Bézierkurve

Die Bézierkurve wurde Anfang der 1960er Jahre unabhängig voneinander von Paul Bézier bei Renault und Paul de Casteljau bei Citroën entwickelt. Paul de Casteljau gelang zwar die Entdeckung früher, Citroën hielt seine Forschungen jedoch bis zum Ende der 1960er Jahre als Betriebsgeheimnis zurück.

Eine $n$-dimensionale Bézierkurve lässt sich auf zwei verschiedene, jedoch vollkommen gleichwertige Weisen darstellen ($0\leq t\leq 1$):

• in Potenzform:
  $C(t)=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}t^{i}$.
• in Bernsteinform:
  $C(t)=\sum _{i=0}^{n}P_{i}B_{i,n}(t)$, mit den Kontrollpunkten $P_{i}$ und den Bernsteinpolynomen $B_{i,n}(t)$.

Am gebräuchlichsten sind kubische ($n=3$) Bézierkurven in Bernsteinform. Die Bernsteinform eignet sich am besten für den interaktiven Entwurf am Bildschirm, da sich die Bézierkurve an das Polygon der Kontrollpunkte (das Kontrollpolygon) annähert und so leicht intuitiv zu bearbeiten ist.

Weitere wichtige Eigenschaften jeder Bézierkurve in Bernsteinform:

• sie geht genau durch die Endpunkte $P_{0}$ und $P_{n}$.
• sie liegt innerhalb der Konvexen Hülle des Kontrollpolygons.
• in den Endpunkten ist sie tangential zu $P_{1}-P_{0}$ und $P_{n}-P_{n-1}$.
• eine Linie schneidet eine Bézierkurve höchstens so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet.
• eine affine Transformation (Verschiebung, Skalierung, Rotation, Schwerung) kann auf die Bézierkurve auch dadurch angewandt werden, dass man sie auf ihr Kontrollpolygon anwendet (affine Invarianz).

In der Computergrafik werden Bézierkurven zur Definition von Kurven und Flächen im Rahmen des Computer Aided Designs (CAD) und zur Beschreibung von Schriften (z.B. (True Type Fonts) verwendet.

Siehe auch

• de Casteljau-Algorithmus