Diskussion:Heegner-Punkt

Review Juni – September 2020

In der arithmetischen Geometrie bezeichnen Heegner-Punkte gewisse komplexe Zahlen, die eine Schnittstelle zwischen elliptischen Kurven, quadratischen Zahlkörpern und Modulformen bilden. Benannt sind sie nach dem deutschen Mathematiker Kurt Heegner, der sie verwendete, um das Gaußsche Klassenzahlproblem für imaginär-quadratische Zahlkörper zu lösen.

Hallo, ist harter Stoff, bin umso froher über Anmerkungen und Korrekturvorschläge. Danke! :) -- Googolplexian (Diskussion) 19:20, 14. Jun. 2020 (CEST)

Die Einordnng von Heegners Beweis als "laienhaft" stört mich, davon ist bei Deuring und dem folgenden Aufsatz von Siegel nicht die Rede, nur von schwer verständlich und Lücke im Beweis, die möglicherweise auf seine Verwendung von Weber zurückgeht. Zumindest auf Mathematiker wie Siegel und Deuring gilt übrigens die pauschale Behauptung, die meisten Mathematiker hätten die Theorie der Modulfunktionen damals vergessen (zitiert wird Birch) nicht. Und den Peer Review hatte Heegner auch überstanden.--Claude J (Diskussion) 10:31, 1. Jul. 2020 (CEST)

Danke Claude J, ich werde es bei meinen Überarbeitungen berücksichtigen. Es ist in der Tat so, dass das Thema Modulformen über viele Jahre hinweg kaum Beachtung fand (diese Aussage findet sich auch bei Serge Lang in seiner Introduction to modular forms), aber Ausnahmen gab es natürlich trotzdem. Liebe Grüße.--Googolplexian (Diskussion) 19:15, 13. Jul. 2020 (CEST)

@Googolplexian1221: Den Artikel finde ich sehr interessant. Jetzt gibt es da auch einige Bilder. Wenn ich den Artikel Heegner-Punkt vor mir aber, würde es sehr hilfreich sein, wenn ich in den Abbildungen diesen auch erkennen würde. Kann man in den Abbildungen oder zumindest in der Bilderunterschrift beschreibend anbringen, wo dort jetzt der Heegner-Punkt tatsächlich zu finden ist? Liebe Grüße, – Doc Taxon • Disk. • 16:13, 5. Aug. 2020 (CEST)

Danke! Ja, da hast du recht, es sollte noch ein Bild herein, auf denen Heegner-Punkte „zu sehen“ sind. Diese liegen allerdings dicht auf der oberen Halbebene (bzw. den Modulkurven), aber es würde ja genügen, ein paar wenige Beispielpunkte aufzutragen. Ich hatte die letzten Wochen viel zu tun, wird Zeit, dass ich mal die ganzen Vorschläge umsetze ;) Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:21, 5. Aug. 2020 (CEST)

nee, @Googolplexian1221, auch im Review hetzt Dich keiner. Wenn Du Zeit hast, wird's schon was werden, wenn nicht, dann eben später. Liebe Grüße, – Doc Taxon • Disk. • 14:33, 6. Aug. 2020 (CEST)

Ende Übertrag --AnnaS. (DISK) 07:40, 15. Okt. 2020 (CEST)

Vorschlag für ersten Satz

Mir ist der erste Satz zu voll. Hier mein Vorschlag:

Heegner-Punkte bezeichnen in der arithmetischen Geometrie Punkte auf Modulkurven. Modulkurven sind geometrische Figuren, die eine Schnittstelle zwischen elliptischen Kurven, imaginär-quadratischen Zahlkörpern und Modulformen bilden.

• Lemma nach vorne
• Füllwort "gewisse" eliminiert
• Dass die Geometrie ein Teilgebiet der Mathematik ist wird in Geometrie erklärt. Hier ist das nicht notwendig
• Satz aufgeteilt. Ich hoffe die gewissen Figuren beziehen sich auf doe Modulkurven, wenn nicht muss der 2te Satz geändert werden.

Hfst (Diskussion) 17:51, 17. Okt. 2020 (CEST)

Hallo Hfst, ich danke dir! Ich werde meine Intro-Strategie ohnehin ändern, da hier, sicher zurecht, mehr auf die Teaser-Verständlichkeit gepocht wird. Vermutlich ist es freundlicher, wenn man mit quadratischen Gleichungen anfängt, das kennen viele ja auch noch aus der Schule. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:04, 17. Okt. 2020 (CEST)

Einleitung: Kritik und Vorschlag

Augenblicklich steht hier:

In der arithmetischen Geometrie bezeichnen Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) gewisse Zahlen, die von Mathematikern benutzt werden, um mathematisch sehr anspruchsvolle Gleichungen zu lösen. Diese Gleichungen kodieren Informationen, die bei der Erforschung von Zahlen (beispielsweise der ganzen Zahlen), aber auch in der Geometrie von Wichtigkeit sind.

Der Absatz hat verschiedene Schwierigkeiten. Am ersten Satz möchte ich es verdeutlichen:

• Wenn eingeschränkt wird, dass in der arithmetischen Geometrie Heegener Punkte etwas bezeichnen, fragt man sich gleich, was sie außerhalb dieser Geometrie bezeichnen.
• gewisse ist ein unangenehmes Charakteristikum. Der Autor weiß etwas, lässt den Leser aber im dunkeln und weißt nur auf diese Situation hin. Man fragt sich: "Warum?" - lässt es sich nicht oder kann er es nicht in Worte fassen? Wird es in dem Artikel dann so weiter gehen?
• von Mathematikern benutzt. Kann der Leser (wenn er nicht Mathematiker ist) dann überhaupt etwas damit anfangen?
• mathematisch sehr anspruchsvolle Gleichungen also für die Creme de la Creme - im Unterschied zu dem wahrscheinlich gerade Lesenden?

usf. Er ist das Gegenteil eines Teasers: Ich würde dann spätestens nach dem zweiten Satz aufhören zu lesen, da ich immer noch keine klaren Infos zu den Punkten bekomme.

Deine vorherige Version war eigentlich sehr gut - sie erklärt in einfachen Worten, was sie sind und in den nächsten Absätzen, wozu sie nützlich sind:

Heegner-Punkte sind komplexe Zahlen mit positivem Imaginärteil, die quadratische Gleichungen mit ganzen Koeffizienten lösen. Diese Zahlen lassen sich auf der komplexen Zahlenebene als Punkte darstellen, deren jeweilige Lage durch den Real- ($x$-Achse) und Imaginärteil ($y$-Achse) der zugehörigen Zahl bestimmt wird, und liegen somit aufgrund des positiven Imaginärteils in der oberen Halbebene. Beispielsweise ist die Zahl $\tau =i{\sqrt {2}}$ ein Heegner-Punkt, da sie die Gleichung $x^{2}+2=0$ erfüllt. Heegner-Punkte spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie.

