Riemannsche Zeta-Funktion

Die Riemannsche ζ-Funktion (Zeta-Funktion nach Bernhard Riemann) ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte.

Die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene: Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Die im Bild sichtbaren, so genannten nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Linie durch 0,5. Sie sind als schwarze Punkte auf dieser gedachten Linie erkennbar und spiegelsymmetrisch zur reellen Achse, also zur horizontalen Linie durch den Ursprung, angeordnet. Das Schaubild besitzt einen einzigen rein weißen Punkt. Dieser gehört zur einzigen Polstelle der Zeta-Funktion in 1, also zu demjenigen Punkt, der sich eine Einheit rechts vom Ursprung befindet und in dem die Zeta-Funktion nicht definiert ist. Die so genannten trivialen Nullstellen liegen auf dem linken Teil der reellen Achse, nämlich in −2, −4, −6, −8 …

Die in obigem Bild verwendete Kolorierung der komplexen Funktionswerte.

Von großer Bedeutung für die Zahlentheorie ist, dass die Zeta-Funktion die eindeutige Zerlegung natürlicher Zahlen in Primfaktoren analytisch, also durch eine geschlossene Formel, ausdrückt. Auf Basis dessen konnte Riemann im Jahr 1859 die sehr enge und nicht offensichtliche Beziehung zwischen den Primzahlen und der Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion nachweisen. Die bis heute (Stand 2019) nicht geklärte Riemannsche Vermutung sagt aus, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil ${\tfrac {1}{2}}$ besitzen, also auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Ob diese Vermutung zutrifft oder nicht ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik.

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine in der ganzen Ebene (mit Ausnahme eines einfachen Pols an der Stelle $s=1$) holomorphe Funktion und erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung. Definiert wird sie üblicherweise über eine Dirichlet-Reihe oder ein dazu äquivalentes Euler-Produkt:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\,{\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.$

Zu beachten ist hier allerdings, dass beide Darstellungen nicht überall gegen einen sinnvollen Wert konvergieren.

Neben ihrer wichtigen zahlentheoretischen Bedeutung findet die Riemannsche Zeta-Funktion auch Anwendung in anderen Disziplinen. Dazu gehören unter anderem die Wahrscheinlichkeitstheorie und die mathematische Physik. Auch gibt es zahlreiche Verallgemeinerungen dieser Funktion, die oft durch Hinzufügen weiterer Variablen entstehen, wie der Polylogarithmus oder die Hurwitzsche Zeta-Funktion.

Wegen der überragenden Bedeutung der Riemannschen Vermutung für die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der Riemannschen ζ-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey.

Einordnung ohne mathematisches Vorwissen

Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4 … beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 …. Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Bereits Euklid konnte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, weshalb die Liste 2, 3, 5, 7, 11 … niemals enden wird.

Die Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig in solche zerlegen lässt. Zum Beispiel ist $21=3\cdot 7$ und $110=2\cdot 5\cdot 11$. Trotz dieser elementaren Eigenschaft ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein einfaches Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eines der größten mathematischen Rätsel.

Auch wenn das detaillierte Verständnis der Sequenz 2, 3, 5, 7 … unerreichbar fern ist, kann man nach Mustern suchen, wenn man den Blick ausweitet. Zum Vergleich stelle man sich vor, dass mit Hilfe statistischer Methoden das Verhalten sehr vieler Menschen (zum Beispiel bezüglich Konsum- und Wahlverhalten) oft überraschend präzise beschrieben werden kann, obgleich ein einzelner Mensch äußerst komplex ist. Das hat grob gesagt damit zu tun, dass größer werdende relevante Datenmengen immer zuverlässigere Informationen liefern. Im Falle der Primzahlen führt eine solche Ausweitung unter anderem zu der Frage, wie viele Primzahlen es unter einer fest gewählten Zahl gibt.

Zum Beispiel sind nur 4 Primzahlen, nämlich 2,3,5 und 7, kleiner als die Zahl 10. Im Falle von 50 gibt es schon 15 kleinere Primzahlen:

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47\leq 50$

Ende des 19. Jahrhunderts konnte ein verblüffend einfaches (allerdings grobes) Beschreibungsmuster für das quantitative Verhalten der Primzahlen unter einer Größe bewiesen werden. Dieses wurde bereits im 18. Jahrhundert vom 15-jährigen Gauß vermutet. Aus diesem lässt sich aus einer gegebenen Zahl die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als diese Zahl sind, schätzen. Das Muster wird relativ betrachtet immer genauer, je größer die obere Schranke gewählt wird. Beispielsweise liefert es für den Wert 50 die Prognose 18 (es sind tatsächlich 15 Primzahlen, siehe oben). Weiter sagt es rund 1246 Primzahlen unter der Zahl 10.000 voraus – tatsächlich sind es 1229.

Das entscheidende Werkzeug zum Beweis dieses schätzungsweise richtigen Musters ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Das besondere an dieser Funktion ist, dass sie das Gesetz der eindeutigen Primfaktorzerlegung in der Sprache der Analysis ausdrückt. Interessanterweise erhöht sich mit dem Wissen um die Zeta-Funktion auch unser Wissen um die Primzahlen, sogar in detaillierteren Fragestellungen. So können viele Primzahltests, wie der von Miller-Rabin unter Annahme der Riemannschen Vermutung bewiesen bzw. verbessert werden. Die Nullstellen der Zeta-Funktion implizieren zudem einen Korrekturterm oberen Musters, der es in einen exakten Ausdruck umwandelt. Jedoch sind praktische Berechnungen mit dieser Formel numerisch nicht sinnvoll.

Die Primzahlen sind nicht nur Gegenstand der mathematischen Grundlagenforschung, sondern haben auch praktische Anwendungen. So kommen beispielsweise bei Kryptosystemen wie der RSA-Verschlüsselung sehr große Primzahlen zum Einsatz.

Geschichte

Im Gegensatz zu den Primzahlen oder der euklidischen Geometrie ist die mathematische Entdeckungsgeschichte der Riemannschen Zetafunktion sehr jung. So sind alle bis heute wesentlichen Entdeckungen zu dieser Funktion in den letzten 350 Jahren gemacht worden. Der Grund dafür ist, dass die notwendigen mathematischen Methoden (insbesondere die komplexe Analysis) noch nicht entwickelt waren. Zum Zeitpunkt ihrer Entdeckung besaß die Zeta-Funktion außerdem noch keinerlei offensichtliche Anwendung in der Praxis. Ein Grund, weshalb sie trotzdem lange vor Riemann die Aufmerksamkeit vieler Mathematiker erhielt, war, dass sie trotz ihrer recht einfachen Definition bei weitem nicht so triviale Eigenschaften besitzt wie beispielsweise die geometrische Reihe.

Leonhard Euler, 1735

Einer der ersten Mathematiker, der sich mit einem Vorläufer der heute definierten Zeta-Funktion intensiv und ausführlich auseinandersetzte, war Leonhard Euler. Seit Beginn des 18. Jahrhunderts versuchten Mathematiker, den exakten Grenzwert der unendlichen Reihe

$1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\ldots$

zu bestimmen. Leonhard Euler, der im Jahre 1735 dieses schwierige Basler Problem mit Hilfe eigener neuartiger Techniken löste, untersuchte anschließend den verallgemeinerten Ausdruck

$\zeta (x)=1+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{4^{x}}}+{\frac {1}{5^{x}}}+\ldots$

(Euler verwendete das „reelle $x$“, die Schreibweise mit komplexer Variablen $s$ wurde erst über Riemann populär) in der Hoffnung, weitere und außerdem weit bedeutendere Aussagen über diese Reihe treffen zu können. Da die Methoden der komplexen Analysis zu Lebzeiten Eulers noch weitgehend unbekannt waren, war er auch noch nicht imstande, das Problem der Primzahlen in der gleichen Weise anzugehen wie später Riemann. Jedoch gelangen ihm einige wichtige Aussagen.

Bernhard Riemann, 1863

So fand er zum Beispiel die Lösung des Basler Problems und die allgemeine Formel

$\zeta (2n)=(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}\ B_{2n}}{2(2n)!}},$

(Euler selbst verwendete noch nicht das $\zeta$ als Funktionssymbol) und berechnete neben $\zeta (2),\zeta (4),\zeta (6),\dots$ von Hand den Wert

$\zeta (26)={\frac {1.315.862}{11.094.481.976.030.578.125}}\pi ^{26}.$

Auch entdeckte Euler das nach ihm benannte Euler-Produkt

$\zeta (x)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{x}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{x}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{x}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{x}}}\right)\cdots }}$

und konnte mit seiner Hilfe die Divergenz der Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\ldots =\infty$

nachweisen. Diese Tatsache war für ihn ein Indikator dafür, dass Primzahlen wesentlich dichter liegen müssten als Quadratzahlen, da er im Basler Problem ja gezeigt hatte, dass die unendliche Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen gegen einen endlichen Grenzwert strebt. Auch die von Riemann später bewiesene Funktionalgleichung soll Euler schon bekannt gewesen sein.

Die erste Seite von Bernhard Riemanns Artikel über Primzahlen

Im Jahr 1859 setzte Bernhard Riemann in seiner Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe die Zeta-Funktion in zentralen Zusammenhang zu den Primzahlen. Die große Leistung bestand darin die Relevanz der Ausweitung des Definitionsbereichs auf komplexe Zahlen zu erkennen. Zwar hatte Euler schon ein Jahrhundert zuvor die Gültigkeit des Euler-Produktes aufgezeigt, jedoch war es erst mit Riemanns Herangehensweise mittels komplexer Zahlen möglich geworden, daraus konkrete Informationen über Primzahlen selbst zu gewinnen. Das ist insofern bemerkenswert, als das Primzahlen reelle Zahlen sind. Riemann, der ein Schüler von Gauß war, schrieb in seiner achtseitigen Arbeit eine funktionentheoretische Interpretation und Auswertung des Euler-Produkts, die einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und den nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion schaffte. Damit war ihm ein völlig neuer Zugang zu dem Primzahl-Rätsel gelungen. Er etablierte das griechische $\zeta$ (Zeta) als Funktionssymbol und formulierte außerdem seine bis heute unbewiesene berühmte Riemannsche Vermutung, die eine wichtige Aussage über die genaue Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion macht. Zudem beschäftigte sich Riemann ebenfalls mit der numerischen Berechnung der Zeta-Funktion und fand sogar die ziemlich genaue Lage einiger nicht-trivialer Nullstellen in der komplexen Ebene, ohne dafür eine Rechenmaschine zu benutzen. Die dafür verwendete Formel wurde später von dem deutschen Mathematiker Carl Ludwig Siegel bei der Auswertung seiner Dokumente wiederentdeckt und wird seit diesem Zeitpunkt Riemann-Siegel-Formel genannt.

Da viele von Riemanns Aufzeichnungen nach seinem Ableben von seiner Haushälterin verbrannt wurden, kann bis heute nur spekuliert werden, wie weit seine Untersuchungen tatsächlich gingen.

