skalarproduktes), gelangt sogar zur (leicht Verwirrung stiftenden) Identifikation $V\otimes W\cong L(V,W)$, denn sie verschweigt die Beimischung eines weiteren Tensors (eben des Skalarprodukts).

Diese Homomorphismen werden in den folgenden Unterabschnitten näher betrachtet.

Homomorphismen als Tensoren

Dieser Isomorphismus lässt sich (wie folgt) explizit auf den elementaren Tensoren angeben und wird linear auf allgemeine Tensoren fortgesetzt:

${\begin{matrix}&\Psi \colon \;V^{*}\otimes W^{*}&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V,W^{*})\,\\{\text{definiert durch}}&\lambda \otimes \mu &\longmapsto &[\Psi (\lambda \otimes \mu ):v\mapsto \lambda (v)\cdot \mu ]\;.\end{matrix}}$

Ersetzt man nun $W$ durch seinen Dualraum und benutzt die natürliche Identifikation $W\cong W^{**}$ mit dem Bidualraum für einen Vektorraum $W$ endlicher Dimension, so erhält man einen Isomorphismus

${\begin{matrix}&\Psi ^{\bullet }\colon \;V^{*}\otimes W&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V,W)\,\\{\text{definiert durch}}&\lambda \otimes w&\longmapsto &[\Psi ^{\bullet }(\lambda \otimes w):v\mapsto \lambda (v)\cdot w]\;.\end{matrix}}$

Für den Fall, dass beide Vektorräume unendlichdimensional sind, hat man nur einen natürlichen Monomorphismus.

Ebenso lässt sich $V$, falls von endlicher Dimension, durch seinen Dualraum ersetzen, und man erhält:

${\begin{matrix}&\Psi _{\bullet }\colon \;V\otimes W^{*}&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V^{*},W^{*})\,\\{\text{definiert durch}}&v\otimes \mu &\longmapsto &[\Psi _{\bullet }(v\otimes \mu ):\lambda \mapsto \lambda (v)\cdot \mu ]\;.\end{matrix}}$

Wenn beide durch ihr Dual ersetzt werden, erhält man:

${\begin{matrix}&\Psi _{\bullet }^{\bullet }\colon \;V\otimes W&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V^{*},W)\,\\{\text{definiert durch}}&v\otimes w&\longmapsto &[\Psi _{\bullet }^{\bullet }(v\otimes w):\lambda \mapsto \lambda (v)\cdot w]\;.\end{matrix}}$

Für den Vektorraum $L(V^{*},W)$ von Homomorphismen lässt sich unter diesen Voraussetzungen tatsächlich zeigen, dass er die universelle Eigenschaft erfüllt, zusammen mit der bilinearen Abbildung $(v,w)\mapsto \Psi _{\bullet }^{\bullet }(v\otimes w)\in L(V^{*},W)$. Auf diese Weise hat man für diesen Fall – auch ohne Konstruktion – eine konkrete Realisierung des Tensorproduktes.

Ferner liefert diese Realisierung ein Beispiel dafür, dass das Tensorprodukt auch für $V=W$ nicht kommutativ ist:

Es ist unmittelbar abzulesen, dass $\Psi$ die beiden Tensoren $v_{1}\otimes v_{2}$ auf verschiedene Homomorphismen abbildet, sobald sie nur linear unabhängig sind. Ist jedoch $v_{1}=xv_{2}$, so gilt für die Bilder unter $\Phi$ tatsächlich $\lambda (v_{1})v_{2}=\lambda (xv_{2})v_{2}=\lambda (v_{2})xv_{2}=\lambda (v_{2})v_{2}$, ganz analog zu der schon zuvor bekannten Rechenregel für Tensoren $v\otimes xv=xv\otimes v$.

Die Umkehrabbildung von $\Psi ^{\bullet }$ – unter Voraussetzung endlicher Dimension von $W$ – wird folgendermaßen konstruiert:

Die Tatsache, dass für jede lineare Abbildung $f\in L(V,W)$ und jede Linearform $\mu \in L(W,K)$ das Kompositum $V{\stackrel {f}{\rightarrow }}W{\stackrel {\mu }{\rightarrow }}K$ linear ist, bedeutet, dass folgende Abbildung wohldefiniert und ihrerseits linear ist:

${\begin{matrix}&(\Psi ^{\bullet })^{-1}\colon \;L(V,W)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L^{2}(V,W^{*};K)\cong (V\otimes W^{*})^{*}\cong V^{*}\otimes W\,\\{\text{definiert durch}}&f&\longmapsto &[(v,\mu )\mapsto \mu (f(v))]\;.\end{matrix}}$

Sie ist injektiv, weil die duale Paarung $W^{*}\times W\to K,(\mu ,w)\mapsto \mu (w)$ nicht ausgeartet ist, das heißt für jedes $w\in W\backslash \{0\}$ ein $\mu \in W^{*}$ existiert mit $\mu (w)\neq 0$.

Die Surjektivität folgt so: Ist $t\in L^{2}(V,W^{*};K)$ eine Bilinearform, so ist für jedes (festgehaltene) $v\in V$ die partielle Abbildung $t(v,\cdot )\in L(W^{*},K)=W^{**}$ als ein Vektor $w_{v}\in W^{**}{\stackrel {!}{=}}W$ des Bidualraumes zu verstehen, der jedoch (unter Verwendung von $\dim W<\infty$ beim Ausrufezeichen) in kanonischer Weise mit $W$ selbst zu identifizieren ist. Setzt man nun $f(v):=w_{v}$, so erhält man eine lineare Abbildung $f\in L(V,W)$ mit $\mu (f(v))=\mu (w_{v})=t(v,\cdot )(\mu )=t(v,\mu )$, wie gewünscht.

Diese Abbildung tauchte bereits oben als Abbildung $\Xi$, die durch bloßes Currying gewonnen wurde: Dafür ist lediglich $W$ durch $W^{*}$ zu ersetzen. Tatsächlich ist bereits durch Currying klar, dass eine Bilinearform $t\in L^{2}(V,W^{*};K)=L(V,L(W^{*};K)){\stackrel {!}{=}}L(V,W)$ als Homomorphismus zu verstehen ist, wenn man beim Gleichheitszeichen ${\stackrel {!}{=}}$ die Identifikation $W^{**}=W$ voraussetzen darf.

Homomorphismen aus $L(V,W)$ lassen sich also als Bilinearformen interpretieren. Die Abbildungen $\Psi ^{\bullet }$ und $\Psi _{\bullet }$ bzw. die Umkehrabbildung liefern im Falle $W=V$ Interpretationen der so genannten gemischten Tensoren als Endomorphismen auf $V$; weitere Einzelheiten siehe diesen Abschnitt.

