SIS-Modell

Als SIS-Model bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen semi-realistischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung. Dieser Artikel benutzt die Differentialgleichungen. Ein einführender Artikel mit elementarer Mathematik findet sich bei Mathematische Modellierung der Epidemiologie.

Voraussetzungen

Im Folgenden wird eine in ihrer Gesamtgröße $N$ als konstant veranschlagte Population aufgeteilt in gesunde Individuen $S(t)$ (susceptible individuals) und reversibel erkrankte und ansteckende Individuen $I(t)$ (infectious individuals). Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert mit einer Proportionalitätskonstante $c$, die die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Krankheit charakterisiert und einer Gesundungsrate $\omega$.

Differentialgleichungen des SIS-Modells

Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert mit einer Proportionalitätskonstante $c$, die die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Krankheit charakterisiert und einer Gesundungsrate $\omega$. Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\omegaI“): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}S} {\mathrm{d}t} = -cIS + \omegaI }

${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=cIS-\omega I$

Vereinfache DGLs: Dimensionslose Größen

Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Größen über: $u_{1}:={\frac {S}{N}},u_{2}:={\frac {I}{N}},\theta =\omega t,r:={\frac {cN}{\omega }}$

${\frac {du_{1}}{d\theta }}=-ru_{1}u_{2}+u_{2}$

${\frac {du_{2}}{d\theta }}=ru_{1}u_{2}-u_{2}$

${\frac {du_{2}}{d\theta }}$ kann nach oben abgeschätzt werden durch: ${\frac {du_{2}}{d\theta }}=ru_{2}-u_{2}=(r-1)u_{2}$.

Diese vereinfachte Differentialgleichung führt für r < 1 auf einen exponentiellen Abfall, damit verschwindet die Krankheit vollständig aus der Population. Für r > 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt $({\frac {1}{r}},1-{\frac {1}{r}})$ angestrebt. Die Krankheit bleibt verbreitet.

Abgrenzungen zu weiteren Modellen

Neben dem SIS-Modell gibt es in der Epidemiologie weitere einfache Modelle, die mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden können. Das sind insbesondere die folgenden:

• Das SIS-Modell stellt eine Erweiterung zum SI-Modell dar, bei dem Individuen nicht gesunden können.
• Eine alternative Erweiterung ist das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden.

Literatur

• Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer