Wurfparabel

Wenn man einen Stein mit einer Geschindigkeit $v_{0}$ mit dem Winkel $\varphi$ schräg nach oben wirft, so bewegt sich der Stein auf einer Parabel, die Wurfparabel genannt wird.

Die Bahn lautet unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes

${\vec {r}}(t)=(x(t)\,,\,y(t))=(v_{0}\,t\cdot \cos \varphi \,,\,v_{0}\,t\cdot \sin \varphi -{\frac {1}{2}}g\,t^{2})$

Herleitung

Diese Formel wird so folgendermassen hergeleitet:

Unter der Annahme, dass kein Luftwiderstand auf den Körper einwirkt, bleibt die Geschwindigkeit $v$ erhalten. Die Projektion der Anfangsgeschwindigkeit auf den Boden und nach Oben (resp. der x- und y-Achse) lautet somit

${\vec {v}}(0)=(v_{0}\,\cdot \cos \varphi \,,\,v_{0}\,\cdot \sin \varphi )$ .

Auf den mit ${\vec {v}}$ nach oben steigenden Körper wirkt gleichzeitig die Schwerkraft

$F=m\,g$

welche mit Beschleunigung $a$ mal Masse $m$ gleichzusetzen ist (Newton-Axiome)

$m\,g=m\,a$ .

Daraus folgt nach Integration (Integralrechnung)die Fallgeschwindigkeit $v$, welche ein Körper nach der Zeit $t$ erreicht hat

$v_{Gravation}=g\,t$

Die Gesamtgeschwindgkeit lautet somit in Abhängigkeit der Zeit

${\vec {v}}(t)=(v_{0}\,\cdot \cos \varphi \,,\,v_{0}\,\cdot \sin \varphi -g\,t)$ .

Nach erneuter Integration folgt daraus die Formel der Wurfparabel.