Aus Sicht des Matrizenkalküls

Es lohnt sich zu beleuchten, was die Abbildung $\Psi ^{\bullet }$ im Licht des Matrizenkalküls besagt: Dann nämlich wird deutlich, was sie konkret bedeutet. Um das Ergebnis vorauszunehmen: Die Abbildung $\Psi ^{\bullet }$ besagt, dass eine Matrix

$A:=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\end{matrix}}\right)\;,$

welche einen Homomorphismus $f\in L(V,W)$ bezüglich zweiter Basen von $V$ bzw. $W$ darstellt, sich auch als Tensor auffassen lässt, indem man die Zeilen als Linearformen $\lambda _{i}\in V^{*}$ auf dem als Spaltenvektoren notierten Vektorraum $V$ auffasst:

$\left({\begin{matrix}(a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n})\\(a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n})\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\(a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn})\end{matrix}}\right)\;.$

Denn genau dies geschieht bei der Multiplikation der Matrix $A$ mit einem Koordinatenvektor.

Zur Erläuterung: Es seien also $V,W$ Vektorräume über dem Körper $K$ endlicher Dimension mit $n:=\dim V$ und $m:=\dim W$,

$v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und $w_{1},w_{2},\dots ,w_{m}$ eine Basis von $W$.

Dann sind diese Vektorräume die (inneren) direkten Summen ihrer eindimensionalen Unterräume $V_{j}:=K\cdot v_{j}$ bzw. $W_{i}:=K\cdot w_{i}$:

$V=\bigoplus _{j=1}^{n}V_{j}\quad {\text{ und }}\quad W=\bigoplus _{i=1}^{m}W_{i}$

Mit den kanonischen Projektionen $\pi _{i}:W\to W_{i}$ (für $i=1,\dots ,m$) gilt für jedes $v\in V$ die Beziehung $f(v)=\sum _{i=1}^{m}\pi _{i}\circ f(v)$, also lässt sich $f$ als Summe

$f=\sum _{i=1}^{m}\pi _{i}\circ f$

einzelner Abbildungen

$f_{i}:=\pi _{i}\circ f\in L(V,W_{i})$

darstellen, wobei (genau genommen) noch die Einbettung $L(V,W_{i})\subset L(V,W)$ vorgenommen wird, da sie nur in diesem gemeinsamen „Oberraum“ addiert werden können. Definiert man nun für jedes $i=1,\dots ,m$ eine Abbildung $\lambda _{i}:V\to K$ vermöge der Gleichung

$\forall \,v\in V\colon \;f_{i}(v)=:\lambda _{i}(v)\cdot w_{i}\;,$

so erhält man Linearformen $\lambda _{i}\in V^{*}$, für die folgende Beziehung gilt:

$f(v)=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}(v)\cdot w_{i}\;.$

Damit wird deutlich, wie die Abbildung $\Psi ^{\bullet }$ zu verstehen ist: Die lineare Abbildung $f\in L(V,W)$ ist unter $\Psi ^{\bullet }$ das Bild des Tensors $\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\otimes w_{i}$:

$\Psi ^{\bullet }\left(\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\otimes w_{i}\right)=f\;.$

Die Abbildung $f$ lässt sich also vermittels $\Psi ^{\bullet }$ als Tensor auffassen, nämlich als Summe elementarer Tensoren $\lambda _{i}\otimes w_{i}$, deren jeder die reduzierte (projizierte) Abbildung $f_{i}$ darstellt.

Mit der obigen darstellenden Matrix $A$ bestimmt man für einen Vektor $v\in V$ mit Koordinatendarstellung $v=:\sum _{j=1}^{n}x_{j}\cdot v_{j}$ gemäß Matrizenkalkül die Koordinatendarstellung des Bildvektors $f(v)$ bekanntlich gemäß der Gleichung

${\begin{matrix}f(v)&=&\underbrace {\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}} _{=:y_{1}}\cdot w_{1}&+\dots +&\underbrace {\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}} _{=:y_{m}}\cdot w_{m}\\&=:&\sum _{i=1}^{m}y_{i}\cdot w_{i}\;.\end{matrix}}$

Durch Vergleich mit der obigen Gleichung $f(v)=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}(v)\cdot w_{i}$ erkennt man, wie sich die Linearformen $\lambda _{i}$ in der darstellenden Matrix $A$ wiederfinden: Es sind gerade die Zeilenvektoren. $\lambda _{i}(v)=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=y_{i}\;{\text{ für }}i=1,\dots m\;.$ Für die Koeffizienten der Matrix $A=(a_{ij})_{i,j}$ gilt also:

$a_{ij}=\lambda _{i}(v_{j}).$

Hierin drückt sich ja die bekannte Merkregel aus, dass in der $j$-ten Spalten ($j=1,\dots ,n$) der darstellenden Matrix die Koordinatenvektoren der Bilder $f(v_{j})$ des Basisvektoren $v_{j}$ steht.

Im Folgenden soll demonstriert werden, dass die Anwendung des Matrizenkalküls auf die Spaltenvektoren der zugehörigen Koordinatenräume $K^{n}\cong V$ bzw. $K^{m}\cong W$ implizit genau diese Zerlegung der linearen Abbildung $f$ in die Summe von Linearformen $\lambda _{j}$ vornimmt. Dazu sei zunächst darauf hingewiesen, dass Skalare $x\in K$ – aufgefasst als $1\times 1$-Matrizen – an Spaltenvektoren von rechts, an Zeilenvektoren jedoch von links heran multipliziert werden müssen. Dies ist zwar bei kommutativen Körpern (wie hier) gleichgültig, doch ist für den Formalismus hilfreich, dies im Hinterkopf zu behalten. Nun kann man die Matrix $A$ in folgender – zunächst zweckfrei erscheinenden – Weise zerlegen:

${\begin{aligned}A&=&\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&\dots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\0&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &0\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0&0&\dots &0\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &0\end{matrix}}\right)+\dots +\left({\begin{matrix}0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &0\\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\end{matrix}}\right)\\&=&\left({\begin{matrix}1\\0\\\vdots \\\vdots \\0\end{matrix}}\right)\cdot \underbrace {{\Big (}{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\end{matrix}}{\Big )}} _{=\lambda _{1}\;{\text{als Kovektor }}}+\left({\begin{matrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\end{matrix}}\right)\cdot \underbrace {{\Big (}{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\end{matrix}}{\Big )}} _{=\lambda _{2}\;{\text{als Kovektor}}}+\dots +\left({\begin{matrix}0\\\vdots \\\vdots \\0\\1\end{matrix}}\right)\cdot \underbrace {{\Big (}{\begin{matrix}a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\end{matrix}}{\Big )}} _{=\lambda _{m}\;{\text{als Kovektor}}}\end{aligned}}$