Im Jahre 1910 veröffentlichte der indische Mathematiker S. Ramanujan im Journal of the Indian Mathematical Society einen Artikel, in dem unter anderem die folgende Gleichung behauptet wurde:

$1+2+3+4+5+\ldots =-{\frac {1}{12}}.$

Die meisten Mathematiker, die diese Gleichung zu Gesicht bekamen, hatten sie als offensichtlichen Schwachsinn gewertet. So kam es, dass Professor Hill vom University College in London schrieb:

„Mr. Ramanujan ist ein Opfer der Fallstricke des sehr schwierigen Gebietes der divergenten Reihen geworden.“

Als Ramanujan jedoch den britischen Mathematiker Godfrey Harold Hardy in Cambridge brieflich auf seine Theorie aufmerksam machte, wurde diesem in der Gleichung die korrekte Auswertung des Werts $\zeta (-1)$ bewusst, auch wenn sie bezüglich ihrer mathematischen Formalität natürlich inkorrekt war. Hardy war sich sicher, dass Ramanujan, trotz seiner fremden Art, Mathematik zu betreiben, ein Genie sein müsse.

Definition

Die Dirichlet-Reihe ist nur auf der um 1 verschobenen rechten Halbebene definiert. Der für sie undefinierte Bereich, in dem die Reihe divergiert, ist grau dargestellt. Das untere Bild zeigt die analytisch fortgesetzte Zeta-Funktion.

Im Vergleich: die analytische Fortsetzung. Ihre Werte stimmen innerhalb der um 1 verschobenen rechten Halbebene exakt mit denen der Dirichlet-Reihe überein. Jedoch besitzt sie generell Werte für alle $s$ mit $s\not =1$.

Die Zeta-Funktion wird in der Literatur generell über ihre Darstellung als Dirichlet-Reihe definiert.

Für komplexe Zahlen $s=\sigma +it\in \mathbb {C}$, deren Realteil $\sigma$ größer als 1 ist, ist die Zeta-Funktion definiert durch die Dirichlet-Reihe

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\ldots$

Wie man leicht über das Integralkriterium für unendliche Reihen beweist, ist diese Reihe im angegebenen Bereich absolut konvergent. Zudem ist die Konvergenz auf kompakten Teilmengen gleichmäßig, weshalb nach dem Satz von Weierstraß die dargestellte Funktion holomorph ist. Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist diese Darstellung für alle komplexen Zahlen mit Realteil kleiner oder gleich 1 jedoch ungültig. In besonderem Maße wird dies für negative Argumente ersichtlich, wenn man zum Beispiel versuchte, die $\zeta$-Funktion an der Stelle $s=-1$ über die Dirichlet-Reihe auszuwerten. Man hätte dann

${\begin{aligned}\zeta (-1)&={\frac {1}{1^{-1}}}+{\frac {1}{2^{-1}}}+{\frac {1}{3^{-1}}}+{\frac {1}{4^{-1}}}+{\frac {1}{5^{-1}}}+{\frac {1}{6^{-1}}}+{\frac {1}{7^{-1}}}+\ldots \\&=1+2+3+4+5+6+7+\ldots \end{aligned}}$

und diese Reihe hat offensichtlich keinen endlichen Grenzwert.

Die Dirichlet-Reihe wird aufgrund ihrer Einfachheit und ihrer zahlentheoretischen Relevanz (siehe Euler-Produkt) als Basisdefinition verwendet. Mittels analytischer Fortsetzung wird eine sinnvolle Berechnung für alle komplexen Zahlen mit Ausnahme der Zahl $s=1$ möglich. Damit können schließlich auch scheinbar unendlich großen Werten wie $\zeta (-1)$ einen Sinn gegeben werden, es gilt zum Beispiel $\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}$.

Euler-Produkt

Eine wesentliche Eigenschaft der Zeta-Funktion ist ihre Verbindung zu den Primzahlen. Euler, der als Erster diesen Zusammenhang entdeckte, betrachtete dafür das später nach ihm benannte Euler-Produkt, welches für alle $s=\sigma +it$ mit $\sigma >1$ gültig ist:

$\zeta (s)=\prod _{p\ {\text{prim}}}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{p^{3s}}}+\ldots \right)=\prod _{p\ {\text{prim}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ns}}}\right)$

Hierbei stellt jeder einzelne Faktor des Produktes eine geometrische Reihe $\sum q^{n}$ gebildet über den Wert $q=p^{-s}$ dar, während sich das gesamte Produkt über alle Primzahlen $p$ erstreckt. Das Euler-Produkt ist deshalb so erstaunlich, da Primzahlen aufgrund ihrer chaotischen Verteilung sehr schwer in analytischen Ausdrücken unterzubringen sind. Jedoch stellt es eine überraschend einfache Identität zwischen den „chaotischen Primzahlen“ und einer wohlgeordneten Reihe dar. In der Tat, lässt sich das Euler-Produkt als analytische Version des Gesetzes der eindeutigen Primfaktorzerlegung interpretieren.

Zum Beweis betrachtet man für eine Schranke $X\geq 2$ zunächst

$\zeta _{X}(s)=\prod _{p\leq X}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.$

Da jeder Faktor eine geometrische Reihe ist, gilt

$\prod _{p\leq X}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\prod _{p\leq X}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ns}}}=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{j}=0}^{\infty }{\frac {1}{(p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{j}^{n_{j}})^{s}}}$

für alle Primzahlen $2=p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{j}\leq X$. Dann gilt aber auch

$\zeta _{X}(s)=\sum _{n\leq X}{\frac {1}{n^{s}}}+\sum _{n>X}{'}{\frac {1}{n^{s}}},$

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle $n>X$ summiert wird, deren Primteiler sämtlich $\leq X$ sind. Daraus folgt:

$|\zeta (s)-\zeta _{X}(s)|\leq \sum _{n>X}{\frac {1}{n^{\sigma }}}\leq {\frac {1}{X^{\sigma }}}+\int \limits _{X}^{\infty }{\frac {1}{t^{\sigma }}}\mathrm {d} t\leq {\frac {\sigma }{\sigma -1}}X^{1-\sigma },$

und mit $\sigma >1$ und $X\to \infty$ folgt die Behauptung.

