Boltzmann-Statistik

Die Boltzmann-Statistik (auch: Gibbs-Boltzmann-Verteilung) gibt die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes eines Systems an, welches im thermischen Gleichgewicht an ein Wärmebad der Temperatur $T$ gekoppelt ist. Wir nehmen dabei an, dass die Zustände durchnummeriert sind mit $j=1,2,...N$, mit der jeweils zugehörigen Energie $E_{j}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass man den Zustand $j$ misst, ist

$p_{j}={\frac {e^{-\beta E_{j}}}{Z}}\,,$

wobei die Normierung $Z$ auch Zustandssumme genannt wird. Man erhält die Boltzmann-Statistik aus der Annahme der a priori gleich wahrscheinlichen Zustände des Systems mit Wärmebad. Die dabei unbestimmt bleibende Konstante $\beta$ erhält man durch Anschluss an die Thermodynamik: $\beta =1/k_{B}T$, mit der Boltzmann-Konstante $k_{B}$.

Die Boltzmann-Statistk ist anwendbar für alle möglichen klassischen und quantenmechanischen Systeme: magnetische Eigenschaften in Festkörpern, Phononen, Gase u.s.w..

Für klassische Systeme wie z.B. ideale Gase wird die Darstellung schwieriger, da die Energien der Zustände kontinuierlich dicht liegen und damit aus der Wahrscheinlichkeit eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird. Dabei muss dass richtige Maß gefunden werden, was Gibbs heuristisch mit $1/h^{3}$ pro Teilchen angegeben hat, was allerdings erst durch die spaeter entstandene Quantentheorie sinnvoll interpretiert werden konnte: das hier eingeführte $h$ wurde das Planck'sche Wirkungsquantum.

Der zu den Zuständen gehörige $6N$-dimensionale Phasenraum ist durch die Menge aller kontinuierlichen Orte und Impulse aller Gasteilchen gegeben. Das heißt wenn die Zustandssumme über ein Phasenraumintegral berechnet wird, muss entsprechend die Vielfachheit des Zustandes berücksichtigt werden, was in einem Gas mit $N$ ununterscheidbaren Teilchen einfach $1/N!$ ist. Dies nennt man auch die korrigierte Boltzmannabzählung.