Konkav

Als konkav (lat.: concav ausgehöhlt, einwärts gewölbt) bezeichnet man in der Mathematik und der Optik (siehe auch Linse) die Form eines Körpers, dessen Oberfläche nach innen gewölbt ist. Eine nach außen gewölbte Fläche wird als konvex bezeichnet.

Geometrie: Konkave Menge

Genauer definiert man eine geometrische Figur oder eine Teilmenge eines reellen Vektorraums als konkav, wenn sie nicht konvex ist. Konvex ist eine Figur oder Menge, wenn die Verbindungsstrecke zwischen je zwei ihrer Punkte ganz in der Figur liegt. Diese Definition erfasst auch Figuren, deren Oberfläche aus mehreren Teilen besteht, wie z.B. Kreisring und Torus.

Konkave Figuren der Ebene sind z.B. der Viertelmond, der Buchstabe T, ein Kreisring oder eine Figur, die aus mehreren Teilen besteht (selbst wenn jeder dieser Teile konvex ist). Die Abbildung zeigt jedes dieser Beispiele mit einer Verbindungsstecke, die nicht ganz in der Figur liegt.

Die meisten in der Schule behandelten Figuren sind dagegen konvex, wie z.B. Kreise, Trapeze (insbesondere Rechtecke) und Dreiecke - jeweils als Voll-Figuren aufgefasst, der Rand selbst ist hier jedesmal konkav.

Im 2-dimensionalen Raum verursachen konkave polygonal begrenzte Flächen meist mehr Aufwand, z.B. bei der Berechnung des Flächeninhaltes.

Gleiches gilt im 3-dimensionalen Raum: Bei der zweidimensionalen Darstellung (z.B. durch Zentralprojektion) kann sich ein Torus (konkav) im Gegensatz zu einer Kugel (konvex) selbst verdecken.

Analysis: Konkave Funktion

Definition

In der Analysis heißt eine Funktion f von einem Intervall I (oder einer konvexen Teilmenge I eines Vektorraums) nach R konkav, wenn für alle x,y aus I gilt:

$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$

Anschaulich bedeutet die Definition: Der Funktionswert in der Mitte zwischen zwei Werten x,y liegt oberhalb der Mitte der Verbindungsgerade der beiden Funktionswerte an x und y.

Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass für alle x, y aus I und t zwischen 0 und 1 gilt:

$f(tx+(1-t)t)\geq tf(x)+(1-t)f(y)$

Eine Funktion heißt streng konkav, wenn für alle x,y aus I gilt:

$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)>{\frac {f(x)+f(y)}{2}}$

Eigenschaften

Der Graph einer konkaven Funktion ist so gewölbt, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen eine konvexe Menge ist. Zu beachten ist, dass eine nicht-konvexe Funktion nicht automatisch konkav sein muss, d.h. konvex und konkav sind hier nicht das exakte Gegenteil voneinander. Jede lineare Funktion ist sowohl konkav als auch konvex, und die Sinusfunktion ist keins von beiden (weder die Menge der Punkte oberhalb des Graphen noch die der Punkte unterhalb des Graphen ist eine konvexe Menge). Jedoch ist eine Funktion f konkav genau dann, wenn die Funktion -f konvex ist. Ist f differenzierbar, dann ist f konkav genau dann, wenn ihre Ableitung $f'$ fallend ist und streng konkav genau dann, wenn $f'$ streng monoton fallend ist. Ist f zweimal differenzierbar, dann ist f konkav genau dann, wenn $f''$ nichtpositiv ist, und streng konkav genau dann, wenn $f''$ negativ ist.

Beispiele

• Die Funktion f(x) = -x² ist auf ganz R streng konkav, denn f '(x) = -2x ist steng monoton fallend.
• Die Wurzelfunktion f(x) = √x ist streng konkav auf dem Intervall [0, ∞) der nichtnegativen reellen Zahlen.
• Die Logarithmusfunktion ist streng konkav auf dem Intervall (0, ∞).
• Die negative Betragsfunktion f(x) = -|x| ist auf ganz R konkav, aber nicht streng konkav.
• Die Funktion f(x) = x³ ist konkav für x ≤ 0 und konvex für x ≥ 0.