Poisson-Gleichung

Die Poisson-Gleichung löst ein Randwertproblem, bei dem die Ableitungen eines Vektorfeldes auf der Oberfläche eines Volumens gegeben sind. Anwendung findet diese beispielsweise in der Elektrostatik (Gaußsches Gesetz). Ebenso kann man das Gravitationspotential einer gegebenen Massenverteilung bestimmen.

Die Poisson-Gleichung ist dabei eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\varphi (x,y,z)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\varphi (x,y,z)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\varphi (x,y,z)=f(x,y,z)$

oder kürzer

$\nabla ^{2}\varphi =f$

oder

$\Delta \varphi =f$

d.h. in der Poissongleichung wird der Laplace-Operator gleich f gesetzt.