Die Linearformen $\lambda _{j}$ sind als Kovektoren (hier also Zeilenvektoren) im Koordinatenraum $K^{n}$ bezüglich der zu $(v_{j})$ dualen Basis $(v_{j}^{*})$ (definiert durch $v_{j}^{*}(v_{k}):=\delta _{jk}$ (Kroneckersymbol)) dargestellt. Die links von diesen Linearformen stehenden Einheitsvektoren stehen für die Koordinatenvektoren der Basisvektoren $w_{i}$ bzw. für die Projektionen $\pi _{i}$. Multipliziert man nun einen Koordinatenvektor $(x_{j})$ für einen Vektor $v=:\sum _{j=1}^{n}v_{j}\cdot x_{j}$ (von rechts) an die Matrix $A$, beachtet Distributivität und Assoziativität des Matrizenkalküls, so ergibt sich:

$A\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1\\0\\\vdots \\0\end{matrix}}\right)\cdot \underbrace {{\Big (}\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{matrix}}\right){\Big )}} _{=\lambda _{1}(v)=y_{1}}+\dots +\left({\begin{matrix}0\\\vdots \\0\\1\end{matrix}}\right)\cdot \underbrace {{\Big (}\left({\begin{matrix}a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{matrix}}\right){\Big )}} _{=\lambda _{m}(v)=y_{m}}$

Dabei stellen die links von den Skalarfaktoren $\lambda _{i}(v)$ stehenden Einheitsvektoren gerade die Koordinatenvektoren der Basisvektoren $w_{i}$ dar. Diese Beziehung ist also die Entsprechung für die obige Zerlegung der Abbildung $f$ in eine Summe elementarer Tensoren $f=\Psi ^{\bullet }(\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\otimes w_{i})$. Sie überträgt diese Zerlegung in die zugehörigen Koordinatenräume (bei gegebener Basiswahl) und zerlegt die Matrix $A$ in eine Summe von Linearformen. Die Abbildung $\Psi ^{\bullet }$ wird im Matrizenkalkül also inhärent vollzogen.

Die oben erwähnte Merkregel hat auf diese Weise ihre duale Entsprechung: In der $i$-ten Zeile der darstellenden Matrix $A$ stehen die Koordinaten derjenigen Linearform $\lambda _{i}$, welche die $i$-te Reduktion $f_{i}:V\to W_{i}$ auf den vom Basisvektor $w_{i}$ aufgespannten Unterraum $W_{i}=K\cdot w_{i}$ beschreibt.

Ähnlich lässt sich (mit Hilfe der kanonischen Einbettungen $\epsilon _{j}\colon \;K\cdot v_{j}:=V_{j}\subset V$ eine (zu $\pi _{i}$ duale) Zerlegung angeben.

Kovektoren, Endomorphismen und die Spur eines Endomorphismus

Der Vektorraum $V$ habe endliche Dimension. Setzt man in den obigen natürlichen Homomorphismen $W=V$ so erhält man den Isomorphismus

${\begin{matrix}&\Psi ^{\bullet }\colon \;V^{*}\otimes V&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V,V)=\mathop {\mathrm {End} } (V)\,\\{\text{definiert durch}}&\lambda \otimes v&\longmapsto &[v'\mapsto \lambda (v')\cdot v]\;.\end{matrix}}$

Die Umkehrabbildung kann wie folgt beschrieben werden:

Es sei $B=\{v_{1},\dots ,v_{m}\}$ eine Basis von $V$, $V_{i}:=K\cdot v_{i}$, so dass $V=\bigoplus _{i}V_{i}$. Die kanonischen Projektionen seien mit $\pi _{i}:V\to V_{i}$ bezeichnet. Für $f\in L(V;V)=\mathop {\mathrm {End} } (V)$ sei $f_{i}=\pi _{i}\circ f\in L(V,V_{i})\subset L(V,V)$, so dass $f=\sum _{i}f_{i}$. Die Abbildung $f_{i}$ definiert eine Linearform $\lambda _{i}$ durch $f_{i}(v)=\lambda _{i}(v)\cdot v_{i}\;\forall v\in V$. Mit diesen Kovektoren $\lambda _{i}$ gilt gerade $\Psi ^{\bullet }(\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\otimes v_{i})=f$.

Bezeichnet $(v_{i}^{*})_{i}$ die dazu duale Basis aus Kovektoren (Linearformen) $v_{i}^{*}\in V^{*}$, können die Kovektoren $\lambda _{i}$ als Summe dargestellt werden: $\lambda _{i}=\sum _{j=1}^{m}a_{j}^{i}\cdot v_{j}^{*}$. Dann ist

$(\Psi ^{\bullet })^{-1}(f)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}a_{j}^{i}\cdot v_{j}^{*}\otimes v_{i}$.

Die quadratische Matrix $(a_{j}^{i})$ stellt den Tensor (bezüglich der Basis $B$) dar und ist zugleich die diesbezügliche Darstellungsmatrix des Endomorphismus $f$ auf $V$.

Nun betrachte die naheliegende Bilinearform

${\begin{array}{rccc}s:&V^{*}\times V&\longrightarrow &K\\&(\lambda ,v)&\longmapsto &\lambda (v)\end{array}}$

Anmerkung: Diese Abbildung ist die (durch die Auswertung der Linearform induzierte) duale Paarung: Bei den Betrachtungen über den Bidualraum $V^{**}$ wird gezeigt, dass sie nicht ausgeartet und bei endlicher Dimension folglich eine perfekte Paarung ist, so dass $V^{**}\cong V$ kanonisch isomorph sind: Ein Vektor induziert durch die jeweilige Auswertung der Kovektoren auf ihm eine Linearform auf den Kovektoren, also können Vektoren als Linearformen auf den Kovektoren aufgefasst werden.

Gemäß der universellen Eigenschaft gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $\mathop {\mathrm {Sp} } :V^{*}\otimes V\to K$ mit $\mathop {\mathrm {Sp} } (\lambda \otimes v)=\lambda (v)$.

Auf diese Weise erhält man eine Bilinearform, die so genannte Spur(bildung) (Trace):

${\begin{array}{rccc}\mathop {\mathrm {Sp} } :&V^{*}\otimes V&\longrightarrow &K\\&\lambda \otimes v&\longmapsto &\lambda (v)\end{array}}$

Diese Abbildung lässt sich (mit Hilfe von $\Psi ^{*}$) als Abbildung auf den Endomorphismen von $V$ interpretieren. Da für die duale Basis (gemäß ihrer Definition) $v_{j}^{*}(v_{i})=\delta _{i}^{j}$ (Kronecker-Delta) gilt, folgt für die Spur eines Endomorphismus: $\mathop {\mathrm {Sp} } (f)=\sum _{i}a_{i}^{i}$, in Worten: Die Spur eines Endomorphismus ist die Summe der Diagonaleinträge einer Darstellungsmatrix. Dabei zeigen die Überlegungen, dass die Spur unabhängig von der Basiswahl ist.

