Ampèresches Gesetz

Das Durchflutungsgesetz (Durchflutungssatz, ampèresches Gesetz) ist ein Gesetz aus der Elektrodynamik und eine der Maxwell'schen Gleichungen. Es wurde von André Marie Ampère entdeckt und bildet für den Magnetismus die Analogie zum Gauß'schen Gesetz.

Mathematische Formulierung

Integrale Form

Das Gesetz setzt das Kurvenintegral des magnetischen Feldes um eine geschlossene Kurve in Beziehung zum Strom, der durch die von dieser Kurve eingeschlossene Fläche fließt. Die integrale Form des Gesetzes lautet:

$\oint _{S}{\vec {B}}\cdot \;\mathrm {d} {\vec {s}}=\mu _{0}I$

wobei

${\vec {B}}$ das magnetische Feld, genauer die magnetische Flussdichte,

$\mathrm {d} {\vec {s}}$ ein infinitesimales, orientiertes Teilstück der geschlossenen Kurve S,

$I$ der innerhalb von S fließende Strom,

$\mu _{0}$ die Permeabilität des Vakuums (magnetische Feldkonstante) und

$\oint _{S}$ das Kurvenintegral entlang der Kurve S ist.

Differentielle Form

Äquivalent dazu ist die differentielle Form

$\operatorname {rot} {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}$

bzw.

$\operatorname {rot} {\vec {H}}={\vec {j}}_{ext}$

${\vec {H}}$ ist die magnetische Feldstärke, das ist die magnetische Flussdichte ${\vec {B}}$ ohne Berücksichtigung von paramagnetischen und diamagnetischen Beiträgen durch das Medium (im Vakuum gilt ${\vec {H}}={1 \over \mu _{0}}{\vec {B}}$). Analog ist ${\vec {j}}$ die Stromdichte (Strom pro Fläche) und ${\vec {j}}_{ext}$ dieselbe Größe ohne Berücksichtigung des durch para- und diamagnetische Effekte induzierten Stroms.

Die Äquivalenz von integraler und differentieller Form wird durch den Satz von Stokes bewiesen.

Maxwells Erweiterung

James Clerk Maxwell bemerkte, dass das so formulierte Ampère'sches Gesetz beim Aufladen eines Kondensators zunächst nicht zutrifft, und folgerte die Unvollständigkeit des Gesetzes. Zur Lösung des Problems entwickelte er das Konzept des Verschiebungsstroms und stellte eine allgemeingültige Form auf, die so eine der vier Maxwell'schen Gleichungen ist. Sie ist in integraler Form gegeben durch

$\oint _{S}{\vec {H}}\cdot \;\mathrm {d} {\vec {s}}={\partial \over \partial t}\iint _{A}{\vec {D}}\cdot \;\mathrm {d} {\vec {A}}+I=\iint _{A}\left({\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}+{\vec {j}}_{ext}\right)\;\mathrm {d} {\vec {A}}$

und in differentieller Form

$\operatorname {rot} {\vec {H}}={\vec {j}}_{ext}+{\dot {\vec {D}}}$.

Dabei sind alle Größen wie oben. ${\vec {D}}$ ist die elektrische Flussdichte, nämlich die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}$ ohne die durch Polarisation erzeugten Felder.

Anwendung

Ampèresches Gesetz für Kleingläubige

Ein elektrischer Strom ruft ein ihm proportionales Magnetfeld hervor, dessen Richtung mit der des Stromes eine Rechtsschraube bildet. Siehe auch: Rechte-Hand-Regel.

Interpretation des Integrals

Die integrale Formulierung

$\oint _{S}{\vec {B}}\cdot \;\mathrm {d} {\vec {s}}=\mu _{0}I$

lässt sich folgendermaßen interpretieren:

Um einen beliebig geformten Leiter - sei es ein Draht, eine Metallplatte, eine Spule, oder auch nur ein sehr kleines Stück eines größeren Leiters - legt man einen Rahmen. Dieser "Rahmen" kann auch von beliebiger Form sein, z.B. ein Rechteck oder ein Kreis von beliebiger Größe. Wenn durch den Leiter jetzt ein Strom fließt, fließt offenbar auch durch den Rahmen ein Strom, und ein Strom erzeugt ein Magnetfeld. Wenn man jetzt einmal am Rahmen entlang geht und für jedes kleine Stück des Rahmens die Komponente des Magnetfelds in Richtung des kleinen Stücks aufaddiert, dann erhält man, wenn der Rahmen umrundet ist, eine Summe, die dem Strom durch den Rahmen proportional ist.

Magnetfeld der Spule

Bei direkter Anwendung des Ampère'schen Gesetzes zur Bestimmung eines Magnetfelds erhält man meistens nur Lösungen für vereinfachte Fälle, zum Beispiel wenn man annimmt, dass das Magnetfeld einer Spule überall entlang oder entgegen der Achse der Spule und innen homogen ist, was aber nur für die unendlich lange Spule zutrifft.

Man habe eine solche Spule mit n Windungen pro Meter. Man legt einen rechteckigen Rahmen durch die Spule, dessen obere Seite mit der Länge a in der Spule liegt, und dessen rechte und linke Seite unendlich lang seien. Zu diesen Seiten steht nach Annahme das Magnetfeld senkrecht, die Komponente in Richtung des Rahmens ist also Null. Die untere Seite ist unendlich weit weg, wo das Magnetfeld Null sein muss. Es bleibt also vom Integral nur die obere Seite, wo die Komponente des Magnetfelds genau parallel ist. Also gilt:

$\oint _{S}{\vec {B}}({\vec {r}})\cdot \;\mathrm {d} {\vec {s}}=aB({\vec {r}})=\mu _{0}anI\Leftrightarrow B({\vec {r}})=\mu _{0}nI,$

womit man den Betrag des Magnetfelds in der Spule bestimmt hat.

Biot-Savart

In der Praxis reichen einem natürlich so vereinfachte Fälle wie oben nicht aus. Um beliebige Stromverteilungen behandeln zu können, gibt das Biot-Savart-Gesetz exaktere Anworten. Es lässt sich aus den Maxwell-Gleichungen herleiten, d.h. auch, dass für den nicht offensichtlichen Beweis Maxwells Erweiterung des Ampère'schen Gesetzes um den Verschiebungsstrom nötig ist.