Wäre die ersten zwei Sätze im Singular, wäre man noch das jeweilig und dazugehörig los. Besser vielleicht noch: Teile des zweiten Satzes lassen sich auch noch gut in die Bildunterschrift auslagern. Es bliebe:

Heegner-Punkte sind komplexe Zahlen mit positivem Imaginärteil, die quadratische Gleichungen mit ganzen Koeffizienten lösen. Diese Zahlen lassen sich auf der komplexen Zahlenebene namensgebend als Punkte darstellen. Beispielsweise ist die Zahl $\tau =i{\sqrt {2}}$ ein Heegner-Punkt, da sie die Gleichung $x^{2}+2=0$ erfüllt. Heegner-Punkte sind ein nützliches Werkzeug in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie.

Da denke ich mir: das habe ich ja leicht verstanden, vielleicht kann auch ich etwas damit anfangen?

Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 07:19, 22. Okt. 2020 (CEST)

Wobei ich mich frage, warum gerade x^2+2=0 als Beispiel gebracht wird? Es ist recht speziell (kein Realteil) und das Thema Level lässt sich dort auch nicht darstellen. Falls es dazu keinen triftigen Grund für genau dieses Beispiel gibt sollte man es weglassen. Wenn ich außerdem zum Singular gehe wird daraus:

Heegner-Punkte sind komplexe Zahlen mit positivem Imaginärteil, die quadratische Gleichungen mit ganzen Koeffizienten lösen. Diese Zahlen lassen sich auf der komplexen Zahlenebene namensgebend als Punkte darstellen. Heegner-Punkte spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie.

--Hfst (Diskussion) 08:14, 22. Okt. 2020 (CEST)

An dem fehlenden Realanteil hatte ich mich auch gestört. Nur bekommt andernfalls ja die quadratische Gleichung noch einen weiteren Term, während ich bei dem Beispiel das Zutreffen der Lösung sofort erkennen kann. Hatte auf mich einen schönen suggestiven Effekt: ich versteh es!

Allerdings frage ich mich gerade, warum der Wert tau gleichgesetzt wird, wenn die Gleichung sich auf x bezieht. Vielleicht kann man das tau = noch streichen. Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 12:24, 22. Okt. 2020 (CEST)

Da treffen sich vielleicht 2 Welten. Die Welt der (quadratischen) Gleichungen die typischerweise mit x formuliert sind und dann die Anwendungen der Heegner-Punkte, die tau bevorzugen. Tja ... Anderseits "x=tau löst die Gleichung" schaut zwar doof aus, ist aber nicht falsch.--Hfst (Diskussion) 13:17, 22. Okt. 2020 (CEST)

Guten Abend, zum Teaser: ich hatte den Teaser nochmals in die aktuelle Form geändert, da in der Diskussion nach noch mehr Allgemeinverständlichkeit gefragt wurde, die natürlich nur ohne jegliche mathematische Konkretisierung geschweige denn Definition oder Strenge gegeben werden kann. Ich fand die vorherige Version aber eigentlich auch besser, auch für den interessierten „Laien“, weil ich es eigentlich möglichst konkret mag. Das Level von $i{\sqrt {2}}$ ließe sich schnell als 1 berechnen, aber im Teaser wird ja noch gar nicht davon gesprochen. Der Punkt mit der Gleichung ist aber ganz gut, das tau kann da auch weg, da es eigentlich keinen tieferen Sinn hat. Und es muss nicht zwingend der Realteil ungleich 0 sein, ich denke sogar, dass dieses „auf einen Blick sehe ich, dass die Gleichung gelöst wird“ helfen kann in Kombination damit, dass $i^{2}=-1$ wieder ins Gedächtnis gerufen wird. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 22:30, 22. Okt. 2020 (CEST)

Dein Gespür ist hier sicher richtig. Ganz wichtig ist die richtige Einordnung "Teaser" und Allgemeinverständlichkeit. WP:INTRO liefert die Richtschnur: Der erste Satz ordnet den Gegenstand des Artikels möglichst präzise in seinen sachlichen Kontext ein. Und auch Teaser nur insofern, als dass er durch einen guten Schreibstil Lust auf die Details macht.

Ich würde noch die arithmetrischen Geometrie etwas nach hinten verschieben: Den Begriff kennt man zum einen nicht mit einer Schulbildung, und es ist letztlich "nur" ein Gebiet, in der die Heegner-Punkte relevant sind, definiert sind sie ja allgemeiner, durch die quadratischen Gleichungen. --Fabian RRRR (Diskussion) 16:30, 24. Okt. 2020 (CEST)

Level $i{\sqrt {2}}$ ist 1 ist trivial. Wie wäre es mit $5x^{2}+1=0$. Hier wäre ${\frac {{\sqrt {(}}5)}{5}}$ eine Heegner-Punkt (einfach zu erkennen) mit den Leveln 1 und 5.--Hfst (Diskussion) 22:44, 24. Okt. 2020 (CEST)

Noch besser wäre $11x^{2}+4=0$ weil Du das weiter unten im Abschnitt Heegner-Punkt#Invarianzeigenschaften verwendest.--Hfst (Diskussion) 22:52, 24. Okt. 2020 (CEST)

Warum werden die Zahlen als Punkte bezeichnet?

In der Bewertung des Artikels wurde die Frage schon aufgeworfen - und zwischenzeitlich durch deren Positionierbarkeit auf der komplexen Ebene ja auch irgendwie beantwortet. Vermutlich hat Heegner selbst sie so bezeichnet, weshalb denkbar wäre, dass er mehr im Sinn hatte. Oder gibt es vielleicht an andrrer Stelle eine weitergehende Erkläeung?

ohnetiefer eingestiegen zu sein, sehe ich nur, dass es (abzählbar) unendlich viele Punkte gibt, sie "überall" auf der Halbebene liegen.

Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 02:19, 26. Okt. 2020 (CET)

Hallo, eigentlich liegen Heegner-Punkte auf Kurven, daher der Name. Aber das geht im Intro ja (zurecht) ziemlich unter. Er stammt nicht von Heegner selbst (so eitel sind Mathematiker nicht ;-)), ich werde das mal noch recherchieren. -- Googolplexian (Diskussion) 08:39, 26. Okt. 2020 (CET)

Ok - das hatte ich nicht gesehen. Ich hatte da fälschlich vermutet, dass sie über die ganze Halbebene verstreut sind, und nur deshalb Punkte genannt werden, weil sie dort irgendwie unzusammenhängend verteilt sind.

Die Frage hatte ich aber schlecht formuliert - Hat Heegner sie denn überhaupt als Punkte bezeichnet, und wenn ja, warum?

Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 14:53, 26. Okt. 2020 (CET)

Deine Anschauung ist schon richtig, alles gut! Wenn du auf der oberen Halbebene alle möglichen Heegner-Punkte zu allen Leveln gleichzeitig betrachtest, dann liegen sie wirklich beliebig dicht aneinander, und die Halbebene ist übersät mit ihnen (wie bei den rationalen Zahlen, die die reellen Zahlen übersäen). Aber sobald du dich auf eine Diskriminante und ein Level festlegst, sind es ganz diskrete Punkte, dennoch gibt es auf der oberen Halbebene noch unendlich viele von ihnen (also wie bei den ganzen Zahlen, die zwar diskret sind, aber unendlich). Erst mit der Abbildung $\tau \mapsto (j(\tau ),j(N\tau ))$ entsteht ein Punkt $(x,y)$ auf einer Modulkurve. Der wird dann auch Heegner-Punkt genannt. Das ist in der Mathe oft so, dass Objekte, die miteinander identifiziert werden, gleich genannt werden, obgleich sie streng genommen nicht das selbe sind. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 15:24, 26. Okt. 2020 (CET)

Das habe ich verstanden

Ich habe eine Gleichung

A x^2 + B x + C = 0

mit ganzen A, B, C und

B^2 - 4 A C < 0 (Diskriminante kleiner 0)

Davon ist

tau = (-B + i (4 A C - B^2)^0,5) / (2 A)

eine Lösung und heißt Heegner-Punkt. Wenn nun N ein Teiler von A ist, dann ist auch

A/N x^2 + B x + C N = 0

eine Gleichung mit ganzen Koeffizienten. Die hat auch eine Lösung

tauN = (-B + i (4 A C - B^2)) / (2 A/N)^0,5 = N * tau

Falls es wichtig ist, dass der Koeffizient von x^2 und das konstante Glied Teilerfremd sind, werden nur die N berücksichtigt, die einfache Teiler von A sind. Ach ja, und das N nennt man dann Level.

Habe ich es richtig verstanden?

--Hfst (Diskussion) 11:34, 18. Okt. 2020 (CEST)

Hallo Hfst, jo, sieht gut aus! Nur, dass du bei den nach tau gelösten Termen die Quadratwurzel nicht hingeschrieben hast, aber das ist denke ich mal nur ein Tippfehler gewesen. Tatsächlich ist der Bezug von tau zu N*tau ein ganz wesentlicher Punkt des Levels von tau. Unter anderem sind die Diskriminanten von tau und N*tau gleich, wie man an deiner zweiten Gleichung A/N x^2 + B x + C N = 0 ablesen kann. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:45, 18. Okt. 2020 (CEST)

Den Fehler mit der Wurzel habe ich korrigiert. Wenn das so passt, dann sind die Heegner-Punkte als Lösung einer quadratischen Gleichung was ziemlich triviales was man leicht erklären kann. Man kann dann weiter ausführen, dann es sozusagen "Familien" von Heegner-Punkten gibt, die als Heegner-Punkte mit unterschiedlichem Level bezeichnet werden und die auf einer Geraden in der komplexen Ebene liegen. Das ist auch noch einfach und verständlich. Kompliziert wird es vermutlich wenn man darüber berichtet, was man mit den Punkten anfangen kann, oder?

Ziel meiner Bemerkungen ist, Dir Einblicke in das Hirn einer OMA zu geben mit der Hoffnung, dass es der Darstellung hilft.

--Hfst (Diskussion) 15:01, 18. Okt. 2020 (CEST)

Danke Hfst, das hilft sehr! Ja, im Prinzip ist es nicht schwer, aber wie du schon bemerkt hast bleibt es nicht ganz bei den quadratischen Gleichungen. Es kommen mit dem Level, der Diskriminante und dem Führer noch ein paar Größen dazu. Unterschiedliche Heegner-Punkte (also auch anderes Level) müssen jedoch nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, vielleicht habe ich mich irgendwo falsch ausgedrückt. Und ja, bei den Anwendungen wird (wenn man es 100% mathematisch machen will) viel Wissen aus der Zahlen- und Funktionentheorie benötigt leider. Aber ich werde noch ein paar Dinge in den Anfangsteil ersetzen, um diese Dinge ggf. etwas verständlicher zu machen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 14:59, 20. Okt. 2020 (CEST)

Donuts

Hallo Fabian RRRR, ich verlege die weitere Diskussion mal hierher. Und nochmals Danke für deine ganzen guten Bemerkungen, find ich super! Eines Vorweg: Deine Frage ist nicht trivial und ich weiß nicht, ob ich sie jetzt auf die schnelle gut beantworten kann. Da es so schwierig ist, sich eine Punktmenge im $\mathbb {C} \times \mathbb {C}$ wirklich vorzustellen, hilft man sich bei den bildlichen Anschauungen immer mit der Periodenmasche ab. Von dort aus ist es zum Donut dann nicht mehr weit (siehe Animation, das hast du ja auch alles schon kapiert). Das Problem ist, dass du nicht beides gleichzeitig haben kannst (hübsche Zahlkoordinaten mit Punkten, die eine Gleichung lösen und einen perfekten Donut): Wenn du dir die Koordinaten $(x,y)$ mit $y^{2}=x^{3}+ax+b$ anschaust in $\mathbb {C} \times \mathbb {C}$ hast du nicht nur das Dimensionsproblem, sondern auch die „Verzerrung“, da es einen „unendlich fernen“ Punkt gibt am Ende des offenen Schlauchs bei o (. Hier ist die Abbildung, die daraus einen schönen Donut macht, wirklich nicht einfach. Aber du kannst es dir so überlegen: Tatsächlich findest du in der Lösungsmenge in $\mathbb {C} \times \mathbb {C}$ Äquatorlinien (eine Donutoberfläche ist ja, wie eine Kugeloberfläche, ein Zusammenschluss von ganz vielen Kreislinien, nur dass sich diese beim Donut nie bei einem „Nordpol“ zu einem Punkt zusammenziehen wie bei der Kugel). Sowohl o als auch ( mit dem Punkt „im Unendlichen“ bilden je eine dieser Äquatorlinien. Bei der Abbildung in die Periodenmasche wird jetzt jede dieser Linien auf eine gerade Linie des Trapezes von der einen bis zur anderen Seite abgebildet. Aus o wird dann gedanklich - aber es ist ja - mit Periode! Wie man jetzt die Periodenmasche zu einem schönen Donut in 3 Dimensionen macht, wird (nach Anpassungen an die Masche) zum Beispiel durch Abbildungen wie $u+vi\mapsto ((2+\cos(2\pi v))\sin(2\pi u),(2+\cos(2\pi v))\cos(2\pi u),\sin(2\pi v))$ verwirklicht (bei der Kugel nennt man das auch Stereographische Projektion, allerdings umgekehrt gedacht, also von der Oberfläche in die Ebene (= hier der Parametervorrat)). Die Abbildung, du du meintest, also vom Lösungsgebilde $(x,y)$ direkt in den 3D-Torus, ist jetzt die Verkettung dieser beiden Abbildungen, das ist daher gedanklich ein bisschen schwieriger auf einen Schlag zu machen, besser ist Schritt für Schritt. Zu: Wenn ich mich mit der Vorbemerkung auf die Bildunterschrift Bildet man von diesem [Torus] einen Querschnitt, sieht man zwei runde Gebilde, also die elliptische Kurve über den reellen Zahlen stütze, würde ein Schnitt senkrecht zur Äquatorialebene sich so legen lassen, dass der Imaginärteil von x null wäre und das Schnittbild so aussieht: o o . Folglich wäre von y bei Deiner 3D-Torusdarstellung der Realteil von y als dritte Komponente dargestellt. Richtig? Ich weiß nicht, ob ich ganz verstanden habe, was du meinst. Du meinst sowas wie $(x,y)\mapsto (\mathrm {Re} (x),\mathrm {Im} (x),\mathrm {Re} (y))$ als „Einbettung“ in 3D, da du zuvor bezüglich x von komplexer Ebene gesprochen hast? Zunächst: Bei o ( ist es so, dass sowohl x als auch y vom Imaginärteil 0 sind. Es gibt also zwei Äquatorlinien, auf denen in beiden Komponenten nur reelle Zahlen auftauchen. Und die reelle Graphik zeigt genau diese beiden Schnitte.

