Die Laplace-Transformation ist eine Integral-Transformation , die eine gegebene Funktion f(t) vom Zeitbereich nach der Vorschrift:
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
=
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
(
mit:\quad
s
=
σ
+
j
ω
;
t
≥
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt\qquad ({\textrm {mit:\quad }}s=\sigma +j\omega ;\quad t\geq 0)}
in eine Funktion F(s) im Spektralbereich überführt.
Die Laplace-Rücktransformation ist gegeben durch
L
−
1
{
F
(
s
)
}
=
f
(
t
)
=
1
2
π
j
∫
c
−
j
∞
c
+
j
∞
F
(
s
)
e
s
t
d
s
(
mit:\quad
c
∈
R
,
c
>
max
i
ℜ
(
R
e
s
i
)
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=f(t)={\frac {1}{2\pi j}}\int _{c-j\infty }^{c+j\infty }F(s)e^{st}\,ds\qquad ({\textrm {mit:\quad }}c\in \mathbb {R} ,c>\max _{i}\Re (Res_{i}))}
Da hier über eine komplexe Variable integriert wird, muss die Rücktransformation mit den Methoden der Funktionentheorie gelöst werden. In der Praxis verwendet man häufig Korrespondenztabellen, mit denen diese Aufgabe leichter gelöst werden kann.
Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres Differentiationssatzes u.a. dazu Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die Differentialgleichung in den Spektralbereich , löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück.
Besonderen Wert hat hier die Laplace-Transformation bei Differentialgleichungssystemen: Da Ableitungen im Bildbereich als Produkt aus Originalfunktion und Laplace-Faktor s entstehen, werden DGLSys zu einfacheren normalen Gleichungssystemen.
Korrespondenztabelle
Originalfunktion f(t)
Bildfunktion F(s)
δ
(
t
)
{\displaystyle \delta (t)}
1
1
{\displaystyle 1}
1
s
{\displaystyle {\frac {1}{s}}}
t
{\displaystyle t}
1
s
2
{\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}
e
−
a
t
{\displaystyle e^{-at}}
1
s
+
a
{\displaystyle {\frac {1}{s+a}}}
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle \sin(\omega t)}
ω
s
2
+
ω
2
{\displaystyle {\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}}
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle \cos(\omega t)}
s
s
2
+
ω
2
{\displaystyle {\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}}
sinh
(
ω
t
)
{\displaystyle \sinh(\omega t)}
ω
s
2
−
ω
2
{\displaystyle {\frac {\omega }{s^{2}-\omega ^{2}}}}
cosh
(
ω
t
)
{\displaystyle \cosh(\omega t)}
s
s
2
−
ω
2
{\displaystyle {\frac {s}{s^{2}-\omega ^{2}}}}
L
{
a
1
f
1
(
t
)
+
a
2
f
2
(
t
)
}
=
a
1
L
{
f
1
(
t
)
}
+
a
2
L
{
f
2
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{a_{1}f_{1}(t)\ +a_{2}f_{2}(t)\}=a_{1}{\mathcal {L}}\{f_{1}(t)\}+a_{2}{\mathcal {L}}\{f_{2}(t)\}}
Verschiebungssatz
1) Verschiebung nach rechts
L
{
f
(
t
−
a
)
}
=
e
−
a
s
L
{
f
(
t
)
}
=
e
−
a
s
F
(
s
)
(
t
≥
a
>
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t-a)\}=\mathrm {e} ^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}=\mathrm {e} ^{-as}F(s)\qquad (t\geq a>0)}
2) Verschiebung nach links
L
{
f
(
t
+
a
)
}
=
e
a
s
(
F
(
s
)
−
∫
0
a
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
)
(
t
≥
a
>
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t+a)\}=\mathrm {e} ^{as}\left(F(s)-\int _{0}^{a}f(t)\mathrm {e} ^{-st}\mathrm {d} t\right)\qquad (t\geq a>0)}
L
{
f
(
a
t
)
}
=
1
a
F
(
s
a
)
(
a
>
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(at)\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)\qquad (a>0)}
L
{
e
−
a
t
f
(
t
)
}
=
F
(
s
+
a
)
(
a
∈
C
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mathrm {e} ^{-at}f(t)\}=F(s+a)\qquad (a\in \mathbb {C} )}
Multiplikationssatz
L
{
t
n
f
˙
(
t
)
}
=
(
−
1
)
n
F
(
n
)
(
s
)
(
n
=
1
,
2
,
…
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{n}{\dot {f}}(t)\}=(-1)^{n}F^{(n)}(s)\qquad (n=1,2,\dots )}
Divisionssatz
L
{
1
t
f
(
t
)
}
=
∫
s
∞
F
(
q
)
d
q
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {1}{t}}f(t)\right\}=\int _{s}^{\infty }F(q)\mathrm {d} q}
Differentiationssatz
L
{
f
′
(
t
)
}
=
s
F
(
s
)
−
f
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)}
L
{
f
(
n
)
(
t
)
}
=
s
n
F
(
s
)
−
s
n
−
1
f
(
0
)
−
s
n
−
2
f
′
(
0
)
−
⋯
−
f
(
n
−
1
)
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\dots -f^{(n-1)}(0)}
Integrationssatz
L
{
∫
0
t
f
(
q
)
d
q
}
=
1
s
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(q)\mathrm {d} q\right\}={\frac {1}{s}}F(s)}
L
{
f
1
(
t
)
∗
f
2
(
t
)
}
=
F
1
(
s
)
⋅
F
2
(
s
)
=
∫
0
t
f
1
(
u
)
f
2
(
t
−
u
)
d
u
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f_{1}(t)*f_{2}(t)\}=F_{1}(s)\cdot F_{2}(s)=\int _{0}^{t}f_{1}(u)f_{2}(t-u)\mathrm {d} u}
Siehe auch: Fourier-Transformation , Faltung
