Invariante (Mathematik)

In der Mathematik versteht man unter einer Invariante eine zu einem Objekt assoziierte Größe, die sich bei einer jeweils passenden Klasse von Modifikationen des Objektes nicht ändert. Invarianten sind ein wichtiges Hilfsmittel bei Klassifikationsproblemen: Objekte mit unterschiedlichen Invarianten sind wesentlich verschieden; gilt auch die Umkehrung, d.h. sind Objekte mit gleichen Invarianten im wesentlichen identisch, so spricht man von einem vollständigen Satz von Invarianten.

Einführendes Beispiel

Die betrachteten Objekte sind Paare $(x,y)$ reeller Zahlen, erlaubte Modifikationen bestehen darin, zu beiden Zahlen dieselbe beliebig gewählte Zahl zu addieren:

$(x,y)\quad \Longrightarrow \quad (x',y')=(x+z,y+z)$.

Eine Invariante ist in diesem Fall die Differenz $x-y$ der beiden Zahlen:

$x'-y'=(x+z)-(y+z)=x-y.$

Eine Interpretation dieses Beispiels könnte sein: $x$ und $y$ sind die Anfangs- und Endpunkt einer Stange, gemessen von einem festen Punkt in der Verlängerung der Stange. Die Modifikationen entsprechen einer Verschiebung der Stange um $z$, die Invariante ist die Länge der Stange.

In diesem Beispiel genügt bereits diese eine Invariante für eine vollständige Klassifikation: Zwei Zahlenpaare $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ gehen genau dann auseinander hervor, d.h. es gibt ein $z$, so dass

$x_{1}+z=x_{2}$ und $y_{1}+z=y_{2},$

wenn die Längen übereinstimmen:

$x_{1}-y_{1}=x_{2}-y_{2}.$

(Beweis: Setze $z=x_{2}-x_{1}$, dann ist $y_{1}+z=x_{2}-(x_{1}-y_{1})=x_{2}-(x_{2}-y_{2})=y_{2}.$)

Weitere Beispiele

• Die Dimension eines Vektorraumes ist eine Isomorphie-Invariante, d.h. sind $V$ und $W$ isomorphe Vektorräume, so stimmen ihre Dimensionen überein. Hier gilt auch die Umkehrung: Zwei Vektorräume der gleichen Dimension sind isomorph.
• Die Determinante einer Matrix ist eine Ähnlichkeitsinvariante, d.h. sind $A$ und $B$ zwei Matrizen, für die es eine invertierbare Matrix $S$ gibt, so dass $B=SAS^{-1}$ gilt, so haben $A$ und $B$ dieselbe Determinante. Hier gilt die Umkehrung nicht, beispielsweise hat jede Drehung Determinante 1.
• Betti-Zahlen und Euler-Charakteristik sind topologische Invarianten, d.h. invariant unter Homöomorphismen.

Invarianten unter Operationen

Im Kontext von Gruppenoperationen spricht man ebenfalls von Invarianten: Ist $X$ eine Menge mit einer Operation der Gruppe $G$, so heißen die Elemente von

$X^{G}=\{x\in X\mid gx=x\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ g\in G\}$

die $G$-Invarianten (Elemente).

Weiterführende Themen

Das so genannte Noether-Theorem aus der theoretischen Physik stellt eine Beziehung zwischen Symmetrien und Invarianten, in der Physik Erhaltungsgrößen genannt, her. Des weiteren exisitiert die Spezialisierung der trennenden Invarianten