Ja - Aber die Erklärung steht doch unter der anderen Grafik, dem 3D-Donut. Und da wird dann noch behauptet, wenn man den Donut scheidet - und da kommen entweder o o oder zwei konzentrische Kreise raus - sich die Kurve über die rellen Zahlen ergibt.

Okay, das führt vielleicht wirklich zu Verwirrung. Wenn man den 3D-Donut schneidet, kommen zwei o o raus, die rein topologisch zu dem Lösungsgebilde der elliptischen Kurve über $\mathbb {R}$ verformt werden können. Aber der 3D-Torus hat darüber hinaus erstmal nichts mit expliziten Lösungen zu tun, daher das Problem mit den Koordinaten. -- Googolplexian (Diskussion) 22:42, 22. Okt. 2020 (CEST)

Aber nicht vergessen: wenn man das Bild o ( erweitert, landet man zunächst im 4-dimensionalen, nicht in 3D! Wichtig ist auch, dass natürlich nicht mehr $\mathrm {Re} (y)^{2}=\mathrm {Im} (x)^{3}+a\mathrm {Im} (x)+b$ gelten muss, weshalb hier die algebraische Information vergessen wird. Ich habe Plots von sowohl $(u,v,\mathrm {Re} \left({\sqrt {(u+vi)^{3}+a(u+iv)+b}}\right))$ und auch $(\mathrm {Re} (\wp (z)),\mathrm {Im} (\wp (z)),\mathrm {Re} (\wp '(z)))$ angefertigt, aber auf beiden ist nicht viel Aufschlussreiches zu erkennen, weshalb ich davon ausgehe, dass die Reduzierung von $y$ auf seinen Realteil für die dritte Komponente ($x$ ist in komplexer Ebene repräsentiert) nicht das Bild liefert, was du dir vorstellst. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:59, 21. Okt. 2020 (CEST)

Ist denn dann noch die Bildunterschrift: Über den komplexen Zahlen kann die Punktmenge einer elliptischen Kurve als Torus (Donut) dargestellt werden. zutreffend? (nicht signierter Beitrag von Fabian RRRR (Diskussion | Beiträge) 13:58, 22. Okt. 2020 (CEST))

Ja, die Lösungen bilden eine Figur, und diese stellt rein topologisch ein Objekt dar, das als Fläche einem Donut gleicht. Was hier möglicherweise verwirrt ist, dass der verzerrte Donut mit den exakten Lösungen zwischendurch nochmal zurechtgebogen und in 3D eingebettet wurde. Hier geht es also nur um die Topologie, um sich die Kurven besser veranschaulichen zu können. Ich schaue mal, wie ich die Beschriftungen verbessern kann. :-) -- Googolplexian (Diskussion) 22:42, 22. Okt. 2020 (CEST)

Koeffizienten der quadratischen Gleichung müssen nicht ganzzahlig sein?

In Heegner-Punkt#Definition heißt es:

• Der Wert $\tau$ ist ein CM-Punkt (CM = complex multiplication), d. h., er ist Lösung einer quadratischen Gleichung der Form $A\tau ^{2}+B\tau +C=0$ mit $B^{2}-4AC<0$

Hier fehlt mir die Aussage, dass A,B,C ganzzahlig sein sollen. Oder müssen sie das gar nicht?--Hfst (Diskussion) 17:05, 27. Okt. 2020 (CET)

Doch, das ist ein wichtiger Punkt, danke für den Hinweis Hfst! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 19:32, 27. Okt. 2020 (CET)

Einordnung anhand einfacher Grundlagen

Über Kurven und rationale Punkte

→ Hauptartikel: Algebraische Kurve

Schaubild des Kreises $y^{2}=1-x^{2}$

Eine Kurve ist im Prinzip eine große Familie von Punkten, die alle eine gemeinsame algebraische Relation erfüllen. Das bedeutet, dass es eine Gleichung zu Null gibt, in der ausschließlich addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert wird, die von allen Punkten gleichzeitig erfüllt wird. Ein Beispiel wäre die Gleichung $x^{2}-1=0$ ($x$ wird lediglich mit sich selbst multipliziert und anschließend wird 1 vom Ergebnis subtrahiert), die genau von $x=\pm 1$ gelöst wird. Somit bildet die Familie $\{-1,1\}$ die „Vorstufe“ einer Kurve, obgleich zwei Punkte noch nicht eine „kurvige“ Anschauung hervorrufen.

Ein erstes nicht-triviales und häufig genanntes Beispiel einer Kurve ist der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt $(0,0)$ in der Zahlenebene, der genau durch die Punkte $(x,y)$ gegeben ist, welche die Relation $x^{2}+y^{2}=1$ erfüllen. Es können also auch Punkte mit mehr als einer Koordinate Kurven bilden, und tatsächlich wird es auch erst hier „reichhaltiger“. Dass die reellen Lösungen der Gleichung $x^{2}+y^{2}=1$ einen Kreis bilden, kann mit dem Satz des Pythagoras bewiesen werden. Von Interesse ist, dass eine eigentlich geometrische Figur wie der Kreis von einer algebraischen Relation herrührt. Auch anderen Gebilden wie Geraden, Ebenen, Hyperbeln etc. liegen algebraische Gleichungen zugrunde.

Während der Kreis erst durch Betrachtung aller reellen Zahlen „lückenlos“ entstehen kann, so liegt etwa $\textstyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$ auf dem Kreis, da

$\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}=1,$

ist es für die Zahlentheorie von Interesse, Punkte auf Kurven zu finden, die ganz besonders „einfach“ sind. Damit sind zum Beispiel rationale Punkte gemeint, die neben der ohnehin schon restriktiven Kurvenlage die Eigenschaft haben sollen, durch Quotienten ganzer Zahlen beschrieben werden zu können. So ist es eine klassische Frage der Zahlentheorie, welche rationalen Punkte auf dem Kreis $x^{2}+y^{2}=1$ liegen. Zum Beispiel ist $\textstyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$ kein rationaler Punkt, da man weiß, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Beispiele für rationale Punkte sind $\textstyle \left({\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}}\right)$, da

$\left({\tfrac {3}{5}}\right)^{2}+\left({\tfrac {4}{5}}\right)^{2}={\tfrac {9}{25}}+{\tfrac {16}{25}}={\tfrac {9+16}{25}}={\tfrac {25}{25}}=1,$

aber auch $\textstyle \left({\frac {5}{13}},{\frac {12}{13}}\right)$ sowie $\textstyle \left({\frac {20}{101}},{\frac {99}{101}}\right)$. Diese Punkte leiten sich aus den pythagoreischen Tripeln ab, also nicht-trivialen ganzen Zahlen $(a,b,c)$ mit $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Es kann über elementare Methoden gezeigt werden, dass es unendlich viele primitive pythagoreische Tripel gibt, also solche, die nicht ganze Vielfache anderer Tripel sind, weshalb der Kreis tatsächlich „übersät“ mit rationalen Punkten ist. Allgemein gelten quadratische Kurven hinsichtlich rationaler Punkte als weitgehend verstanden.

