Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation (genauer die kontinuierliche Fourier-Transformation; Aussprache: [fuʁie]) ist eine mathematische Methode aus dem Bereich der Fourier-Analysis, mit der aperiodische Signale in ein kontinuierliches Spektrum zerlegt werden. Die Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man auch Fourier-Transformierte oder Spektralfunktion. Es handelt sich dabei um eine Integraltransformation, die nach dem Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier benannt ist. Fourier führte im Jahr 1822 die Fourier-Reihe ein, die jedoch nur für periodische Signale definiert ist und zu einem diskreten Frequenzspektrum führt.

Definition

Sei $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ eine integrierbare Funktion. Die (kontinuierliche) Fourier-Transformierte ${\mathcal {F}}f$ von $f$ ist definiert durch

$({\mathcal {F}}f)(y)={\frac {1}{\left(2\pi \right)^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,e^{-\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} x$

und die zugehörige inverse Transformation lautet:

$f(x)={\frac {1}{\left(2\pi \right)^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,e^{\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} y\;.$

Dabei gilt: $\mathrm {d} x$ und $\mathrm {d} y$ sind $n$-dimensionale Volumenelemente, $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit und $y\cdot x$ das Standardskalarprodukt der Vektoren $y$ und $x$.

Die Normierungskonstante ist in der Literatur nicht einheitlich. In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren und in der Signalverarbeitung ist es üblich, den Faktor $1/(2\pi )^{n/2}$ in der Transformation wegzulassen, sodass stattdessen die Rücktransformation den Vorfaktor $1/(2\pi )^{n}$ erhält. Die Transformation lautet dann:

$({\mathcal {F}}f)(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,e^{-\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} x\;,$

$f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,e^{\mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} y\;.$

Dies hat den Nachteil, dass im Satz von Parseval ein Vorfaktor auftaucht, was bedeutet, dass die Fouriertransformation dann keine unitäre Abbildung mehr auf $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ist. Mit anderen Worten: Die Signalleistung ändert sich dann durch die Fouriertransformation. In der Literatur zu Signalverarbeitung und Systemtheorie findet man auch folgende Konvention, die ohne Vorfaktoren auskommt:

$({\mathcal {F}}f)(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,e^{-2\pi \mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} x\;,$

$f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}({\mathcal {F}}f)(y)\,e^{2\pi \mathrm {i} y\cdot x}\,\mathrm {d} y\;.$

Die reelle Form der Fourier-Transformation wird als Hartley-Transformation bezeichnet. Für reelle Funktionen $f$ kann die Fourier-Transformation durch die Sinus- und Kosinus-Transformation substituiert werden.

Anwendungsfall

Einen besonderen Anwendungsfall gibt es in der Akustik: Der reine Kammerton ${\bar {a}}$ ist eine Sinuswelle mit der Frequenz 440 Hz, also 440 Schwingungen pro Sekunde. Eine ideale Stimmgabel gibt genau dieses Sinussignal ab. Der gleiche Ton gespielt mit einem anderen Musikinstrument (nicht-ideale Stimmgabel), ist eine Zusammensetzung/Überlagerung aus Wellen verschiedener Wellenlängen. Diese sind bezüglich ihrer Frequenz normalerweise ganzzahlige Vielfache der Frequenz des Grundtons. Die Zusammensetzung und jeweilige Amplitude dieser Wellen ist Bestimmend für die Klangfarbe jedes Musikinstruments. Nur die Welle mit der größten Wellenlänge, der Grundton des Signals, hat dabei die Frequenz 440 Hz. Die anderen Wellen, die Obertöne, haben höhere Frequenzen. Wellen höherer Frequenz können nur bis zu einer dem Alter des Menschen entsprechenden Grenzfrequenz von bis zu 20 kHz auditiv wahrgenommen werden.

An der Fouriertransformierten des Tonsignals kann man direkt die verschiedenen Frequenzen/Wellenlängen der Wellenzusammensetzung ablesen. Diese Eigenschaft kann man beispielsweise für die automatische Erkennung von Tonhöhen und Musikinstrumenten in einem Tonsignal ausnutzen. Für analoge Tonsignale wird die kontinuierliche Fourier-Transformation verwendet. Für digitale Tonsignale, wie mp3-Audiodateien, wird die diskrete Fourier-Transformation herangezogen. Von Letzterer gibt es auch laufzeitoptimierte Varianten.

Die Schwingungen des Tonsignals eines Instruments können durch ein Mikrophon in Verbindung mit einem Oszilloskop bildlich dargestellt werden. Dazu gibt es unter dem Link eine anschauliche Vorführung in die Fouriertransformierte eines Tonsignals.

