Newtonverfahren

Das nach Isaac Newton benannte Verfahren (auch Newton-Raphsonsche Methode genannt) dient der Findung eines Näherungswertes der Gleichung f(x)=0, Funktionsnullstellen. Durch folgende Iteration lassen sich die Nullstellen einer Funktion f(x) finden:

$x_{n+1}:=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

Es muss anfänglich ein Näherungswert x₀ bekannt sein. Außerdem darf die Funktion von x₀ bis zur anzunähernden Nullstelle keine Extrema oder Sattelpunkte besitzen, da dort die Ableitung f'(x) gegen 0 ginge.

Bei geeignet gewählten Anfangswert x₀ konvergiert das Newtonsche Verfahren mit quadratischer Geschwindigkeit.

Geometrische Deutung

$x_{n+1}$ lässt sich geometrisch als die Nullstelle der Tangente durch den Punkt P($x_{n}$; f($x_{n}$)) deuten:

Anwendungen

Berechnung der Quadratwurzel

Ein Spezialfall des Newtonschen Näherungsverfahrens ist das Babylonische Wurzelziehen:

Wendet man die Iterationsformel auf die Funktion

$f(x)=x^{2}-a=0$ 

an, dann erhält man die für die Lösung ${\sqrt {a}}$ das Näherungsverfahren

$x_{n+1}:={1 \over 2}(x_{n}+{a \over x_{n}})$
Diese Verfahren konvergiert für jeden beliebigen Anfangswet x₀.

Berechnung von Quotienten

Weiterhin lässt sich mit Hilfe dieses Verfahrens der Wert des Quotienten ${\frac {1}{a}}$ ohne Verwendung der Division berechnen:

Man wende die Iterationsvorschrift des Newtonschen Näherungsverfahren auf die Funktion

$f(x)={\frac {1}{x}}-a=0$

an und erhält:

$x_{n+1}:=x_{n}-{\frac {{\frac {1}{x_{n}}}-a}{-{\frac {1}{x_{n}^{2}}}}}=2x_{n}-ax_{n}^{2}$

Schnittpunkt zweier Funktionen

Auf ähnliche Weise lässt sich auch der x-Wert des Schnittpunktes zweier Funktionen g(x) und f(x) bestimmen:

Da man die beiden Funktionen zur Lösung des Problems gleichsetzt, lässt sich immer durch Umformung folgende Form, auf die das Newtonsche Näherungsverfahren angewendet werden kann, bestimmen:

$f(x)-g(x)=0$

Weblinks

• Facharbeit über das Newtonsche Näherungsverfahren und die Regula Falsi