Für Matrizen lässt sich dies unmittelbar einsehen:

Denn die Spur ist gegenüber Vertauschung invariant. Sind nämlich $A=(a_{j}^{i})$ und $B=(b_{j}^{i})$ zwei Matrizen, so gilt

$\mathop {\mathrm {Sp} } (AB)=\sum _{i}(\sum _{k}a_{k}^{i}b_{i}^{k})=\sum _{k}(\sum _{i}b_{k}^{i}a_{i}^{k})=\mathop {\mathrm {Sp} } (BA)$

Also ist für drei Matrizen $\mathop {\mathrm {Sp} } (A(BC))=\mathop {\mathrm {Sp} } (BCA)$. Ist $A$ eine Übergangsmatrix mit Inverser $C:=A^{-1}$, so erhält man die Unabhängigkeit von der Basiswahl.

Die Spur ist ein Spezialfall der Tensorverjüngung oder Kontraktion, siehe Abschnitt über Tensoren vom Typ (r,s).

Multilineare Abbildungen und das mehrfache Tensorprodukt

Einer Erweiterung der bisherigen Betrachtungen auf mehr als zwei Vektorräume als „Faktoren“ des Tensorprodukts steht nichts entgegen: Es geht dann nicht mehr um bilineare Abbildungen, sondern um multilineare Abbildungen und das $N$-fache Tensorprodukt.

Für eine endliche Indexmenge $I=\{1,\dots ,N\}$ mögen $V^{(i)},i\in I$ Vektorräume über dem Grundkörper $K$ der (nicht notwendig endlichen) Dimensionen $\dim V^{(i)}=:m_{i}$ bezeichnen. Ihre Basen seien mit $B^{(i)}$ (für $V^{(i)}$) bezeichnet. Die Basisvektoren seien mit $v_{k}^{(i)},k=1,\dots ,m_{i}$ bezeichnet.

Eine $N$-fach multilineare Abbildung $\prod _{i\in I}V^{(i)}\to X$ in einen $K$-Vektorraum $X$ ist eine Abbildung, die in jeder Komponente (bei festgehaltenen übrigen Komponenten) linear über $K$ ist. Der Raum dieser multilinearen Abbildungen wird mit $L^{N}(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};X)$ bezeichnet.

Definition durch Konstruktion

Zur Bequemlichkeit sei $B:=\prod _{i\in I}B^{(i)}$ gesetzt.

Setze als Tensorproduktraum $\bigotimes _{i\in I}V^{(i)}:=\bigoplus _{\beta \in B}K\cdot (\otimes (\beta ))=\coprod _{\beta \in B}K\cdot (\otimes (\beta ))\;.$

Anmerkung 1: Mit der oben definierten Notationsweise besteht übrigens eine Identifikation $K^{(B)}{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\bigoplus _{\beta \in B}K\cdot (\otimes (\beta ))$ durch $f\mapsto \sum _{\beta \in B}f(\beta )\cdot (\otimes (\beta ))$. Die Verwendung des Zeichens $\coprod$ für das Koprodukt soll auf den größeren kategoriellen Zusammenhang hinweisen. Im vorliegenden Falle darf es schlicht als direkte Summe $\bigoplus$ verstanden werden.

Anmerkung 2: Dabei ist $f(\beta )\in K$ als eine multiindizierte Koordinate zu verstehen. Dazu fasse $\beta$ in folgender Weise als einen Multiindex $(j_{1},j_{2},\dots ,j_{n})$ auf:

${\begin{aligned}\beta \in B=B^{(1)}\times \dots \times B^{(N)}&=&{\big \{}(v_{j_{1}}^{(1)},v_{j_{2}}^{(2)},\dots v_{j_{N}}^{(N)})\mid 1\leq j_{1}\leq m_{1},1\leq j_{2}\leq m_{2},\dots ,1\leq j_{N}\leq m_{N}{\big \}}\\&\cong &{\big \{}(j_{1},j_{2},\dots ,j_{n})\mid 1\leq j_{1}\leq m_{1},1\leq j_{2}\leq m_{2},\dots ,1\leq j_{N}\leq m_{N}{\big \}}\;.\end{aligned}}$

Anmerkung 3: Die Supermatrix $(f(\beta ))_{\beta \in B}$ wird häufig mit dem Tensor, den sie darstellt, identifiziert. Sie ist sozusagen die Koordinatenmatrix des Tensors und wird mit ihm identifiziert, ähnlich wie Koordinatenvektoren mit dem durch sie dargestellten Vektor identifiziert werden. Die Bezugnahme auf die Basen $B^{(i)}$ fließt bei dieser Identifikation stillschweigend ein.

Dabei sei $\otimes (\beta )$ zunächst lediglich als ein Symbol aufgefasst. Für $\beta =(v^{(1)},\dots ,v^{(N)})\in B$ steht es also für $\otimes {\big (}(v^{(1)},\dots ,v^{(N)}){\big )}$. (Die Schreibweise $v^{(1)}\otimes \dots \otimes v^{(N)}$ wird vermieden, weil sie die Frage der Operatorassoziativität aufwürfe.)

Nun definiere die Abbildung

${\begin{matrix}\phi \colon \;&B&\longrightarrow &\bigotimes _{i\in I}V^{(i)}\\&\beta &\longmapsto &1\cdot \otimes (\beta )\end{matrix}}$

Durch multilineare Fortsetzung von $\phi$ auf den gesamten Raum $\prod _{i\in I}V^{(i)}$ definiere die gewünschte $N$-fach multilineare Abbildung $\otimes :=\phi$, das Tensorprodukt

${\begin{matrix}\otimes \colon \;&\prod _{i\in I}V^{(i)}&\longrightarrow &\bigotimes _{i\in I}V^{(i)}\;.\end{matrix}}$

Der (uni)lineare Fall $N=1$

Für den Fall $N=1$ liefert die Konstruktion des Tensorprodukts also lediglich die von der Basis $B$ abhängige Koordinatendarstellung eines Vektorraumes $V\to \bigoplus _{v\in B}K\cdot v$. Die universelle Eigenschaft zeigt auf, dass jede „unilineare“ (das heißt lineare) Abbildung $V\to Y$ als lineare Abbildung dieses Koordinatenraums dargestellt werden kann – eine wohlvertraute Tatsache. Das Tensorprodukt verallgemeinert sie für den multilinearen Kontext des Produkts $\prod _{i\in I}V^{(i)}$. Hierin lässt sich das Wesen des Tensorprodukts erblicken.

