Herkunft
Legendre-Polynome 1. Art
Darstellungen
Das
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
Q
[
x
]
{\displaystyle {\mathbb {Q} }[x]}
rationale Koeffizienten.
P
n
(
x
)
=
1
2
n
n
!
⋅
d
n
d
x
n
[
(
x
2
−
1
)
n
]
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}
Alternative Darstellung
P
n
(
x
)
=
(
2
n
)
!
2
n
(
n
!
)
2
[
x
n
−
n
(
n
−
1
)
2
⋅
(
2
n
−
1
)
x
n
−
2
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
2
⋅
4
⋅
(
2
n
−
1
)
(
2
n
−
3
)
x
n
−
4
∓
…
]
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}\mp \ldots \right]}
Integraldarstellung
Für
x
∈
C
∖
{
+
1
;
−
1
}
{\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \{+1;-1\}}
P
n
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
[
x
+
x
2
−
1
cos
φ
]
n
d
φ
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \varphi \right]^{n}\,\mathrm {d} \varphi }
Eigenschaften
Für die Legendre-Polynome gelten folgende Rekursionsformeln:
(
n
+
1
)
P
n
+
1
(
x
)
=
(
2
n
+
1
)
x
P
n
(
x
)
−
n
P
n
−
1
(
x
)
(
n
=
1
,
2
,
…
)
{\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=1,2,\ldots )}
(
x
2
−
1
)
d
d
x
P
n
(
x
)
=
n
x
P
n
(
x
)
−
n
P
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle (x^{2}-1){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P_{n}(x)=nxP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}
Für die Legendre-Polynome gilt die Orthogonalitätsrelation
∫
−
1
1
P
n
(
x
)
P
m
(
x
)
d
x
=
2
2
n
+
1
δ
n
m
{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm {d} x\,=\,{\frac {2}{2n+1}}\delta _{nm}}
wobei
δ
n
m
{\displaystyle \delta _{nm}}
Kronecker-Delta bezeichnet. Aufgefasst als Funktionen
P
n
:
[
−
1
,
1
]
→
R
{\displaystyle P_{n}:[-1,1]\to \mathbb {R} }
⟨
f
,
g
⟩
:=
∫
−
1
1
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{-1}^{1}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}
Erzeugende Funktion
Für
x
∈
C
{\displaystyle x\in \mathbb {C} }
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
(
1
−
2
x
z
+
z
2
)
−
1
/
2
=
∑
n
=
0
∞
P
n
(
x
)
z
n
{\displaystyle (1-2xz+z^{2})^{-1/2}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)z^{n}}
Dabei hat die Potenzreihe auf der rechten Seite für
−
1
≤
x
≤
+
1
{\displaystyle -1\leq x\leq +1}
Konvergenzradius 1.
Die Funktion
z
↦
(
1
−
2
x
z
+
z
2
)
−
1
/
2
{\displaystyle z\mapsto (1-2xz+z^{2})^{-1/2}}
erzeugende Funktion der Legendre-Polynome
P
n
{\displaystyle P_{n}}
Die ersten Legendre-Polynome
Datei:Legendrepolynome1.png Die ersten Legendre-Polynome auf
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
P
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle P_{0}(x)=1\,}
P
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle P_{1}(x)=x\,}
P
2
(
x
)
=
1
2
(
3
x
2
−
1
)
{\displaystyle P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)}
P
3
(
x
)
=
1
2
(
5
x
3
−
3
x
)
{\displaystyle P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x)}
P
4
(
x
)
=
1
8
(
35
x
4
−
30
x
2
+
3
)
{\displaystyle P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}
P
5
(
x
)
=
1
8
(
63
x
5
−
70
x
3
+
15
x
)
{\displaystyle P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}
Siehe auch 
![{\displaystyle {\mathbb {Q}}[x]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac02ce28d65702d5f37c151a3b79fa83d65d78c5)
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff8cbc40bd2b6fe23bee919076e11a5fc0b65fc)
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}\mp \ldots \right]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/1381d74bb2bebd652a76fb734abcb20ddc80f8cc)
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \varphi \right]^{n}\,\mathrm {d} \varphi }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfd6ac09cbd19b4f9a050e77633ffcd557cef14)
![{\displaystyle P_{n}:[-1,1]\to \mathbb {R} }](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/035da48f3350d2c5c2a4932c6d900c0209fffd9c)
![{\displaystyle [-1,1]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