Aus der unbedingten Konvergenz des Euler-Produktes folgt unmittelbar, dass $\zeta (s)$ auf der Halbebene $\{s\in \mathbb {C} \mid \sigma >1\}$ keine Nullstellen besitzt. Ferner gilt dort die Identität

$\log \zeta (s)=\sum _{p\in \mathbb {P} }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{np^{ns}}}=s\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,$

woraus Riemann schließlich den für alle $c>1$ gültigen, zahlentheoretisch sehr wichtigen Ausdruck

$\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\log \zeta (s)}{s}}x^{s}\mathrm {d} s$

hervorbringen konnte. Hierbei bezeichnet $\pi (x)$ die Primzahlfunktion, welche zählt, wie viele Primzahlen kleiner als $x$ sind. Die Summe auf der linken Seite liefert für jede Primzahlpotenz $p^{n}<x$ jeweils den Beitrag ${\frac {1}{n}}$, kann also mit $\pi (x)+{\frac {1}{2}}\pi (x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\pi (x^{1/3})+\cdots$ identifiziert werden.

Analytische Fortsetzung

Eine analytische Fortsetzung der im Gebiet $H:=\{s\in \mathbb {C} \mid \sigma >1\}$ durch die Reihe $\sum n^{-s}$ definierten holomorphen Funktion ist eine auf einem größeren Gebiet $H\subsetneq D$ holomorphe Funktion, welche auf ganz $H$ mit dieser übereinstimmt. Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen ist eine solche Fortsetzung stets eindeutig bestimmt.

Obwohl es für den ganz allgemeinen Fall kein konstruktives Verfahren gibt, analytische Fortsetzungen anzugeben, ist es durch die Einfachheit der Dirichlet-Reihe $\sum n^{-s}$ nicht schwierig, eine solche zu finden. Besonders einfach erweist sich dies für die gelochte Halbebene $D=\{s\in \mathbb {C} \mid \sigma >0,s\not =1\}$, mittels der Beobachtung

$(1-2^{1-s})\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots .$

Die Reihe zur rechten konvergiert nachweislich in besagter erweiterten Halbebene und wird in der Literatur auch manchmal als Dirichletsche Eta-Funktion $\eta (s)$ bezeichnet. Für eine weitere holomorphe Ausdehnung des Definitionsbereiches eignen sich nun viele Methoden, welche jedoch nach dem Identitätssatz alle dieselbe Funktion darstellen. Eine davon bietet die Anwendung der Eulerschen Reihentransformation auf die obere alternierende Reihe. Man erhält damit eine 1930 von Konrad Knopp veröffentlichte und auf ganz $\mathbb {C} \setminus \{2\,\pi \,i\,m/\log 2+1;\;m\in \mathbb {Z} \}$ definierte Reihenidentität

$\zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(k+1)^{-s}.$

Diese wurde von Helmut Hasse bewiesen. Es ist zu beachten, dass die anderen Singularitäten $2\,\pi \,i\,m/\log 2+1$ mit $m\not =0$ sämtlich hebbar sind.

Funktionalgleichung

Im Folgenden bezeichnet $\Gamma (\cdot )$ die Gammafunktion, die die Fakultät auf komplexe Zahlen verallgemeinert. Auf ganz $\mathbb {C}$ gilt als Identität zwischen meromorphen Funktionen

$\zeta (1-s)={\frac {2}{(2\pi )^{s}}}\ \cos {\frac {\pi s}{2}}\ \Gamma (s)\ \zeta (s).$

Aus dieser geht durch einfache Umformung die alternative Darstellung

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin {\frac {\pi s}{2}}\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)$

für alle $s\in \mathbb {C} \setminus \lbrace {0,1\rbrace }$ hervor. Oft wird auch die symmetrische Variante der Funktionalgleichung, nämlich

$\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\ \pi ^{-s/2}\ \zeta (s)=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\ \pi ^{(s-1)/2}\ \zeta (1-s),$

in der Literatur zitiert. Man beachte die Invarianz, die unter der Variablentransformation $s\mapsto 1-s$ entsteht.

Die Funktionalgleichung schafft einen Zusammenhang zwischen bedeutenden mathematischen Funktionen und zieht wichtige Resultate nach sich. So bietet sie beispielsweise wertvolle Erkenntnisse über die Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion, die in direktem Zusammenhang zu den Primzahlen stehen.

Alternativ zu der obigen Funktionalgleichung definierte Riemann in seiner Arbeit die Funktion

$\xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\ \zeta (s),$

für die

$\!\ \xi (s)=\xi (1-s)$

gilt. Sie wird auch als Riemannsche Xi-Funktion bezeichnet.

Ein Herleitungsansatz für die Funktionalgleichung befindet sich im Abschnitt Beziehung zur Thetafunktion.

Eigenschaften

Meromorphie, Singularitäten und Laurent-Reihe

Die $\zeta$-Funktion ist eine in ganz $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ holomorphe Funktion, das bedeutet, dass sie an allen Stellen außer $s=1$ komplex differenzierbar ist.

Ihre $k$ -te Ableitung besitzt für Argumente $s$ mit Realteil größer als 1 die Darstellung:

$\zeta ^{(k)}(s)=(-1)^{k}\,\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(\log n)^{k}}{n^{s}}}.$

An der Stelle $s=1$ besitzt sie, aufgrund der Divergenz der harmonischen Reihe, einen Pol erster Ordnung mit Residuum 1, das heißt, es gilt:

$\lim _{s\to 1}\,(s-1)\cdot \zeta (s)=1.$

Also ist sie eine in ganz $\mathbb {C}$ meromorphe Funktion. Insbesondere kann sie um $s=1$ in eine Laurent-Reihe mit Konvergenzradius $R=\infty$ entwickelt werden, diese hat die Form

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum \limits _{\nu =0}^{\infty }{\frac {(-1)^{\nu }}{\nu !}}\,\gamma _{\nu }\,(s-1)^{\nu }.$

Bei den Koeffizienten

$\gamma _{\nu }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\log ^{\nu }k}{k}}-{\frac {\log ^{\nu +1}n}{\nu +1}}\right)$

handelt es sich um die Stieltjes-Konstanten, wobei $\gamma _{0}=\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante ist, für die sich daraus insbesondere der Ausdruck

$\gamma =\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)$

ergibt.