Beispiel

Als Beispiel soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:

$f(t)=x_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot \cos(\omega _{\rm {s}}t)\Theta (t)$

oder in komplexer Schreibweise:

$f(t)=x_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\cdot {\tfrac {1}{2}}(e^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+e^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t})\Theta (t)\;.$

Hier ist $x_{0}$ die Amplitude und $\omega _{\rm {s}}$ die Kreisfrequenz der Schwingung, $\tau$ die Zeit, in der die Amplitude um den Faktor $1/e$ abfällt, und $\Theta (t)$ die Heaviside-Funktion. Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält

${\begin{aligned}F(\omega )=({\mathcal {F}}f)(\omega )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{0}\cdot e^{-t/\tau }\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(e^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+e^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}\right)\Theta (t)\cdot e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t/\tau }\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(e^{\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}+e^{-\mathrm {i} \omega _{\rm {s}}t}\right)\cdot e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t\left(1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )\right)}+e^{-t\left(1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )\right)}\right)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left[-{\frac {1}{1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )}}e^{-t\left(1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )\right)}-{\frac {1}{1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )}}e^{-t\left(1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )\right)}\right]_{0}^{\infty }\\&={\frac {x_{0}}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {1}{1/\tau -\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}-\omega )}}+{\frac {1}{1/\tau +\mathrm {i} (\omega _{\rm {s}}+\omega )}}\right)\\&={\frac {x_{0}}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1/\tau +\mathrm {i} \omega }{(1/\tau +\mathrm {i} \omega )^{2}+\omega _{\rm {s}}^{2}}}\,.\end{aligned}}$

Eigenschaften

Linearität

Die Fourier-Transformation ${\mathcal {F}}$ ist ein linearer Operator. Das heißt, es gilt ${\mathcal {F}}(a\cdot f+b\cdot g)=a\cdot {\mathcal {F}}(f)+b\cdot {\mathcal {F}}(g)$.

Stetigkeit

Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Operator vom Raum der integrierbaren Funktionen $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ in den Raum der Funktionen $C_{0}(\mathbb {R} ^{n})$, die im Unendlichen verschwinden. Mit $C_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ ist die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, welche für $|x|\to \infty$ verschwinden. Die Tatsache, dass die Fourier-Transformierten im Unendlichen verschwinden, ist auch als Lemma von Riemann-Lebesgue bekannt. Außerdem gilt die Ungleichung

$\|{\mathcal {F}}f\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}}}\|f\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Differentiationsregeln

Sei $f\in S(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ eine Schwartz-Funktion und $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ ein Multiindex. Dann gilt

• ${\mathcal {F}}f\in S(\mathbb {R} ^{n})$ und $D^{\alpha }({\mathcal {F}}f)=(-{\rm {i}})^{|\alpha |}{\mathcal {F}}(x^{\alpha }f)$.
• $({\mathcal {F}}(D^{\alpha }f))(\xi )={\rm {i}}^{|\alpha |}\xi ^{\alpha }({\mathcal {F}}f)(\xi )$.

Fixpunkt

Die Dichtefunktion

$\varphi (x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}\|x\|^{2}}$

mit $x\in \mathbb {R} ^{n}$ der ($n$-dimensionalen) Gauß’schen Normalverteilung ist ein Fixpunkt der Fourier-Transformation. Das heißt, es gilt für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichung

$({\mathcal {F}}\varphi )(x)=\varphi (x)$.

Insbesondere ist also $\varphi$ eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation zum Eigenwert $1$. Mit Hilfe des Residuensatzes oder mit Hilfe partieller Integration und Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung kann in diesem Fall das Fourier-Integral $\textstyle {\tfrac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} }e^{{\rm {i}}x\cdot \xi }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\mathrm {d} x$ bestimmt werden.

Spiegelsymmetrie

Für $f\in S(\mathbb {R} ^{n})$ gilt für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichung

$({\mathcal {F}}^{2}f)(x)=({\mathcal {F}}({\mathcal {F}}f))(x)=f(-x)$.

Äquivalent lässt sich dies auf dem Schwartzraum $S(\mathbb {R} ^{n})$ als Operatorgleichung

${\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {P}}$

schreiben, wobei

${\mathcal {P}}:f\mapsto (x\mapsto f(-x))$

den Paritätsoperator bezeichnet.

