Früher glaubte man, dass nur regelmäßige Polygone mit der Eckenzahl n= 4•2k, n= 3•2k und n= 5•2k konstruierbar seien, bis der Mathematiker Carl Friedrich Gauß 1801 in seinen "Disquisitones Arithmeticae" bewies, dass auch andere regelmäßige n-Ecke konstruierbar sind. Für die Eckenzahl n muss nämlich gelten:
n= 2k •p1•p2...pm
p1, p2...sind lauter verschiedene(!) Fermatsche Primzahlen (3, 5, 17, 257, 65537 - das sind die einzigen fünf; mehr hat man noch nicht gefunden). Man kann beliebig viele nehmen.
z.B.:n=3 konstruierbar weil: 20•3=3
n=20 konstruierbar weil: 22•5=20
n=4 konstruierbar weil: 22=4
n=9 nicht konstruierbar weil: 9=20•3•3 (es sind 2 gleiche Fermatsche Primzahlen vorhanden, es müssen aber verschiedene sein)
n=7 auch nicht konstruierbar weil 7 eine Primzahl, aber keine Fermatsche Primzahl ist.
Konstruierbar sind also die Polygone mit n= 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40...
und nicht konstruierbar sind n= 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39,...