Asymptotisches Verhalten

Für unbegrenzt größer werdende Realteile hat die Zeta-Funktion ein leicht zu bestimmendes asymptotisches Verhalten, es gilt

$\lim _{\operatorname {Re} s\to \infty }\,\zeta (s)=\lim _{\sigma \to \infty }\zeta (\sigma +it)=1.$

Dies folgt unmittelbar aus der gleichmäßigen Konvergenz der Dirichlet-Reihe in den Bereichen $\mathrm {Re} (s)\geq 1+\varepsilon$ und Vertauschung von Limes und Summation:

$\lim _{\sigma \to \infty }\zeta (\sigma +it)=\lim _{\sigma \to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\sigma +it}}}=1+\lim _{\sigma \to \infty }\left(\underbrace {\frac {1}{2^{\sigma +it}}} _{\to 0}+\underbrace {\frac {1}{3^{\sigma +it}}} _{\to 0}+\underbrace {\frac {1}{4^{\sigma +it}}} _{\to 0}+\ldots \right)={1+0}=1.$

Vergleiche hierzu auch den komplexen Graphen der Zeta-Funktion zu Beginn des Artikels, der in Richtung der positiven reellen Achse zunehmend konstant rot gefärbt ist.

Wachstumsgesetze entlang der vertikalen imaginären Achse sind, falls vorhanden, deutlich schwerer zu sondieren. Jedoch sind einige Abschätzungen bekannt. Mit Hilfe des Phragmen-Lindelöf Prinzips zeigt man

$|\zeta (\sigma +it)|<K|t|^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\sigma }\log(|t|+2)$

für feste Werte $0\leq \sigma \leq 1$ und alle $t$. Dabei ist $K$ eine positive Konstante. Diese Abschätzung kann jedoch vermutlich weiter verbessert werden. Setzt man zu diesem Zweck

$\mu (\sigma ):=\inf\{c\mid |\zeta (\sigma +it)|\ll |t|^{c}\}$

so wird zum Beispiel vermutet, dass $\mu ({\tfrac {1}{2}})=0$ ist. Diese lindelöfsche Vermutung folgt aus der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung, ist aber bis heute unbewiesen.

Spiegelung konjugierter Argumente

Hinweis: Diese ist keine nur für die Zeta-Funktion spezifische Eigenschaft, spielt aber bezüglich der Verteilung der Nullstellen eine wichtige Rolle, weshalb sie trotzdem ausführlicher erwähnt wird.

Zu einer komplexen Zahl $s=a+bi$ definiert man ihre Konjugation über ${\bar {s}}=a-bi$. Es gilt nun für alle $s\in \mathbb {C} \setminus \{1\}$:

$\zeta ({\bar {s}})={\overline {\zeta (s)}}.$

Das bedeutet: Wenn für ein reelles Zahlenpaar $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a+bi\not =1$

$\!\ \zeta (a+bi)=c+di$

mit $c,d\in \mathbb {R}$ gilt, so gilt gleichzeitig

$\!\ \zeta (a-bi)=c-di.$

Das sieht man unmittelbar mit $n^{-{\overline {s}}}={\overline {n^{-s}}}$ – im Falle der analytischen Fortsetzung ist dies mit der Reihentransformation weiterhin erfüllt. Ist nun $s=\sigma +it$ eine Nullstelle, so gilt insbesondere

$\zeta (\sigma +it)=\zeta (\sigma -it)=0$

weshalb $\sigma -it$ ebenfalls Nullstelle ist.

Charakterisierung durch Hamburger

Im Jahre 1921 gelang es Hans Hamburger, die Riemannsche Zeta-Funktion anhand ihrer Funktionalgleichung wie folgt zu charakterisieren.

Es sei $f(s)={\frac {G(s)}{P(s)}}$, wobei $G(s)$ eine ganze Funktion endlicher Ordnung und $P(s)$ ein Polynom ist, für $\mathrm {Re} (s)>1$ durch die Dirichlet-Reihe $f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ darstellbar. Ferner gelte die Funktionalgleichung

$f(s)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=g(1-s)\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}},$

wobei $g(s)$ ebenfalls auf der Halbebene $\mathrm {Re} (s)>1$ als Dirichlet-Reihe $g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}$ darstellbar sei. Dann folgt bereits die Identität $f(s)=g(s)=a_{1}\zeta (s)$.

Jede auf dem kritischen Streifen $S$ definierte und in einem Gebiet $U$ nullstellenfreie holomorphe Funktion wird beliebig genau approximiert.

Die Zeta-Funktion verhält sich im kritischen Streifen sehr chaotisch. Hier ein Ausschnitt für 1/2 < Re(s) < 1; 103 < Im(s) < 109.

Universalitätssatz von Woronin

Nach dem Universalitätssatz von Woronin ist die Riemannsche $\zeta$-Funktion imstande, jede beliebige (holomorphe) Funktion in einer nullstellenfreien Kreisscheibe mit Radius 1/4 beliebig genau zu approximieren.

Als anschaulichen Vergleich stelle man sich dafür vor, dass es für jede (holomorphe) Funktion eine Art „Landkarte“ gibt, die Höhen und Tiefen sowie Himmelsrichtung der Funktionswerte in der komplexen Ebene darstellt. Der Universalitätssatz besagt nun, dass man, wenn man die Landkarte der Zeta-Funktion in einem bestimmten unendlichen Bereich scannen würde, früher oder später auf Gebiete stieße, die Ausschnitten der Landkarten anderer Funktionen, also mitsamt allen darin eingetragenen „Bergen“ und „Tälern“, sehr ähneln – ja, sogar beliebig genau ähneln. Als einzige Voraussetzung gelte hierbei jedoch, dass auf dem Kartenausschnitt der fremden Funktion nie der Wert 0 eingetragen sei.

Formal ausgedrückt: sei $U$ eine zusammenhängende, kompakte Teilmenge des Streifens $S:=\{s\in \mathbb {C} \mid 1/2<\operatorname {Re} s<1\}$.

Sei $f\colon U\to \mathbb {C}$ nun eine in ganz $U$ holomorphe Funktion, die außerdem für kein $s\in U$ verschwinde. Es existiert dann für jedes $\epsilon >0$ ein $t\geq 0$, sodass

$|\zeta (s+it)-f(s)|<\epsilon$

für alle $s\in U$. Wenn es nun kein $t$ gibt, derart dass $\zeta (s+it)=f(s)$ ist, die Approximation also nicht perfekt möglich ist und trotzdem immer besser werden soll, indem $\epsilon$ immer kleiner wird, muss $t_{\epsilon }$ immer größer werden. Dabei kann $\lim _{\epsilon \to 0}\zeta (s+it_{\epsilon })$ nicht den Limes $f(s)$ haben, sondern höchstens ein Häufungspunkt sein.

Es gilt sogar noch mehr: die Dichte aller $t$, die eine Approximation erfüllen, ist positiv, wie folgende Ungleichung

$0<\liminf _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\,\lambda \!\left(\left\{t\in [0,T]\mid \max _{s\in U}\left|\zeta (s+it)-f(s)\right|<\varepsilon \right\}\right),$

beweist. Hier ist $\lambda$ das Standard-Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen.

Mellin-Transformation – die Verbindung zur Gamma-Funktion

Die nach der Definition als Dirichlet-Reihe und dem Euler-Produkt wohl elementarste und wichtigste Darstellung der Zeta-Funktion ist die sogenannte Mellin-Transformation. Dabei wird die Zeta-Funktion über ein unendliches Integral ausgedrückt.

Grundlage dieser Darstellung ist das eulersche Integral für die Gamma-Funktion

$\Gamma (s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}x^{s-1}\mathrm {d} x,$

aus welchem nach der Substitution $x=tn$ mit $n=1,2,3,...$ und Division durch $n^{s}$ nach beidseitigem Summieren der Ausdruck

$\zeta (s)\Gamma (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }e^{-nt}t^{s-1}\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}\mathrm {d} t$

hervorgeht. Dieser gilt naturgemäß nur auf der Halbebene $\{s\in \mathbb {C} \mid \sigma >1\}$. Zu beachten ist jedoch, dass der Integrand neben der Kernfunktion $t^{s-2}$ eine um $t=0$ analytische Funktion ist:

${\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{\nu !}}t^{\nu }.$

Diese Tatsache schafft eine enge Beziehung zwischen Zeta-Funktion und den Bernoulli-Zahlen $B_{\nu }$. Durch sukzessives Abspalten der Taylor-Polynome von ${\frac {t}{e^{t}-1}}$ im Integrationsintervall von 0 bis 1 kann die Zeta-Funktion auf ganz $\mathbb {C} \setminus \{1,0-1,...\}$ fortgesetzt werden:

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\left({\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{2s}}+\sum \limits _{\nu =2}^{\infty }{\frac {\mathrm {B} _{\nu }}{\nu !}}{\frac {1}{s+\nu -1}}+\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\right).$

Dabei wird ausgenutzt, dass $1/\Gamma (s)$ eine ganze Funktion ist. Wertet man die hebbaren Singularitäten (durch Limesbildung) and den Stellen $s=0,-1,-2,...$ aus, offenbart sich der enge Zusammenhang zwischen $\zeta (-n)$ und den Bernoulli-Zahlen.

Eng verwandt zur oberen Transformation ist eine Kurvenintegraldarstellung. Diese wurde von Riemann selbst verwendet, um die Zeta-Funktion in die komplexe Ebene fortzusetzen. Indem er den Integrationsweg des Mellin-Integrals aus dem oberen Abschnitt modifizierte, konnte Riemann für alle $s\in \mathbb {C} \setminus \{1\}$

$2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{C}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x,$

herleiten, wobei "der Integrationsweg $C$ von +∞ nach +∞ verläuft und den Ursprung einmal umläuft". Gemeint ist damit ein Weg, der von +∞ knapp über der reellen Achse parallel Richtung Ursprung verläuft, diesen entgegen Uhrzeigerrichtung umkreist, und anschließend unterhalb der reellen Achse wieder zu +∞ strebt.

Über eine inverse Mellin-Transformation lässt sich oberer Integrand aus der Zeta-Funktion zurück gewinnen. Es gilt für jede reelle Zahl $c>1$ und alle $\mathrm {Re} \ x>0$:

${\frac {1}{e^{x}-1}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)\zeta (s)x^{-s}\mathrm {d} s.$

Der tiefe Zusammenhang zwischen der Zeta-Funktion und der Fakultät wurde bereits von Euler beobachtet, jedoch nicht mathematisch rigoros ausgearbeitet.

Spezielle Funktionswerte

Funktionswerte für gerade natürliche Zahlen

Die Funktionswerte der Riemannschen Zeta-Funktion für positive gerade Zahlen haben eine enge Beziehung zur Kreiszahl $\pi$. Für eine positive ganze Zahl $n$ ist

$\zeta (2n)=(-1)^{n-1}\,{\frac {(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}\,\mathrm {B} _{2n},$

wobei $\mathrm {B} _{2n}$ die $2n$-te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Somit lässt sich jeder Funktionswert $\zeta (2n)$ in der Form

$\zeta (2n)=\left({\frac {p}{q}}\right)\pi ^{2n}$

schreiben, wobei $p$ und $q$ ganze Zahlen sind. Daraus folgt auch sofort, dass jeder Wert $\zeta (2n)$ für natürliche Zahlen $n$ irrational und sogar transzendent ist.

