Dieser Artikel behandelt den geometrischen Begriff Dreieck. Für weitere Bedeutungen siehe Dreieck (Begriffsklärung).
 Dreieck (unregelmäßig) |
| Sphärisches Dreieck auf einer Kugel Sphärisches Dreieck |
Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur, das von drei nicht parallelen Geraden eingeschlossen wird.
Es ist durch seine drei Eckpunkte definiert und wird durch drei die Eckpunkte geradlinig verbindende Seiten 'aufgespannt'.
Daneben ist der von den zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks.
In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit "A", "B" und "C" bezeichnet. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird entsprechend mit "a", "b" und "c" bezeichnet. Damit liegt dann die Seite "a" dem Eckpunkt "A" gegenüber, verbindet also die Punkte "B" und "C". Die Winkel werden "α", "β" und "γ" genannt; "α" ist der Winkel am Eckpunkt "A", etc.
Die intuitiv einsichtigen Eigenschaften des Dreiecks sind die des Dreiecks der ebenen Euklidischen Geometrie. Allerdings gibt es z.B. auch
- Dreiecke (man nennt sie sphärisch) auf der Kugel, wobei die Seiten Teile eines Großkreises sind - mit einer Winkelsumme größer als 180°, oder
- Dreiecke auf einer Sattelfläche mit einer Winkelsumme kleiner als 180°.
In der Euklidischen Geometrie (Dreieck in einer Ebene) findet man, dass die Winkelsumme im Dreieck 180 Grad beträgt.
Dreiecksarten
| Dreiecksarten | unregelmäßig Kein Winkel und keine Seite sind gleichgroß. |
gleichschenklig Zwei Seiten und zwei Winkel sind gleichgroß |
Gleichseitig Alle Winkel und Seiten sind gleichgroß. |
|---|---|---|---|
| spitzwinklig Alle Winkel sind spitze Winkel. |
|
|
Gleichseitiges Dreieck |
| rechtwinklig Ein Winkel ist ein rechter Winkel. |
|
|
in der Ebene unmöglich |
| stumpfwinklig Ein Winkel ist ein stumpfer Winkel. |
|
|
in der Ebene unmöglich |
Bekannte Sonderformen des Dreiecks sind
- das gleichseitige Dreieck,
- das gleichschenklige Dreieck,
- das rechtwinklige Dreieck (s. Satz des Pythagoras) und
- das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck.
Die Kongruenzsätze machen Aussagen über die Dreiecksgrößen (Seitenlänge, Winkel), die notwendig sind, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen.
In der Trigonometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, spielen Dreiecke eine bedeutende Rolle. Siehe dazu insbesondere Dreieckstrigonometrie.
Oft auftretende Dreiecksgrößen
- die Fläche
- die Höhen
- die Seitensymmetralen
- die Winkelsymmetralen
- die Seitenhalbierenden
- der Inkreis
- der Umkreis
Interessant sind auch die Schnittpunkte dieser Linien bzw. die Mittelpunkte der Kreise, die als ausgezeichnete Punkte des Dreiecks bekannt sind.
Sätze rund um das Dreieck
- Kongruenzsätze
- Thaleskreis
- Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
- Südpolsatz
- Sinussatz
- Satz von Pythagoras, Kosinussatz
- Satz von Menelaos
- Satz von Ceva
- Satz von Stewart
- Satz des Heron (Fläche aus drei Seiten berechnen)
- Eulersche Gerade
- Feuerbachkreis
- Simsonsche Gerade
- Symmedianen und Lemoinepunkt
- Trigonometrie