Der triviale Fall $V^{(i)}=K$

Wie schon im bilinearen Falle trivialisiert sich das multilineare Tensorprodukt für den Fall, dass alle Vektorräume eindimensional sind: Es ist dann – bis auf eine Isomorphie, die sich in einem Skalarfaktor $1\otimes \dots \otimes 1=:a\in K\backslash \{0\}$ niederschlägt – durch ein Monom $f(X_{1},\dots ,X_{N})=a\cdot X_{1}\cdot \dots \cdots X_{N}$ gegeben und mithin mit der Körpermultiplikation (linear) identifizierbar. Eine beliebige multilineare Abbildung $\psi :\underbrace {K\times \dots \times K} _{n{\text{ mal}}}\to K$ ist ein lineares Abbild durch Multiplikation mit dem skalierenden Faktor $\psi (1,\dots ,1)\cdot a^{-1}$.

Definition durch universelle Eigenschaft

Unter einem Tensorprodukt der (endlichen) Familie von $K$-Vektorräumen $V^{(i)},i\in I$ versteht man eine $N$-fach multilineare Abbildung $\phi \in L^{N}(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};X)$ in einen $K$-Vektorraum $X$ mit einer der beiden folgenden äquivalenten Eigenschaften:

• Ist $\psi \in L^{N}(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};Y)$ eine multilineare Abbildung in einen $K$-Vektorraum $Y$, so existiert genau eine lineare Abbildung ${\tilde {\psi }}:X\to Y$ mit $\psi ={\tilde {\psi }}\circ \phi =:\phi ^{*}({\tilde {\psi }})$.
• Für jeden $K$-Vektorraum $Y$ liefert der durch $\phi$ gestiftete Rückzug einen Isomorphismus von Vektorräumen

${\begin{matrix}L(X,Y)&\longrightarrow &L^{N}(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};Y)\\f&\longmapsto &\phi ^{*}(f):=f\circ \phi \;.\end{matrix}}$

Man notiert das Tensorprodukt $\phi (v^{(1)},\dots ,v^{(N)})=:\otimes (v^{(1)},\dots ,v^{(N)})$.

Definition durch Zurückführung auf bilineare Abbildungen und das Tensorprodukt mit zwei Faktoren

Eine $N$-fach multilineare Abbildung auf eine $(N-1)$-fach multilineare Abbildung zurückführen, denn die Definition der Multilinearität lässt sich durch Currying in folgende Gleichungen kleiden:

$L^{N}(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};Y)=L(V^{(k)},L^{N-1}(V^{(1)},\dots ,{\widehat {V^{(k)}}},\dots ,V^{(N)};Y))$

bzw.

$L^{N}(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};Y)=L^{N-1}(V^{(1)},\dots ,{\widehat {V^{(k)}}},\dots ,V^{(N)};L(V^{(k)};Y))\;,$

wobei die Schreibweise $V^{(1)},\dots ,{\widehat {V^{(k)}}},\dots ,V^{(N)}$ die Tilgung des unter dem Dach befindlichen Vektorraums ${\displaystyle }$ bedeuten möge.

Setzt man also sukzessive $k=1,2,\dots ,N$, so erhält man

$L^{N}(V^{(1)},\dots ,V^{(N)};Y)=L(V^{(1)},L(V^{(2)},L(V^{(3)},L(\dots ,L(V^{(N)},Y)\dots ))))$

Auf diese Weise lässt sich das $N$-fache Tensorprodukt schrittweise auf das gewöhnliche $2$-fache (bilineare) Tensorprodukt zurückführen – oder umgekehrt von ihm ausgehend mit Iterationsschritten $N\to N+1$ aufbauen.

Dabei zeigt sich, dass die Frage der Operatorassoziativität müßig ist: Beispielsweise sind die beiden $3$-fachen Tensorprodukte $[(\cdot \otimes \cdot )\otimes \cdot ]$ und $[\cdot \otimes (\cdot \otimes \cdot )]$ (als trilineare Abbildungen) isomorph. Dies ist der Grund dafür, dass die Klammern auch fortgelassen werden können:

$\otimes (v^{(1)},\dots ,v^{(N)})=:v^{(1)}\otimes \dots \otimes v^{(N)}$

Lineare Abbildungen und Tensoren vom Typ (r,s)

Zur Abkürzung setze nun $V^{\otimes s}:=V\otimes \ldots \otimes V$. Für einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ besteht also wegen $(V^{\otimes r})^{*}\cong (V^{*})^{\otimes r}$ ein Isomorphismus:

${\begin{matrix}(V^{*})^{\otimes r}\otimes V^{\otimes s}&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V^{\otimes r},V^{\otimes s})&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L^{r}(\underbrace {V,\dots ,V} _{r{\text{ mal}}};V^{\otimes s})\\(\lambda ^{(1)}\otimes \lambda ^{(r)})\otimes (v^{(1)}\otimes v^{(s)})&\longmapsto &(v^{(1)}\otimes v^{(s)})\cdot (\lambda ^{(1)}\otimes \lambda ^{(r)})&\longmapsto &[(w^{(1)},\dots ,w^{(r)})\mapsto \underbrace {(v^{(1)}\otimes v^{(s)})} _{\in V^{\otimes s}}\cdot \underbrace {\prod _{j=1}^{s}\lambda ^{(j)}(w^{(j)})} _{\in K}]\;.\end{matrix}}$

In Worten: Elemente von

$(V^{*})^{\otimes r}\otimes V^{\otimes s}$

sind mit den Homomorphismen

$\mathop {\mathrm {Hom} } {\big (}V^{\otimes r},V^{\otimes s}{\big )}=L{\big (}V^{\otimes r},V^{\otimes s}{\big )}$

von $V^{\otimes r}$ in $V^{\otimes s}$ identifizierbar und ebenso mit den $r$-multilinearen Abbildungen

$V\times \dotsb \times V\to V^{\otimes s}$.

Diese Objekte heißen (gemischte) Tensoren der Stufe $r+s$, und zwar kontravariant von der Stufe $r$, kovariant von der Stufe $s$ – oder kürzer: $(r,s)$-Tensoren oder Tensoren der Stufe $(r,s)$. Beispielsweise sind $(0,1)$-Tensoren Elemente des Vektorraums, $(1,0)$-Tensoren hingegen Linearformen oder Kovektoren und $(2,0)$-Tensoren Bilinearformen (wie bspw. ein Skalarprodukt) auf $V$. Wie bereits erwähnt, können $(1,1)$-Tensoren mit Endomorphismen von $V$ identifiziert werden.

In der Sprache der Kategorientheorie ist $\mathop {\mathrm {Hom} } ([??],[??])=L([??],[??])$ ein Bifunktor, kontravariant im ersten, kovariant im zweiten Argument. Dies zeigt sich im Transformationsverhalten der Tensoren, siehe auch Artikel Kovarianz (Physik).

Tensoren vom Typ $(0,s)$ heißen rein kovariant von der Stufe $s$, Tensoren vom Typ $(r,0)$ hingegen rein kontravariant von der Stufe $r$.

Die Spur eines Tensors vom Typ $(1,1)$ (also eines Endomorphismus) liefert einen Tensor vom Typ $(0,0)$ (also einen Skalar).