Beispielsweise ist

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}},\quad \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}.$

Diese Formeln wurden von Euler entdeckt und 1735 in seiner Arbeit De Summis Serierum Reciprocarum erstmals veröffentlicht. Das Auffinden des Werts von $\zeta (2)$ ist auch als das Basler Problem bekannt.

Daneben gibt es auch die bemerkenswerte Rekursionsformel

$\zeta (2n)={\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\cdot \sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\cdot \zeta (2(n-k))$

für natürliche Zahlen $n>1$, die Euler noch nicht bekannt war.

Funktionswerte für ungerade natürliche Zahlen

Über den Wert der Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen ist nur sehr wenig bekannt. Beispielsweise weiß man, dass die Apéry-Konstante $\zeta (3)$ irrational ist, was 1979 von dem französischen Mathematiker Roger Apéry bewiesen wurde. Sein Beweis fand große Achtung in den Mathematikerkreisen – z. B. zitierte Carl Ludwig Siegel:

„Man kann den Beweis nur wie einen Kristall vor sich hertragen“

– mündlich durch Wilhelm Maak überliefert

Im Wesentlichen verwendete Apéry die Reihe

$\zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}{2k \choose k}}}$

mit rationalen Gliedern. Es gilt hingegen auch $\zeta (2)=3\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}{2k \choose k}}}$. Somit geriet die Frage nach der Existenz rationaler Zahlen $\lambda _{2n+1}$ mit

$\zeta (2n+1)=\lambda _{2n+1}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{2n+1}{2k \choose k}}}$

oder auch

$\zeta (2n+1)=\lambda _{2n+1}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n+1}{2k \choose k}}}$

zunehmend in den Mittelpunkt, um Aperys Beweismethode gegebenenfalls auch auf andere Zeta-Werte anwenden zu können. Diese ist bis heute nicht geklärt, aber Gegenstand intensiver Forschung.

Es ist hingegen sehr wohl bekannt, dass unendlich viele Werte $\zeta (2n+1)$ irrational sind. Außerdem konnte Wadim Zudilin als Spezialfall zeigen, dass mindestens einer der Werte $\zeta (5)$, $\zeta (7)$, $\zeta (9)$ und $\zeta (11)$ irrational sein muss.

Um 1900 fand Matyáš Lerch einen besonders eleganten Ausdruck für $\zeta (3)$:

$\zeta (3)={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}.$

Durch Arbeiten von Lerch und S. Ramanujan inspiriert, entwickelte der Kanadier Simon Plouffe ab 1995 weitere Ausdrücke dieser Art:

$\zeta (5)={\frac {\pi ^{5}}{294}}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}},$

$\zeta (7)={\frac {19\pi ^{7}}{56\,700}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}.$

Diese Ausdrücke eignen sich für eine effiziente Berechnung der Zetawerte sehr gut, da die einbezogenen Reihen äußerst schnell konvergieren.

Eine allgemeine Formel für alle ungeraden positiven ganzen Zahlen der Form $n=4m-1$ mit $m=1,2,3,4,\dots$ ist:

$\zeta (4m-1)=-{\frac {1}{2}}(2\pi )^{4m-1}\sum _{j=0}^{2m}(-1)^{j}{\frac {\mathrm {B} _{2j}}{(2j)!}}{\frac {\mathrm {B} _{4m-2j}}{(4m-2j)!}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4m-1}(e^{2\pi n}-1)}},$

wobei $\mathrm {B} _{2j}$ die $2j$-te Bernoulli-Zahl ist. Dies vereinfacht sich zu einer alternativen Darstellung, die Zeta-Werte gerader Argumente mit einschließt:

$\zeta (4m-1)=-{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=0}^{2m}(-1)^{n}\zeta (2n)\zeta (4m-2n)-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4m-1}(e^{2\pi n}-1)}}.$

Somit lässt sich jeder Wert $\zeta (4m-1)$ in der Form

$\zeta (4m-1)={\frac {p}{q}}\pi ^{4m-1}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4m-1}(e^{2\pi n}-1)}}$

mit ganzen Zahlen $p$ und $q$ schreiben, was, ähnlich bei den Werten gerader Funktionsargumente, eine engere Verwandtschaft zwischen $\zeta (4n-1)$ und $\pi ^{4n-1}$ impliziert. Es ist jedoch bis heute ungeklärt, ob einer der Werte $\zeta (2n+1)$ als rationales Vielfaches von $\pi ^{2n+1}$ darstellbar ist.

Es gibt noch eine Multiintegraldarstellung für natürliche Argumente. Für alle $n\in \mathbb {N} \setminus \{1\}$ erhält man:

$\zeta (n)=\underbrace {\int \limits _{0}^{1}\dotsi \int \limits _{0}^{1}} _{n{\text{-mal}}}{\frac {1}{1-x_{1}\dotsm x_{n}}}\,\mathrm {d} x_{1}\,\dotso \,\mathrm {d} x_{n}.$

So bekommt man unter anderem:

$\zeta (2)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1-x_{1}x_{2}}}\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2},\quad \zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1-x_{1}x_{2}x_{3}}}\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\mathrm {d} x_{3}$

Dies beweist man leicht durch die Auffassung des Integranden als Grenzwert der geometrischen Reihe und Vertauschung von Integration und Summation.