Bereits durch dieses Beispiel wird eine Synthese aus Geometrie (Figuren, hier ein Kreis), Algebra (Gleichungen, die nur Grundrechenarten verwenden) und Zahlentheorie (rationale Zahlen) erkennbar.

===Elliptische Kurve und Heegner-Punkte

→ Hauptartikel: Elliptische Kurve

Reelles Schaubild der elliptischen Kurve $y^{2}=x^{3}-3x+1$. Zu sehen sind der Querschnitt eines geschlossenen Schlauchs und ein scheinbar offener Schlauch. Fügt man jedoch die beiden in die unendliche Ferne zeigenden Stücke gedanklich zusammen, ergibt sich aus topologischer Sicht nach Hinzufügen eines unendlich fern liegenden zusammenschließenden Punktes (der formal als Lösung hinzugezählt wird) ein zweiter kreisartiger Abschnitt. Beide „Kreise“ sind Querschnitt einer ganzen Fläche von Lösungen, die bei Betrachtung beliebiger komplexer Zahlen hinzukommen würden. Der Querschnitt wurde jedoch nicht im drei-, sondern im vierdimensionalen Raum gemacht (siehe unten).

Bei Weitem nicht so zugänglich sind sog. elliptische Kurven, die allgemein in der Form $y^{2}=x^{3}+ax+b$ mit rationalen Zahlen $a,b$ beschrieben werden können. Während der geometrischen Figur des Kreises eine quadratische Gleichung zugrunde lag, handelt es sich bei einer elliptischen Kurve um eine kubische Gleichung (also mit Termen hoch 3). Das Besondere an elliptischen Kurven ist, dass man aus zwei bereits bekannten (rationalen) Punkten $P_{1}$ und $P_{2}$ über eine Verknüpfung $P_{1}+P_{2}$ einen neuen rationalen Punkt $P_{3}$ berechnen kann, genauso wie man aus zwei ganzen Zahlen mit der Addition eine neue ganze Zahl erzeugen kann. Bei der Addition eines rationalen Punktes zu sich selbst können zwei Situationen eintreten: Entweder der betrachtete Punkt ist von endlicher Ordnung und schließt einen endlichen Zyklus, d. h., irgendwann tritt die Situation $P+P+P+\dotsb +P=P$ ein und es geht von vorne los, oder es entstehen bis ins Unendliche immer neue Punkte, was vergleichbar mit der Erzeugung aller natürlicher Zahlen durch $1+1+1+1+\dotsb$ ist. In diesem Fall sagt man, dass $P$ unendliche Ordnung hat.

Die Theorie der elliptischen Kurven ist äußerst umfangreich, zahlentheoretisch im Zusammenhang mit dem großen Satz von Fermat von Bedeutung und wird von Mathematikern wie Henri Cohen auf den Umfang vieler tausend Seiten (in moderner mathematischer Sprache) geschätzt. Trotz ihrer Strukturen sind manche ihrer Eigenschaften bis heute nicht geklärt. So kennt man bis heute keinen allgemeinen Algorithmus, der rationale Punkte liefert, mit deren Hilfe alle anderen rationalen Punkte auf der Kurve durch Verknüpfung gewonnen werden können (eine positive Antwort auf die starke Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde jedoch einen solchen Algorithmus liefern). Jedoch können Heegner-Punkte dabei helfen, nicht-triviale rationale Punkte (solche, die durch Verknüpfung mit sich selbst unendlich viele verschiedene neue rationale Punkte erzeugen können) zu erzeugen. Ein Beispiel für einen durch Heegner-Punkte konstruierten rationalen Punkt ist

$\left({\frac {95732359354501581258364453}{277487787329244632169121}},{\frac {834062764128948944072857085701103222940}{146172545791721526568155259438196081}}\right)$

auf der Kurve $y^{2}=x^{3}+157^{2}x$. Dieser rationale Punkt beweist nach einem Satz von Tunnell, dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, das ausschließlich rationale Seitenlängen und den Flächeninhalt $157$ hat.

Was elliptische Kurven über den rationalen Zahlen, neben ihrer Fähigkeit einer Punktaddition, so in den Fokus des Interesses rückt, ist die Tatsache, dass sie die einzigen Kurven sind, die endlich, aber auch unendlich viele rationale Punkte haben können (Kurven mit Geschlecht $g=1$). Nach der Vermutung von Mordell, bewiesen von Gerd Faltings, haben Kurven von Geschlecht $g=0$ mit einem rationalen Punkt bereits unendlich viele rationale Punkte, während Kurven von Geschlecht $g\geq 2$ stets nur endlich viele rationale Punkte haben können. Für seine Leistung wurde Faltings 1986 mit der Fields-Medaille geehrt.

Körper und Klassenzahlen

→ Hauptartikel: Körper (Algebra) und Klassenzahl

In der Mathematik ist man an Mengen interessiert, die bezüglich möglichst vieler Strukturen abgeschlossen sind. Eine Menge erhält dann zusätzliche Struktur, wenn ihre Elemente untereinander Dinge tun können. Betrachtet man zum Beispiel die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z} =\{\dotsc ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dotsc \}$, so fällt auf, dass diese unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist: Addiert oder multipliziert man zwei ganze Zahlen, wird das Ergebnis wieder eine ganze Zahl sein und man hat die ursprüngliche Menge nicht verlassen. Noch strukturierter ist es jedoch, wenn man auch dividieren darf. Dies wird in den ganzen Zahlen jedoch nicht immer möglich sein, da zum Beispiel ${\tfrac {1}{3}}$ keine ganze Zahl ist. Daher muss hier der Bereich erweitert werden, um auch eine Abgeschlossenheit unter Division zu erhalten. Im Falle von $\mathbb {Z}$ gelangt man damit zu den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$. Es muss noch gefordert werden, dass es eine „0“ und eine „1“ gibt (neutrale Elemente der Addition und Multiplikation), sodass man mit der Tatsache/Regel $\textstyle {\frac {a}{a}}=1$ für alle Zahlen $a\neq 0$ eine algebraische Struktur erhält, die auch Körper genannt wird.

Natürlich ist $\mathbb {Q}$ nicht der einzige Körper. So ist die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ebenfalls ein Körper, da auch hier die oben beschriebenen Regeln gelten. Jedoch gibt es weit mehr reelle als rationale Zahlen, weshalb viele Fragestellungen der Zahlentheorie, gerade bezogen auf Zerlegung von Zahlen in „elementarere Zahlen“, hier nicht mehr sinnvoll sind. In der Zahlentheorie interessiert man sich daher besonders für Körper, die dem der rationalen Zahlen viel mehr ähneln als die reellen Zahlen. Denkbar ist es, sich einzelne nicht-rationale Zahlen hinzuzunehmen, und daraus durch Bilden aller möglichen Summen, Produkte und Quotienten einen neuen Körper zu konstruieren. So ist zum Beispiel die Menge $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, bestehend aus allen Zahlen der Form $x+y{\sqrt {2}}$ mit rationalen Zahlen $x,y\in \mathbb {Q}$, wieder ein Körper. Man spricht bei einer solchen Erweiterung der rationalen Zahlen von einem Zahlkörper.