Entsprechend gibt es Abbildungen vom Raum der $(r,s)$-Tensoren in den Raum der $(r-1,s-1)$-Tensoren, die Kontraktion oder Spurbildung oder Tensorverjüngung genannt werden.

Erweiterung der Skalare

Ist $V$ ein Vektorraum über $K$ und $L$ ein Erweiterungskörper von $K$, so kann man das Tensorprodukt

$V_{L}:=V\otimes _{K}L$

bilden, indem man auch $L$ als $K$-Vektorraum auffasst; dies wird durch $\otimes _{K}$ symbolisiert. $V_{L}$ wird zu einem Vektorraum über $L$, wenn man

$\lambda \cdot (v\otimes \mu ):=v\otimes (\lambda \mu )\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ v\in V,\,\lambda ,\mu \in L$

setzt. Die Dimension von $V_{L}$ als $L$-Vektorraum ist gleich der Dimension von $V$ als $K$-Vektorraum: Ist $B$ eine $K$-Basis von $V$, so bildet die Menge

$\{b\otimes 1\,|\,b\in B\}$

eine $L$-Basis von $V_{L}$.

Tensorprodukt von Moduln

Das Tensorprodukt lässt sich – wie an anderer Stelle schon angedeutet – nicht nur für die Kategorie der Vektorräume bilden, sondern auch für die Kategorie der Moduln über einem (beliebigen, auch nichtkommutativen) Ring mit Einselement, freilich mit Auswirkungen auf manche seiner Eigenschaften. Im Folgenden werden Eigenschaften für das Tensorprodukt in der Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring $R$ skizziert.

Vorab eine allgemeine Anmerkung: Jede abelsche Gruppe $G$ lässt sich als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ vermöge $n\cdot x=(n-1)\cdot x+x$ (per vollständige Induktion für jedes $n\geq 1$) und durch $(-n)\cdot x:=-(n\cdot x)$, so dass $0\cdot x=0\in G$. Die Kategorie der abelsche Gruppen und diejenige der $\mathbb {Z}$-Moduln sind also äquivalent, siehe dazu auch diesen Link.

Tensorprodukt auf freien Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement

Alle Aussagen, die im Abschnitt über das Tensorprodukt auf Vektorräumen über einem Körper $K$ getroffen wurden, gelten auch für das Tensorprodukt auf freien Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement.

Hintergrund: Im Abschnitt über das Tensorprodukt auf Vektorräumen wurde nicht benutzt, dass die Elemente des Körpers $K$ (bis auf die 0) sämtlich inversibel sind: $K^{*}=K\backslash \{0\}$. Es wurde nicht einmal verwendet, dass $K$ als Ring nullteilerfrei ist. Wohl aber wurde benutzt, dass jeder Vektorraum direkte Summe seiner eindimensionalen Unterräume ist, deren jeder durch einen der Basisvektoren aufgespannt wird: $V=\bigoplus _{i\in I}K\cdot v_{i}$. Diese Eigenschaft ist für die Konstruktion schon hinreichend – und für freie Moduln über einem Ring $R$ mit Einselement aber (per Definition) erfüllt. Wenn $R$ sogar ein Körper ist – für Vektorräume also – lässt sich diese Tatsache dank der Inversibilität nicht verschwindender Körperelemente sicherstellen.

Man kann also den obigen Abschnitt über das Tensorprodukt von Vektorräumen auch für freie Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement lesen.

Tensorprodukt auf Moduln über Hauptidealringen

Bei der Ermittlung des Tensorprodukts auf Moduln über einem Hauptidealring $R$ sind der Elementarteilersatz und die Primärzerlegung hilfreich. Für den Fall $R=\mathbb {Z}$ liefert dieser den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen.

Beispiel aus der Zahlentheorie

Der Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Jeder euklidische Ring – wie etwa auch der Ring der Gaußschen Zahlen $\mathbb {Z} [i]$ oder Polynomring über einem Körper – ist ein Hauptidealring. Das folgende Beispiel illustriert einen für Moduln über Hauptidealringen typischen Fall, wie die Primärzerlegung lehrt.

Betrachte für zwei ganze Zahlen $m_{1},m_{2}$ das Tensorprodukt $\mathbb {Z} /(m_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(m_{1})$ der Restklassenringe $\mathbb {Z} /(m_{i})$:

Ist $d=n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2}$ für zwei Zahlen $n_{i}\in \mathbb {Z}$, so gilt für jeden elementaren Tensor $x_{1}\otimes x_{2}\in \mathbb {Z} /(m_{1})\otimes \mathbb {Z} /(m_{2})$:

${\begin{matrix}d\cdot (x_{1}\otimes x_{2})&=&(n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2})\cdot (x_{1}\otimes x_{2})\\&=&(n_{1}m_{1})\cdot (x_{1}\otimes x_{2})+(n_{2}m_{2})\cdot (x_{1}\otimes x_{2})\\&=&(n_{1}m_{1}\cdot x_{1})\otimes x_{2}+x_{1}\otimes (n_{2}m_{2}\cdot x_{2})\\&=&0\otimes x_{2}+x_{1}\otimes 0\\&=&0\;.\end{matrix}}$

Tatsächlich lassen sich für den größten gemeinsamen Teiler $d:=\mathrm {ggT} (m_{1},m_{2})$ solche Zahlen $n_{i}\in \mathbb {Z}$ finden. Also annulliert der größte gemeinsame Teiler das gesamte Tensorprodukt:

$d\cdot {\big (}\mathbb {Z} /(m_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(m_{1}){\big )}=\{0\}$.

Sind die beiden Zahlen gar teilerfremd, so ist der größte gemeinsame Teiler $\mathrm {ggT} (m_{1},m_{2})=1$, und es folgt, dass das Tensorprodukt zur Nullgruppe kollabiert:

$\mathbb {Z} /(m_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(m_{1})=\{0\}$.

Daher ist eine $\mathbb {Z}$-bilineare Abbildung $\mathbb {Z} /(m_{1})\times \mathbb {Z} /(m_{2})\to Y$ notwendig die triviale Nullabbildung.

Das Tensorprodukt abelscher Gruppen kann also zum Kollaps führen.

Man beachte hier den großen Unterschied zwischen direktem Produkt und Tensorprodukt: Während das Tensorprodukt zu

$\mathbb {Z} /(m_{1})\otimes \mathbb {Z} /(m_{2})\cong \{0\}$

kollabiert, liefert das direkte Produkt nach dem Chinesischen Restsatz den Restklassenring

$\mathbb {Z} /(m_{1})\times \mathbb {Z} /(m_{2})\cong \mathbb {Z} /(m_{1}\cdot m_{2})$.