Rücktransformationsformel

Sei $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ eine integrierbare Funktion derart, dass auch ${\mathcal {F}}(f)\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ gilt. Dann gilt die Rücktransformation

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(f))(x)=f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{\mathrm {i} tx}{\mathcal {F}}(f)(t)\,\mathrm {d} t.$

Diese wird auch Fouriersynthese genannt. Auf dem Schwartz-Raum $S(\mathbb {R} ^{n})$ ist die Fouriertransformation ein Automorphismus.

Faltungstheorem

Das Faltungstheorem für die Fourier-Transformation besagt, dass die Faltung zweier Funktionen durch die Fourier-Transformation in ihrem Bildraum in eine Multiplikation reeller Zahlen überführt wird. Für $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ gilt also

${\mathcal {F}}(f*g)=(2\pi )^{\tfrac {n}{2}}\,{\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)$.

Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt

${\mathcal {F}}(f)*{\mathcal {F}}(g)=(2\pi )^{\tfrac {n}{2}}{\mathcal {F}}(f\cdot g)$.

Fourier-Transformation von L²-Funktionen

Definition

Für eine Funktion $f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ist die Fouriertransformation mittels eines Dichtheitsargumentes definiert durch

${\mathcal {F}}(f)(\xi )=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}\int _{B_{r}(0)}f(x)e^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x$.

Die Konvergenz ist im Sinne von $L^{2}$ zu verstehen und $B_{r}(0)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq r\}$ ist die Kugel um den Ursprung mit Radius $r$. Für Funktionen $f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ stimmt diese Definition mit der aus dem ersten Abschnitt überein. Da die Fouriertransformation bezüglich des $L^{2}$-Skalarproduktes unitär ist (s. u.) und $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ in $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ dicht liegt, folgt, dass die Fouriertransformation ein isometrischer Automorphismus des $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ist. Dies ist die Aussage des Satzes von Plancherel.

Hausdorff-Young-Ungleichung

Seien $1\leq p\leq 2$ und ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$. Für $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ ist ${\mathcal {F}}(f)\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ und es gilt

$\|{\mathcal {F}}(f)\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {1}{(2\pi )^{n\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{2}}\right)}}}\|f\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Die Fourier-Transformation ${\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ hat also eine Fortsetzung zu einem stetigen Operator ${\mathcal {F}}:L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$, der durch

${\mathcal {F}}(f)(\xi )=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{B_{r}(0)}f(x)e^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x$

beschrieben wird. Der Grenzwert ist hier im Sinne von $L^{q}$ zu verstehen.

Differentiationsregel

Falls die Funktion $f$ schwach differenzierbar ist, gibt es eine Differentiationsregel analog zu denen für Schwarzfunktionen. Sei also $f\in W^{k,2}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k}(\mathbb {R} ^{n})$ eine k-mal schwach differenzierbare L²-Funktion und $\alpha$ ein Multiindex mit $|\alpha |\leq k$. Dann gilt

${\mathcal {F}}(D^{\alpha }f)(\xi )=\mathrm {i} ^{|\alpha |}\xi ^{\alpha }{\mathcal {F}}(f)(\xi )$.

Unitäre Abbildung

Die Fourier-Transformation ist bezüglich des komplexen $L^{2}$-Skalarproduktes ein unitärer Operator, das heißt, es gilt

$\langle {\mathcal {F}}(f),g\rangle _{L^{2}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {{\mathcal {F}}(f)}}(x)g(x)\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {f}}(x){\mathcal {F}}^{-1}(g)(x)\mathrm {d} x=\langle f,{\mathcal {F}}^{-1}(g)\rangle _{L^{2}}.$

Damit liegt das Spektrum der Fourier-Transformation auf der Einheitskreislinie. Im eindimensionalen Fall ($n=1$) bilden ferner die Hermite-Funktionen $\left(h_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ im Raum $L^{2}\left(\mathbb {R} \right)$ ein vollständiges Orthonormalsystem von Eigenfunktionen zu den Eigenwerten $\left(-\mathrm {i} \right)^{n}$.

Fourier-Transformation im Raum der temperierten Distributionen

→ Hauptartikel: Temperierte Distribution

Sei $u\in S'(\mathbb {R} ^{n})$ eine temperierte Distribution, die Fourier-Transformierte ${\mathcal {F}}(u)$ ist für alle $\phi \in S(\mathbb {R} ^{n})$ definiert durch

${\mathcal {F}}(u)(\phi ):=u({\mathcal {F}}(\phi ))$.

Stattet man den Raum $S'(\mathbb {R} ^{n})$ mit der Schwach-*-Topologie aus, dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, bijektive Abbildung auf $S'(\mathbb {R} ^{n})$. Ihre Umkehrabbildung lautet

$u(\phi )(-x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}{\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(u))(\phi )(x)$.