Die Klassenzahl und damit Heegner-Punkte kommen dort ins Spiel, wo es darum geht, die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ als Verwandten der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ zu sehen, da letztere gewissermaßen durch Quotientenbildung aus ihnen hervorgehen. Auch bei Zahlkörpern kann man solche zugehörigen „ganzen Zahlen“ finden, jedoch müssen diese nicht mehr nur $\mathbb {Z}$ sein, sondern können weitere Elemente enthalten. Ganze Zahlen im Körper $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ wären in etwa

$2,\quad 3,\quad 1+{\sqrt {2}},\quad 3-2{\sqrt {2}}$

im Gegensatz zu allgemeinen Körperelementen wie

${\tfrac {1}{2}},\quad {\tfrac {3}{7}},\quad {\tfrac {2}{11}}-{\tfrac {5}{8}}{\sqrt {2}},\quad -{\tfrac {11}{89}}{\sqrt {2}}.$

Auch bei Arten verallgemeinerter ganzer Zahlen kann untersucht werden, ob es eine (bis auf Elemente wie einfache Vorzeichen $\pm 1$ und natürlich Reihenfolge) eindeutige Zerlegung in „Primzahlen“ gibt. In $\mathbb {Z}$ ist dies bekanntermaßen der Fall, zum Beispiel ist $-50=-2\cdot 5\cdot 5$ mit den Primzahlen $2$ und $5$, und es gibt keine anderen Zerlegungsmöglichkeiten, außer Vorzeichen- und Reihenfolgenwechsel wie zum Beispiel $5\cdot (-2)\cdot 5$. Also ist $\mathbb {Z}$ gewissermaßen zahlentheoretisch „gutartig“ – es gibt nur eine Klasse von Zerlegungsmöglichkeiten. Im Falle beliebiger Zahlkörper kann es aber passieren, dass es in deren ganzen Zahlen keine eindeutige Zerlegbarkeit mehr in „Primzahlen“ (allgemeiner Primelemente genannt) gibt. Ein Beispiel für fehlende Eindeutigkeit ist

$10=2\cdot 5=(4+{\sqrt {6}})\cdot (4-{\sqrt {6}})$

mit den vier Primelementen $2,5,4\pm {\sqrt {6}}$ in den ganzen Zahlen von $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$. Für die letzte Umformung kann $10$ als Differenz $16-6=4^{2}-{\sqrt {6}}^{2}$ zweier Quadrate geschrieben werden, was sich dann zum Produkt aus Summe und Differenz der beiden Basen $4$ und ${\sqrt {6}}$ faktorisieren lässt. Es kann nun gemessen werden, wie stark die Situation vom „Idealfall“ einer eindeutigen Zerlegbarkeit abweicht. Dieser Fehler wird als Klassenzahl des Zahlkörpers bezeichnet und ist eine natürliche Zahl. Zum Beispiel hat der Körper der rationalen Zahlen die Klassenzahl 1.

Die Bestimmung der Klassenzahl eines Zahlkörpers ist im Allgemeinen ein sehr schwieriges Unterfangen und es gibt bis heute viele ungelöste Probleme in diesem Bereich. Heegner-Punkte können (indirekt) dazu verwendet werden, die Klassenzahl einiger Körper zu bestimmen. Es lässt sich zum Beispiel zeigen, dass die einzigen quadratischen Zahlkörper mit imaginären Zahlen, in denen eine eindeutige Zerlegung in Primelemente existiert, genau die Körper

$\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-2}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-7}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-11}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-19}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-43}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-67}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})$

sind.

Parameterdarstellung von elliptische Kurven

→ Hauptartikel: Parameterdarstellung

Durch $t\mapsto (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ bzw. $t\mapsto e^{2\pi it}$ wird der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung in der reellen bzw. komplexen Ebene parametrisiert. In oberem Schaubild ist $\theta =2\pi t$.

Über den komplexen Zahlen kann die Punktmenge einer elliptischen Kurve als Torus (Donut) dargestellt werden. Dabei wurde jedoch die (vormals stark verzerrte) Fläche des Lösungsgebildes der Gleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$ stetig in die gezeigte idealisierte Form gebracht. Dabei ist zu beachten, dass die ursprüngliche Punktmenge eine (reell) zweidimensionale Fläche (komplex eindimensional) und Teilmenge des (reell) vierdimensionalen Raums $\mathbb {C} ^{2}$ war, jedoch nach der Transformation auf dem Bild zur Veranschaulichung in den dreidimensionalen Raum gesetzt wurde.

Die Eigenschaft einer elliptischen Kurve, über den komplexen Zahlen ein Donut zu sein, kann dadurch erklärt werden, wie sich diese parametrisieren lässt.

Eine Parametrisierung ist eine Abbildung von einem „einfachen“ Parameterobjekt in ein „kompliziertes“ Zielobjekt, mit dessen Hilfe durch Einsetzen von beliebigen Eingaben (Parametern) des Parameterobjekts beliebige nicht-triviale Teile des Zielobjekts erzeugt werden können. Mit „einfach“ ist gemeint, dass das Parameterobjekt in erster Linie ein „bekanntes Parameterobjekt“ ist, über das genügend Wissen vorhanden ist und aus dessen Vorrat nun nacheinander Werte eingesetzt werden, um damit ein anderes (unbekanntes, komplizierteres oder strukturell anspruchsvolleres) Objekt aufzubauen. Oft handelt es sich sowohl bei den Ein- als auch bei den Ausgaben um Punkte, die in ihrer Kollektion ein geometrisches Objekt darstellen.

Ein Beispiel einer Parametrisierung ist die des Kreises: Das „einfache“ Parameterobjekt ist hierbei das Intervall $[0,1]$, also alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1, über dessen Inhalt wir kanonisch verfügen, und das „komplizierte“ Zielobjekt der Kreis, wobei eine mögliche Abbildung

$t\mapsto (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$

ist. Nach dem Satz des Pythagoras ist $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$ unabhängig von der Eingabe $\theta$, womit aufgrund der Periodizität von Sinus und Kosinus der gesamte Kreis erzeugt wird. Nutzt man die Veranschaulichung der komplexen Zahlen $a+ib$ (mit reellen Zahlen $a,b$) als Punkte $(a,b)$, vereinfacht sich die Parametrisierung zu

$t\mapsto e^{2\pi it}.$

Für den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und der komplexen Exponentialfunktion siehe auch Eulersche Formel. Aus geometrischer bzw. topologischer Sicht wird das Intervall $[0,1]$, ein „Faden“ mit einer Längeneinheit, an beiden Enden genommen und zu einem Kreis zusammengeschlossen.