Tensorprodukt auf Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement

→ Hauptartikel: Tensorprodukt von Moduln

Sind die Moduln aber nicht frei über dem Ring $R$, so gelingt die Konstruktion aus dem Abschnitt über das Tensorprodukt auf Vektorräumen nicht, eben weil die Ausgangsbasen nicht gegeben sind. Die Universaldefinition hingegen bleibt sinnvoll und definiert das Tensorprodukt auf Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement. Allerdings bleibt die Frage der Existenz offen: Sie wird mittels einer allgemeineren Konstruktion nachgewiesen, siehe den Artikel über das Tensorprodukt von Moduln.

Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen mit Einselement

→ Hauptartikel: Tensorprodukt von Moduln

Eine wesentliche Änderungen tritt ein, wenn der Ring $R$ nicht kommutativ ist, und diese Änderungen betrifft folglich auch Vektorräume über Schiefkörpern: Das liegt daran, dass die Eigenschaft der Bilinearität für Elemente $m_{i}\in M_{i}$ Elemente aus zwei Moduln $M_{i}$ (für $i=1,2$) und für eine bilineare Abbildung $\phi :M_{1}\times M_{2}\to N$ folgende Identität impliziert:

$r_{1}r_{2}\phi (m_{1},m_{2})=\phi (r_{1}m_{1},r_{2}m_{2})=r_{2}r_{1}\phi (m_{1},m_{2})\quad \forall r_{1},r_{2}\in R$.

Ist $N=R$ und hat der Ring keine Links-Nullteiler oder gibt es $(m_{1},m_{2})\in M_{1}\times M_{2}$ mit $\phi (m_{1},m_{2})=1\in R=N$, so muss der Ring kommutativ sein. Bilineare Abbildungen scheinen also (im Gegensatz zu „unilinearen“ Abbildungen) für nicht-kommutative Ringe ein wenig fruchtbares Konzept zu sein.

Daher wird diese Eigenschaft der Bilinearität in bedeutsamer, folgenschwerer Weise geändert: Das Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen mit Einselement handelt nicht von bilinearen Abbildungen, sondern von Abbildungen anderer Art, und der Produktraum ist kein $R$-Modul:

Dazu seien $M_{1}$ ein Rechts-Modul, $M_{1}$ ein Links-Modul über dem Ring $R$, $Y$ eine abelsche Gruppe (ein Modul (über dem Ring der ganzen Zahlen)).

Definition: Eine Abbildung $\phi :M_{1}\times M_{2}\to Y$ heißt $R$-balanziert, wenn gilt: Sie ist additiv in jeder Komponente und darüber hinaus assoziativ in folgendem Sinne:

$\phi (m_{1}r,m_{2})=\phi (m_{1},rm_{2})\;\forall r\in R$.

Nun wird die Universaldefinition an die über dem Ring balanzierten Abbildungen angepasst und liefert daher für diese das Tensorprodukt. Dabei ist das „Produkt“ eben nicht mehr bilinear, sondern balanziert.

Universaldefinition: Eine $R$-balanzierte Abbildung $\phi :M_{1}\times M_{2}\to X$ in eine abelsche Gruppe $X$ wird als Tensorprodukt von $M_{1}$ und $M_{2}$ bezeichnet, wenn für jede abelsche Gruppe $Y$ der durch $\phi$ gestiftete Rücktransport (Rückzug, Pullback)

${\begin{matrix}\phi ^{*}\colon \;L(X,Y)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L^{2}(M_{1},M_{2};Y)\\f&\longmapsto &f\circ \phi \end{matrix}}$

bijektiv, mithin ein Isomorphismus von Gruppen ist. Man schreibt $M_{1}\otimes M_{2}:=X$ und $m_{1}\otimes m_{2}:=\phi (m_{1},m_{2})$.

Dies hat zur Folge, dass der Tensorproduktraum $M_{1}\otimes _{R}M_{2}$ kein Modul über dem Ring $R$ ist: Die „Skalarmultiplikation“ ist gewissermaßen eingekapselt und nicht mehr erreichbar, und der Tensorproduktraum ist lediglich ein Modul, also eine abelsche Gruppe, das heißt: ein Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Tatsächlich benötigt die Definition der Balanziertheit gar keine $R$-Linearität des Moduls $N$ (soll heißen: keine Skalarmultiplikation mit Ringelementen). Es genügt, dass $N$ eine abelsche Gruppe ist. Entsprechend ist auch $M_{1}\otimes _{R}M_{2}$ eine abelsche Gruppe.

Gestalt der Tensoren

Für die Gestalt der Tensoren gelten analoge Aussagen wie im Falle des Tensorprodukts auf Vektorräumen.

Elementare Tensoren

Ein elementarer Tensor (auch reiner oder einfacher Tensor) im Tensorprodukt $M\otimes _{R}N$ ist ein Element von der Form $m\otimes n$ mit $m\in M,\,n\in N$.

Allgemeine Gestalt

Jedes Element des Tensorprodukts ist eine endliche Summe von elementaren Tensoren. Im Allgemeinen lässt sich nicht jeder Tensor als elementarer Tensor schreiben.

Zum Beispiel ist der Tensor $e_{1}\otimes e_{2}-e_{2}\otimes e_{1}$ kein elementarer Tensor im Tensorprodukt $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$, wobei $e_{i}$ die Standardbasisvektoren sind (dagegen $e_{1}\otimes e_{1}-e_{1}\otimes e_{2}-e_{2}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{2}=(e_{1}-e_{2})\otimes (e_{1}-e_{2})$ durchaus).

Ist $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein von einem Element erzeugter $R$-Modul, dann ist jeder Tensor des Tensorprodukts $M\otimes _{R}N$ ein elementarer Tensor für jeden beliebigen $R$-Modul $N.$

Tensorprodukt von Darstellungen

Seien

$\rho _{1}\colon G_{1}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}),\,\rho _{2}\colon G_{2}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{2}})$

lineare Darstellungen. Wir definieren die lineare Darstellung

$\rho _{1}\otimes \rho _{2}\colon G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}\otimes V_{\rho _{2}})$

in das Tensorprodukt von $V_{\rho _{1}}$ und $V_{\rho _{2}}$ durch

$\rho _{1}\otimes \rho _{2}(s_{1},s_{2})=\rho _{1}(s_{1})\otimes \rho _{2}(s_{2}),$

für $s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2}$, wobei das Tensorprodukt von Matrizen das Kronecker-Produkt ist. Diese Darstellung wird äußeres Tensorprodukt der Darstellungen $\rho _{1}$ und $\rho _{2}$ genannt. Existenz und Eindeutigkeit folgen aus der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts.

