Drehimpuls (Quantenmechanik)

Der Drehimpulsoperator ist ein mathematisches Objekt, das aus der Quantenmechanik stammt und die Messung des Drehimpulses beschreibt.

Definition

Einem physikalischen System (z.B.:Teilchen) wird ein Zustandsvektor $\Psi$ zugewiesen. Solch ein Zustandsvektor ist Element eines Hilbertraumes H und die Observablen werden durch selbstadjungierte lineare Operatoren auf diesem Raum repräsentiert.

Unter einem Drehimpulsoperator versteht man einen Vektoroperator ${\hat {\mathbf {J} }}=({\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z})$, dessen Komponenten der Kommutatorrelation: $[{\hat {J}}_{k},{\hat {J}}_{n}]=i\hbar \epsilon _{knm}{\hat {J}}_{m}$ genügen. Hierbei wurde vom Epsilon-Tensor und der Einsteinschen Summenkonvention, also der Summation über doppelt auftretende Indizes, Gebrauch gemacht.

Da die Komponenten des Drehimpulsoperators per Definition nicht vertauschen, geht man häufig zu den gemeinsamen Eigenvektoren von ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ und einer beliebigen Drehimpulskomponente (meist ${\hat {J}}_{z}$)über.

Bahndrehimpuls

Eine spezielle Realisierung eines Drehimpulses stellt der Bahndrehimpulsoperator dar. Dieser ist (überlichweise einheitenlos mit $\hbar$) wie folgt definiert:

${\hat {\mathbf {L} }}={1 \over \hbar }\,{\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}={1 \over \hbar }\,\varepsilon _{ijk}{\hat {r}}_{j}{\hat {p}}_{k}\mathbf {e_{i}}$

Dabei ist ${\hat {\mathbf {r} }}$ der Ortsoperator, ${\hat {\mathbf {p} }}$ der Impulsoperator und $\mathbf {e} _{i}$ der i-te Einheitsvektor.

Somit beschreibt: $E({\hat {L}}_{i})=\langle \Psi |{\hat {L}}_{i}\Psi \rangle$ den Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse bei Messung der i-ten Bahndrehimpulskomponente des Teilchens im Zustand $\Psi$.