Das Besondere an der Kreisparametrisierung ist, dass sie von einer transzendenten Funktion generiert wird, nämlich $f(t)=e^{2\pi it}$. Dabei bedeutet transzendent, dass es kein allgemeines Prinzip gibt, die Funktionswerte $e^{2\pi it}$ durch endlich viele Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen oder Divisionen aus den Eingaben $t$ und festen Zahlen zu erzeugen. Unter diesen Umständen ist eigentlich zu erwarten, dass die Funktionswerte unter rationalen Eingaben $t$ keine besondere Struktur haben (es ist $\mathbb {Q}$ zwar ein Körper, aber es wird nicht gefordert, dass dieser unter unendlich vielen algebraischen Operationen immer noch abgeschlossen sein muss). Erschwerend machen die algebraischen Zahlen im asymptotischen Sinne 0 % aller komplexen Zahlen aus, weshalb ein „Zufall“ ausgeschlossen wäre. Tatsächlich aber kann mittels Potenzgesetzen gezeigt werden, dass jeder der Werte $e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}$ mit rationalen Zahlen ${\tfrac {p}{q}}$ eine algebraische Zahl ist, nämlich der Gleichung $x^{q}-1=0$ genügt. Die Algebraizität überträgt sich dann auf die einzelnen Komponenten $\sin(2\pi t)$ und $\cos(2\pi t)$. Demnach sind alle rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ in gewisser Weise die „Heegner-Punkte des Kreises“, da diese unter der Parametrisierung algebraische Punkte auf dem Kreis erzeugen. Beispielsweise ist

$f\left({\tfrac {1}{8}}\right)={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},$

wobei $\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)$ auf dem Einheitskreis liegt (siehe oben).

→ Hauptartikel: Elliptische Funktion

Siehe auch: Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen

Bei der Parametrisierung einer Menge von Punkten $(x,y)$, die alle gemeinsam eine Gleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$ erfüllen, also einer elliptischen Kurve, wird im Prinzip genauso verfahren. Da diese mittels sog. elliptischer Funktionen erfolgt, wird dabei von den komplexen Zahlen ausgegangen. Gesucht ist auch hier ein Funktionenpaar $f$ und $g$, ähnlich wie Sinus und Kosinus, sodass für jedes $t$ aus einem Parametervorrat $g(t)^{2}=f(t)^{3}+af(t)+b$ gilt. Nach Einsetzen eines Wertes $t$ lassen sich auch dann Koordinaten $(x,y)=(f(t),g(t))$ der Kurve abschreiben. Auch hier bedient man sich periodischer Funktionen, die jedoch von vornherein auf den komplexen Zahlen definiert werden. Als solche ordnen sie jedem Punkt einer Ebene (= jeder komplexen Zahl) eine komplexe Zahl zu. Als passende Objekte bieten sich die Weierstraßschen p-Funktionen an.

Diese Form der Parametrisierung ist aus Sicht der Funktionentheorie elementar, gibt aber noch keine Auskünfte über rationale Punkte auf der Kurve. Dafür muss eine andere, weit schwierigere, Parametrisierung betrachtet werden, siehe unten.

Veranschaulichung des Verfahrens zur Konstruktion rationaler Punkte mittels Heegner-Punkten auf elliptischen Kurven

Dass Gleichungen höheren Grades Figuren höheren Geschlechts haben können, zeigt das Beispiel $y^{2}=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)$ bereits im Reellen: Es zeigen sich Querschnitte dreier Schläuche, was auf einen Doppeldonut, also eine Fläche von Geschlecht 2, hindeutet

Die Parametrisierung $z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))$ erklärt zwar die Figur (und das Geschlecht) einer elliptischen Kurve, bringt aber keine zahlentheoretischen Informationen. Um gut rationale Punkte auf einer elliptischen Kurve konstruieren zu können, müssten einfache Punkte $z$ auf der Periodenmasche bekannt sein, sodass die Koordinaten $(\wp (z),\wp '(z))$ rational sind. Solche hypothetischen „Heegner-Punkte“ gibt es im Allgemeinen jedoch nicht, bzw. sie können nicht einfach erraten werden. Dank eines lange vermuteten Satzes, bewiesen von Andrew Wiles und anderen, weiß man aber, dass es noch eine weitere Art gibt, elliptische Kurven $y^{2}=x^{3}+ax+b$, die über den rationalen Zahlen definiert sind (also $a,b\in \mathbb {Q}$), zu parametrisieren. Auch in diesem Falle ist die Funktion, die bei der Abbildung eine Rolle spielt, periodisch und transzendent. Jedoch ist die Abbildung deutlich komplizierter als es bei der Version über $p$-Funktionen der Fall war. Auch das Parameterobjekt ist nicht nur eine Periodenmasche, sondern komplizierter. Es ist ein Zusammenschluss von „gebogenen Maschen“ auf der oberen Halbebene der komplexen Zahlen, die sich ebenfalls durch Verbiegen und Verkleben in eine geschlossene Fläche verwandeln lassen. Diese Parameterobjekte haben höheres Geschlecht (also mind. 1), sind also, im Gegensatz zur elliptischen Kurve, ggf. ein „Multidonut“ (siehe unten).

Zwar wirkt das Parameterobjekt viel komplizierter, da es sich wie angedeutet in eine Fläche hohen Geschlechts verwandeln kann, aber im Gegensatz zur elliptischen Kurve bzw. Periodenmasche können auf diesem Objekt manche algebraischen Punkte (ggf. sogar rationale Punkte) direkt erraten werden – die sog. Heegner-Punkte. Das hat den Hintergrund, dass die Kurven des Parametervorrats stets sog. Modulkurven sind. Die von Wiles vorhergesagte sehr schwierige Parametrisierung kann damit in zwei einfachere Abbildungen zerlegt werden, von denen die erste eine Zwischenparametrisierung der Modulkurve vorsieht. Durch die Unterteilung geht die Abbildung von der oberen Halbebene in die Modulkurve und von der Modulkurve in die elliptische Kurve anstatt von der oberen Halbebene direkt in die elliptische Kurve:

• Parametrisierung der Modulkurve analog zur elliptischen Kurve: Über eine Funktion $j(z)$, der j-Funktion, werden Punkte von der oberen Halbebene mittels $z\mapsto (j(z),j(Nz))=(x,y)$ abgebildet, die eine komplizierte Gleichung lösen, wie in etwa $y^{2}=x^{7}-16x^{6}+4x^{3}-2x+87$. Dabei ist $N$ eine bestimmte natürliche Zahl, die auch Führer der späteren elliptischen Kurve genannt wird.
• Abbildung von Punkten $(x,y)$ auf der Modulkurve, die also jene sehr komplizierte Gleichung lösen, auf Punkte der elliptischen Kurve mit Führer $N$, die die Gleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$ lösen. Hier kommen keine Funktionen wie Sinus, Kosinus, p oder j ins Spiel, sondern es handelt sich um eine schlichte algebraische Koordinatentransformation. Ein Beispiel für eine algebraische Abbildung wäre $(x,0)\mapsto (x,x^{2})$ von der Kurve $y=0$ auf die Kurve $y=x^{2}$.

Das Besondere an Modulkurven ist, dass die Funktion $j(z)$ wegen der Theorie der Modulformen (das sind Funktionen auf diesem einfachen Raum, die so symmetrisch sind, dass sie eine extreme Seltenheit haben) gut verstanden ist – so gut, dass algebraische Punkte (Heegner-Punkte) auf dem Multidonut quasi „direkt ausgerechnet“ werden können: Dies ist der analoge Teil zum Kreis – hier konnten mittels der transzendenten Funktion $t\mapsto e^{2\pi it}$ direkt algebraische Werte auf dem Kreis ausgerechnet werden (also spielt das Intervall $[0,1]$ hier die Rolle der oberen Halbebene).