Seien $\rho _{1}\colon G\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}})$ und $\rho _{2}\colon G\to {\text{GL}}(V_{\rho _{2}})$ zwei lineare Darstellungen derselben Gruppe und sei $s\in G,$ dann kann

$\rho (s)\in {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}\otimes V_{\rho _{2}})$

definiert werden durch

$\rho (s)(v_{1}\otimes v_{2})=\rho _{1}(s)v_{1}\otimes \rho _{2}(s)v_{2},$

für $v_{1}\in V_{\rho _{1}},v_{2}\in V_{\rho _{2}}.$ Man schreibt dafür $\rho (s)=\rho _{1}(s)\otimes \rho _{2}(s).$ Die Abbildung $s\mapsto \rho (s)$ definiert dann eine lineare Darstellung von $G,$ die ebenfalls Tensorprodukt der gegebenen Darstellungen genannt wird.

Man muss diese beiden Fälle jedoch strikt unterscheiden. Der erste Fall ist eine Darstellung des Produkts zweier Gruppen in das Tensorprodukt der jeweils zugehörigen Darstellungsräume. Der zweite Fall ist eine Darstellung einer Gruppe $G$ ins Tensorprodukt von Darstellungsräumen dieser Gruppe. Der zweite Fall kann jedoch als Spezialfall des ersten Falls angesehen werden, indem man die diagonale Untergruppe $G\times G$ betrachtet. Die Definitionen können endlich oft iteriert werden.

Seien $V$ und $W$ Darstellungen der Gruppe $G,$ dann ist ${\text{Hom}}(V,W)$ eine Darstellung, wie durch die Identifikation

${\text{Hom}}(V,W)=V^{*}\otimes W$

ersichtlich ist. Sei $B\in {\text{Hom}}(V,W)$ und sei $\rho$ die Darstellung auf ${\text{Hom}}(V,W),$ $\rho _{V}$ die Darstellung auf $V,$ $\rho _{W}$ die Darstellung auf $W.$ Dann liefert die obige Identifikation die Gleichung

$\rho (s)(B)v=\rho _{W}(s)\circ B\circ \rho _{V}(s)(v)$

für alle $s\in G,v\in V.$

Die irreduziblen Darstellungen von $G_{1}\times G_{2}$ sind bis auf Isomorphie genau die Darstellungen $\rho _{1}\otimes \rho _{2}$, für die $\rho _{1}$ und $\rho _{2}$ die irreduziblen Darstellungen von $G_{1}$ bzw. $G_{2}$ sind.

Dieses Ergebnis schränkt das Studium der Darstellungen von $G_{1}\times G_{2}$ auf das Studium der Darstellungen von $G_{1}$ und $G_{2}$ ein.

Das folgende Beispiel illustriert den Unterschied zwischen direkter Summe und Tensorprodukt. Sei

$\textstyle \rho _{1}\colon \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$

die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

$\rho _{1}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}}\right).$

Und sei

$\textstyle \rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$

die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

$\rho _{2}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{ccc}1&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&e^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&e^{\frac {4\pi i}{3}}\end{array}}\right).$

Dann ist das äußere Tensorprodukt

$\rho _{1}\otimes \rho _{2}\colon \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3})={\text{GL}}_{6}(\mathbb {C} )$

gegeben durch $\rho _{1}(k)\otimes \rho _{2}(l),$ wobei $k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} .$
Die lineare Abbildung $\rho _{1}({\overline {1}})\otimes \rho _{2}({\overline {1}}),$ die zum Erzeuger $({\overline {1}},{\overline {1}})$ gehört, ist dann in der Basis von $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {C} ^{6}$ gegeben durch:

$\rho _{1}({\overline {1}})\otimes \rho _{2}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cccccc}0&0&0&-i&0&-ie^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&0&0&0&-ie^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&0&0&0&-ie^{\frac {4\pi i}{3}}\\i&0&ie^{\frac {2\pi i}{3}}&0&0&0\\0&ie^{\frac {2\pi i}{3}}&0&0&0&0\\0&0&ie^{\frac {4\pi i}{3}}&0&0&0\end{array}}\right)$

Ein Vergleich mit der direkten Summe zeigt den Unterschied. Die erhaltenen Darstellungen besitzen auch nicht denselben Grad.

Symmetrisches und alternierendes Quadrat

Sei $\rho \colon G\to V\otimes V$ eine lineare Darstellung von $G$ und $(e_{k})$ eine Basis von $V.$ Definiere

$\vartheta \colon V\otimes V\to V\otimes V,$

indem wir

$\vartheta (e_{k}\otimes e_{j})=e_{j}\otimes e_{k}$

linear fortsetzen. Dann gilt

$\forall u,v\in V\colon \,\theta (v\otimes u)=u\otimes v$

und $\vartheta ^{2}=1.$ Damit zerfällt $V\otimes V$ in

$V\otimes V={\text{Sym}}^{2}(V)\oplus {\text{Alt}}^{2}(V),$

wobei

${\text{Sym}}^{2}(V)=\{z\in V\otimes V\mid \vartheta (z)=z\}$

und

$\textstyle {\text{Alt}}^{2}(V)=\bigwedge ^{2}(V)=\{z\in V\otimes V\mid \vartheta (z)=-z\}.$

Diese Unterräume sind $G$-invariant und definieren so Teildarstellungen, die symmetrisches bzw. alternierendes Quadrat genannt werden. Diese Teildarstellungen existieren auch für $V^{\otimes m},$ werden dann allerdings mit Hutprodukt $\textstyle \bigwedge ^{m}(V)$ und symmetrisches Produkt ${\text{Sym}}^{m}(V)$ bezeichnet. Im Falle $m>2$ ergibt sich $V^{\otimes m}$ dann im Allgemeinen nicht mehr als die direkte Summe der beiden Produkte.

Weiterführende Begriffe

In der Algebra:

• Flachheit
• Brauergruppe

In der Differentialgeometrie:

• Tensorfeld
• Differentialform
• Vektorbündel

In der Funktionalanalysis

• Projektives Tensorprodukt (Banachräume, lokalkonvexe Räume)
• Injektives Tensorprodukt (Banachräume, lokalkonvexe Räume)
• Hilbertraum-Tensorprodukt
• Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren
• Räumliches Tensorprodukt (C*-Algebren)
• Maximales Tensorprodukt (C*-Algebren)

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6. Abschnitt 4.11: Tensorprodukt von Vektorräumen, S. 230 und Abschnitt 7.2: Tensorprodukt über Ringen, S. 299.

• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra. 8. Auflage (der Modernen Algebra) Springer-Verlag, 1971, Heidelberger Taschenbücher Band 12, ISBN 3-540-03561-3. Viertes Kapitel Vektorräume und Tensorräume, S. 62, insbesondere § 24ff., S. 76ff.

• Horst Schubert: Kategorien I, Springer-Verlag, 1970, Heidelberger Taschenbücher Band 65.

• Serge Lang: Algebra, Chapter XVI, 2nd edition, Addison-Wesley, 1984, ISBN 0-201-05487-6. 3rd edition, New York, Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X.