Morphismus

In der Kategorientheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) betrachtet man so genannte Kategorien, die aus einer Vielzahl von Objekten und Morphismen bestehen.

Eine Kategorie ist gegeben durch zwei Daten: Eine Klasse von Objekten und für je zwei Objekte X und Y eine Klasse von Morphismen von X nach Y. Man bezeichnet Morphismen auch als Pfeile und schreibt f: X -> Y. Zu der Kategorie gehört noch eine partielle Verknüpfung der Morphismen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss, die im Artikel Kategorientheorie genannt werden.

Im Fall einer konkreten Kategorie sind die Objekte Mengen mit einer Struktur und ein Morphismus ist eine Funktion zwischen den zugrunde liegenden Mengen, die mit der Struktur verträglich ist. Die Verknüpfung ist in diesem Fall die gewöhnliche Hintereinanderausführung von Funktionen. Es gibt aber auch ganz anders gebildete Kategorien, in der man sich Morphismen nicht als Funktionen vorstellen kann.

Beispiele

Beispiele von Morphismen sind Homomorphismen der Kategorien, die in der universellen Algebra studiert werden (z.B. Gruppen oder Ringe), stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen, differenzierbare Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Typen von Morphismen

• Jedes Objekt X in jeder Kategorie hat einen identischen Morphismus, geschrieben id_X, der ein neutrales Element der Komposition ist.
• Wenn ein Morphismus f eine rechte Inverse besitzt, d.h. wenn es einen Morphismus g mit f o g = id gibt, dann heißt f Retraktion. Analog bezeichnet man mit Schnitt (Sektion) einen Morphismus, der eine linke Inverse besitzt.
• Ist f sowohl eine Retraktion als auch eine Sektion, dann heißt f Isomorphismus. In dem Fall können die Objekte X und Y als völlig gleichartig innerhalb ihrer Kategorie betrachtet werden. (Isomorphismus = bijektiver Homomorphismus)
• Ein Morphismus von X nach X heißt Endomorphismus von X.
• Ein Endomorphismus, der gleichzeitig ein Isomorphismus ist, heißt Automorphismus.
• Ein Morphismus f: X -> Y mit folgender Eigenschaft heißt Epimorphismus:

  Sind g, h: Y -> Z beliebige Morphismen mit g o f = h o f, dann ist stets g = h. (z.B. ist jeder surjektive Homomorphismus ein Epimorphismus)

• Ein Morphismus f: X -> Y mit folgender Eigenschaft heißt Monomorphismus:

  Sind g, h: W -> X beliebige Morphismen mit f o g = f o h, dann ist stets g = h. (z.B. ist jeder injektive Homomorphismus ein Monomorphismus)

• Ist f sowohl ein Epimorphismus als auch ein Monomorphismus, dann ist f ein Bimorphismus. Beachte dass nicht jeder Bimorphismus ein Isomorphismus ist. Es ist jedoch jeder Morphismus ein Isomorphismus, der Epimorphismus und Sektion, oder Monomorphismus und Retraktion ist.

  Ein Beispiel für einen Bimorphismus, der kein Isomorphismus ist, liefert die Einbettung der Ganzen Zahlen in die Rationalen Zahlen als Homomorphismus von Ringen.

• Ein Homöomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen topologischen Räumen.
• Ein Diffeomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.