Fourier-Transformation von Maßen

Die Fourier-Transformation wird allgemein für endliche Borel-Maße auf $\mathbb {R} ^{n}$ definiert:

${\check {\mu }}(x)=\int e^{\mathrm {i} xy}\mu (\mathrm {d} y)$

heißt inverse Fourier-Transformierte des Maßes. Die charakteristische Funktion ist dann die inverse Fourier-Transformierte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Partielle Differentialgleichungen

In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen spielt die Fourier-Transformation eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe kann man Lösungen bestimmter Differentialgleichungen finden. Die Differentiationsregel und das Faltungstheorem sind dabei von essentieller Bedeutung. Am Beispiel der Wärmeleitungsgleichung wird nun gezeigt, wie man mit der Fourier-Transformation eine partielle Differentialgleichung löst. Das Anfangswertproblem der Wärmegleichung lautet

$\left\{{\begin{array}{rcll}{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)&=&\Delta _{x}u(x,t)&{\text{in }}\mathbb {R} ^{n}\times ]0,\infty [\\u(x,t)&=&g(x,t)&{\text{auf }}\mathbb {R} ^{n}\times \{t=0\}\,.\end{array}}\right.$

Hierbei bezeichnet $\Delta _{x}$ den Laplace-Operator, der nur auf die $x$-Variablen wirkt. Anwenden der Fourier-Transformation auf beide Gleichungen bezüglich der $x$-Variablen und Anwenden der Differentiationsregel ergibt

$\left\{{\begin{array}{rcll}{\mathcal {F}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\right)(\xi ,t)&=&-|\xi |^{2}{\mathcal {F}}(u)(\xi ,t)&{\text{in }}\mathbb {R} ^{n}\times ]0,\infty [\\{\mathcal {F}}(u)(\xi ,t)&=&{\mathcal {F}}(g)(\xi ,t)&{\text{auf }}\mathbb {R} ^{n}\times \{t=0\}\,.\end{array}}\right.$

Hierbei handelt es sich nun um eine gewöhnliche Differentialgleichung, die die Lösung

${\mathcal {F}}(u)(\xi ,t)=e^{-t|\xi |^{2}}{\mathcal {F}}(g)(\xi ,t)$

hat. Daraus folgt $\textstyle u(x,t)={\mathcal {F}}^{-1}\left(\exp(-t|\xi |^{2}){\mathcal {F}}(g)\right)(x,t)$ und aufgrund des Faltungstheorems gilt

$u(x,t)={\frac {g(x,t)*F(x,t)}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}$

mit ${\mathcal {F}}(F)(\xi ,t)=\exp(-t|\xi |^{2}).$ Daraus folgt

$F(x,t)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{\mathrm {i} x\cdot y-t|y|^{2}}\mathrm {d} y={\frac {1}{(2t)^{\frac {n}{2}}}}e^{\frac {-|x|^{2}}{4t}}\,.$

Das ist die Fundamentallösung der Wärmegleichung. Die Lösung des hier betrachteten Anfangswertproblems hat daher die Darstellung

$u(x,t)={\frac {g(x,t)*F(x,t)}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {|x-\xi |^{2}}{4t}}}g(\xi )\mathrm {d} \xi \,.$

Tabelle wichtiger Fourier-Transformations-Paare

In diesem Kapitel folgt eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare.

Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
$g(t)$	$G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t$	$G(f)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-\mathrm {i} 2\pi ft}\mathrm {d} t$
$g(t-a)$	$e^{-\mathrm {i} a\omega }G(\omega )$	$e^{-\mathrm {i} 2\pi af}G(f)$	Zeitverschiebung
$e^{\mathrm {i} at}g(t)$	$G(\omega -a)$	$G\left(f-{\frac {a}{2\pi }}\right)$	Frequenzverschiebung
$g(at)$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {f}{a}}\right)$	Frequenzskalierung
$g^{(n)}(t)$	$(\mathrm {i} \omega )^{n}G(\omega )$	$(\mathrm {i} 2\pi f)^{n}G(f)$	Hier ist $n$ eine natürliche Zahl und g eine Schwartz-Funktion. $g^{(n)}$ bezeichnet die $n$-te Ableitung von g.

Quadratisch integrierbare Funktionen

Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
$g(t)$	$G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t$	$G(f)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-\mathrm {i} 2\pi ft}\mathrm {d} t$
$\exp \left(-{\frac {at^{2}}{2}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {a}}}\cdot \exp \left(-{\frac {\omega ^{2}}{2a}}\right)$	${\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}\exp \left(-{\frac {2\pi }{a}}\cdot \pi f^{2}\right)$	Die Gaußsche Funktion $\exp(-t^{2}/2)$ ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss $\mathrm {Re} (a)>0$ sein.
$\operatorname {rect} (at)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {f}{a}}\right)$	Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion ($\operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$).
$\operatorname {si} (at)\equiv {\frac {\sin(at)}{at}}$	${\frac {1}{|a|}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2a}}\right)$	${\frac {\pi }{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\pi }{a}}f\right)$	Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die si-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters.
$\exp \left(-a|t|\right)$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {a}{\omega ^{2}+a^{2}}}$	${\frac {2a}{(2\pi f)^{2}+a^{2}}}$	$a>0.$ Die FT der um den Ursprung exponentiell abfallenden Funktion ist eine Lorentzkurve.
${\frac {1}{t^{2}+a^{2}}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{a}}\exp \left(-a|\omega |\right)$	${\frac {\pi }{a}}\exp \left(-2\pi a|f|\right)$

Distributionen

Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
$g(t)$	$G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t$	$G(f)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-\mathrm {i} 2\pi ft}\mathrm {d} t$
$e^{\mathrm {i} at}$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)$	$\delta \left(f-{\frac {a}{2\pi }}\right)$
$\cos(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	${\frac {\delta (f-{\frac {a}{2\pi }})+\delta (f+{\frac {a}{2\pi }})}{2}}$
$\sin(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2\mathrm {i} }}$	${\frac {\delta (f-{\frac {a}{2\pi }})-\delta (f+{\frac {a}{2\pi }})}{2\mathrm {i} }}$
$t^{n}$	$\mathrm {i} ^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	$\left({\frac {\mathrm {i} }{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(f)$	Hier ist $n$ eine natürliche Zahl und $\delta ^{(n)}$ die $n$-te Ableitung der Delta-Distribution.
${\frac {1}{t^{n}}}$	$-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-\mathrm {i} \omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-\mathrm {i} \pi {\frac {(-\mathrm {i} 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(f)$
$\operatorname {sgn}(t)$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {i} \ \omega }}$	${\frac {1}{\mathrm {i} \pi f}}$
$\Theta (t)$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{\mathrm {i} \pi \omega }}+\delta (\omega )\right)$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {i} \pi f}}+\delta (f)\right)$	$\Theta (t)$ ist der Einheitssprung (Heaviside-Funktion).
$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)$	${\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)$	${\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)$	Das Signal heißt Dirac-Kamm.

Siehe auch

• Diskrete Fourier-Transformation
• Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale
• Schnelle Fourier-Transformation
• Inverse schnelle Fourier-Transformation

Literatur

• Rolf Brigola: Fourier-Analysis und Distributionen. edition swk, Hamburg 2013, ISBN 978-3-8495-2892-8. 
• S. Bochner, K. Chandrasekharan: Fourier Transforms. Princeton University Press, Princeton NJ 1949 (Annals of mathematics studies 19, ISSN 0066-2313).
• Otto Föllinger: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. Bearbeitet von Mathias Kluwe. 8. überarbeitete Auflage. Hüthig, Heidelberg 2003, ISBN 3-7785-2911-0 (Studium).
• Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Second Edition. Springer-Verlag, ISBN 3-540-52345-6.
• Burkhard Lenze: Einführung in die Fourier-Analysis. 3. durchgesehene Auflage. Logos Verlag, Berlin 2010, ISBN 3-931216-46-2.
• M. J. Lighthill: Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4 (Cambridge Monographs on Mechanics and Applied Mathematics).
• P. I. Lizorkin: Fourier Transform. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Athanasios Papoulis: The Fourier Integral and Its Applications. Reissued. McGraw-Hill, New York NY u. a. 1987, ISBN 0-07-048447-3 (McGraw-Hill Classic Textbook Reissue Series).
• Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung. 11. Auflage. Springer Verlag. Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-2311-3.
• Herbert Sager: Fourier-Transformation. 1. Auflage. vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich, Zürich 2012, ISBN 978-3-7281-3393-9.
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Princeton Lectures in Analysis. Band 1: Fourier Analysis. An Introduction. Princeton University Press, Princeton NJ 2003, ISBN 0-691-11384-X.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 6. Auflage, ISBN 978-3-540-72533-6.
• Jörg Lange, Tatjana Lange: Fourier-Transformation zur Signal- und Systembeschreibung. Kompakt, visuell, intuitiv verständlich. Springer Vieweg, 2019, ISBN 978-3-658-24849-9.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Fourier Transform. In: MathWorld (englisch).