Heegner-Punkte sind also bestimmte Punkte auf dieser hochgeschlechtlichen Parameterfläche (oben mittig dargestellt ist ein Beispiel mit Geschlecht 3). Im Gegensatz zum Kreis stammen diese nicht aus den rationalen Zahlen, sondern liegen (wenn in der oberen Halbebene startend!) in einem quadratischen Körper $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})$ mit einer ganzen Zahl $D<0$. Löst also eine komplexe Zahl $\tau$ mit positivem Realteil eine quadratische Gleichung mit ganzen Koeffizienten, so ist $\tau$ ein Heegner-Punkt und der korrespondierende Punkt $(j(\tau ),j(N\tau ))$ auf einer Modulkurve hat algebraische Koordinaten. Der Einfachheit der Notation geschuldet, wird der Bildpunkt $(j(\tau ),j(N\tau ))$ wieder als Heegner-Punkt bezeichnet, obgleich er nicht das gleiche wie $\tau$ ist. Wird nun ein algebraischer Punkt $(j(\tau ),j(N\tau ))$ über eine algebraische Abbildung auf die elliptische Kurve transportiert, ist das Endergebnis wieder algebraisch: Vergleichbar ist die Abbildung $(x,0)\mapsto (x,x^{2})$ von der $x$-Achse auf die Normalparabel (eine Abbildung zwischen den Kurven $y=0$ und $y=x^{2}$), die offenbar rationale Punkte auf rationale Punkte abbildet. Dies war eine der großen Leistungen von Andrew Wiles: zu erklären, dass die (parametrisierende) Abbildung zwischen den Donuts algebraisch ist. Dies ist bemerkenswert, weil die Funktion auf der oberen Halbebene transzendent war.

Durch einen einzelnen Heegner-Punkt wird zunächst noch kein rationaler Punkt auf der elliptischen Kurve geboren. Werden jedoch mehrere verwandte Heegner-Punkte geschickt miteinander verrechnet, kann in manchen Fällen gewährleistet werden, dass die damit erzeugten Punkte sogar rational sind. Die Anzahl der Heegner-Punkte, die benötigt wird, hängt dabei von der Klassenzahl des quadratischen Körpers ab, in dem sie liegen. Der Körper $\mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})$ hat in seinen ganzen Zahlen eine eindeutige Primfaktorzerlegung, weshalb seine Klassenzahl einfach 1 ist. Also reicht hier ein Heegner-Punkt aus, wie $\tau ={\tfrac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}$, um einen rationalen Punkt auf der Modulkurve zu finden. Man hat tatsächlich

$j\left({\frac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}\right)=-262\,537\,412\,640\,768\,000.$

Die betrachtete Parametrisierung kann also, mitsamt diesem Prinzip, als eine verallgemeinerte Version von $e^{2\pi it}$ gesehen werden.

Praktischer Nutzen

Berechnung von Pi

Über die Methoden, wie man $j(\tau )$ allgemein berechnet, kann man aus dem ganzzahligen Ergebnis Rückschlüsse ziehen. Man weiß wegen der Fourier-Entwicklung $j(\tau )=e^{-2\pi i\tau }+744+196\,884e^{2\pi i\tau }+\cdots$, dass für Werte $\tau$ mit größerem Imaginärteil die Zahl $j(\tau )$ bereits sehr nahe an $e^{-2\pi i\tau }+744$ liegt. In der Tat findet man

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743{,}\,999\,999\,999\,999\,250\ldots .$

Daraus konnte letztlich der Chudnovsky-Algorithmus entwickelt werden, mit Hilfe dessen die Kreiszahl $\pi$ extrem schnell auf viele Nachkommastellen berechnet werden kann.

Elliptic Curve Cryptography

→ Hauptartikel: Elliptic Curve Cryptography

Heegner-Punkte spielen eine bedeutende Rolle im Gebiet der Grundlagenforschung rund um elliptische Kurven (insbesondere solcher mit sog. komplexer Multiplikation). Elliptische Kurven werden im Rahmen der Elliptic Curve Cryptography (ECC) bei der Verschlüsselung von Nachrichten angewandt. Dabei wird die fehlende Effizienz bei der Berechnung diskreter Logarithmen ausgenutzt, was ein Brechen des Kryptosystems sehr schwierig macht.

Erzeugen Heegner-Punkte rationale Punkte mit unendlicher Ordnung, ist gewährleistet, dass eine relativ große Anzahl rationaler Punkte auf der betrachteten elliptischen Kurve liegen wird. Wegen der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besteht (vermutlich) ein enger Zusammenhang zwischen dem globalen und lokalen Fall, also der Anzahl von Punkten elliptischer Kurven über den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ und sog. endlichen Körpern, wobei eine große Anzahl von Punkten im globalen Fall die Anzahl der Punkte in den lokalen Fällen tendenziell erhöht. Dies folgt aus einer Formel, die ein „Lokal-Global-Prinzip“ etabliert: Ist $E(\mathbb {Q} )$ eine über den rationalen Zahlen definierte elliptische Kurve, $p$ eine Primzahl und $N_{p}$ die Anzahl der Punkte auf der zu $E(\mathbb {Q} )$ reduzierten Kurve $E(\mathbb {F} _{p})$, so soll gelten:

$\prod _{p<M}{\frac {N_{p}}{p}}\sim C_{E}\log(M)^{r},\qquad M\to \infty ,$

mit einer Konstanten $C_{E}>0$ und dem Rang $r$ der elliptischen Kurve $E$. Numerische Rechnungen stützen diese unbewiesene Behauptung. Eine große Zahl von Punkten im lokalen Fall erlaubt schließlich eine große Auswahl an Möglichkeiten für Geheimtexte und macht eine Brute-Force-Attacke zur Entschlüsselung der Nachrichten sehr zeitaufwendig. Daher sind elliptische Kurven mit dieser Eigenschaft gute Kandidaten für Verschlüsselungsverfahren.

Im Jahr 2003 entwickelte David Kohel einen Algorithmus, der mittels Heegner-Punkten auf Modulkurven die Anzahl von Punkten auf elliptischen Kurven über endlichen Körpern abzählt. Dazu werden $p$-adische Lifts (das sind Objekte, die von einer Abbildung von einem „über der Modulkurve liegenden Objekt“ in die Modulkurve auf Heegner-Punkte gesendet werden) dieser Heegner-Punkte verwendet, wobei $p$ eine kleine Primzahl ist. Um Kryptosysteme über elliptische Kurven implementieren zu können, sind Algorithmen, die die Anzahl von Punkten auf elliptischen Kurven (über endlichen Körpern) zählen, von großer Wichtigkeit. Kohel gab auch explizite Ausführungen zu den Fällen $p=2,3,5,7,13$. (nicht signierter Beitrag von Fabian RRRR (Diskussion | Beiträge) 20:56, 28. Okt. 2020 (CET))