2n + 1	ζ(2n + 1)	OEIS Folge
3	1,2020569031595942853997381…	Folge A002117 in OEIS
5	1,0369277551433699263313654…	Folge A013663 in OEIS
7	1,0083492773819228268397975…	Folge A013665 in OEIS
9	1,0020083928260822144178527…	Folge A013667 in OEIS
11	1,0004941886041194645587022…	Folge A013669 in OEIS
13	1,0001227133475784891467518…	Folge A013671 in OEIS
15	1,0000305882363070204935517…	Folge A013673 in OEIS
17	1,0000076371976378997622736…	Folge A013675 in OEIS
19	1,0000019082127165539389256…	Folge A013677 in OEIS

Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen

Im Gegensatz zu den Zeta-Werten positiver ganzer Argumente, über die im Falle der ungeraden Werte bis heute nahezu nichts bekannt ist, sind die Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen sämtlich bekannt. Insbesondere sind sie alle rational. Sie hängen, wie die Zeta-Werte gerader positiver Zahlen, sehr eng mit den Bernoulli-Zahlen zusammen.

Aus der Funktionalgleichung und Eulers Formel für gerade Zeta-Werte gelangt man für eine natürliche Zahl $n>0$ zu:

$\zeta (1-2n)={\frac {2}{(2\pi )^{2n}}}\,\cos(\pi n)\,(2n-1)!\,(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}\mathrm {B} _{2n}=-{\frac {\mathrm {B} _{2n}}{2n}}.$

Aus $\mathrm {B} _{n}=0$ für ungerade n sowie

$\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\ldots =0$,

was ebenfalls aus der Funktionalgleichung folgt, geht schließlich die für alle natürlichen Zahlen $k>0$ gültige Darstellung

$\zeta (1-k)=-{\frac {\mathrm {B} _{k}}{k}}$

hervor. Weitere Werte sind:

$\zeta (0)=-{\frac {1}{2}},\quad \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}},\quad \zeta (-3)={\frac {1}{120}}.$

Bezüglich des Wertes $\zeta (-1)$ schrieb der indische Mathematiker S. Ramanujan in einem seiner Artikel die (formal natürlich inkorrekte) Gleichung:

$1+2+3+4+5+\ldots =-{\frac {1}{12}},$

siehe auch im Abschnitt Geschichte.

Funktionswerte für halbzahlige Argumente

Für die Funktionswerte für halbzahlige Argumente gilt:

$\zeta (1/2)=-1{,}46035\ 45088\ 09586\ 81288\ 94991\ldots$   (Folge A059750 in OEIS),

$\zeta (3/2)=2{,}61237\ 53486\ 85488\ 34334\ 85675\ldots$   (Folge A078434 in OEIS).

Dieser Wert wird u. a. in der Physik bei der Berechnung der kritischen Temperatur für die Ausbildung eines sogenannten Bose-Einstein-Kondensats und in der Spinwellen-Theorie bei magnetischen Systemen benötigt.

$\zeta (5/2)=1{,}34148\ 72572\ 50917\ 17975\ 67696\ldots$

$\zeta (7/2)=1{,}12673\ 38673\ 17056\ 64642\ 78124\ldots$

2017 gab Franke folgende Identität für halbzahlige Funktionswerte:

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{d|n}\sigma _{-3}(n/d)\sigma _{-3}(d)d^{-1/2}\right)\left(e^{-2\pi {\sqrt {n}}}-{\frac {1}{32}}e^{-8\pi {\sqrt {n}}}\right)=A+B+C+D+E,$

mit $A={\frac {511}{92160}}\pi ^{2}\zeta (3/2)\zeta (9/2)$, $B={\frac {1}{288}}\pi ^{3}\zeta (3/2)\zeta (5/2)$, $C=-{\frac {7}{32}}\zeta (3/2)\zeta (5/2)\zeta (3)$, $D={\frac {127}{11520}}\pi ^{3}\zeta (1/2)\zeta (7/2)$ und $E=-{\frac {31}{64}}\zeta (1/2)\zeta (7/2)\zeta (3)$.

Spezielle Werte der Ableitung

Für alle negativen ganzen Zahlen $-2n=-2,-4,-6,-8,\dotsc$ erhält man insbesondere:

$\zeta '(-2n)=(-1)^{n}{\frac {\zeta (2n+1)(2n)!}{2^{2n+1}\ \pi ^{2n}}}.$

Daraus ergeben sich unter anderem die Werte:

$\zeta '(-2)=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}},\quad \zeta '(-4)={\frac {3\zeta (5)}{4\pi ^{4}}},\quad \zeta '(-6)=-{\frac {45\zeta (7)}{8\pi ^{6}}}.$

Andere Werte sind:

$\zeta '(0)=-{\frac {1}{2}}\log 2\pi ,\quad \zeta '(-1)={\frac {1}{12}}-\log A,$

wobei $A$ hier die Glaisher-Kinkelin-Konstante bezeichnet.

Nullstellen

Die ersten "trivialen" Nullstellen der $\zeta$-Funktion.

Neben den trivialen Nullstellen bei s = −2, −4, −6 … besitzt die riemannsche Zeta-Funktion auch nicht-triviale im kritischen Streifen. Potenzielle Nullstellenpaare sind hier sporadisch eingezeichnet: aufgrund der Invarianz der Funktionalgleichung über s nach 1−s und der Spiegelung von Funktionswerten komplex konjugierter Argumente an der reellen Achse treten die Nullstellenpaare jeweils doppelt (also gespiegelt) auf. Nur wenn die Riemannvermutung richtig ist, treffen sich alle horizontalen Paare auf der kritischen Geraden σ = 1/2.

Blau ist der Realteil und rot der Imaginärteil der Funktion $\zeta (1/2+ix)$ dargestellt, so dass man klar die ersten nichttrivialen Nullstellen erkennen kann.

Die Lage der Nullstellen der riemannschen Zeta-Funktion hängt stark mit der Verteilung der Primzahlen zusammen. Beispielsweise folgt aus der Aussage, dass $\zeta (1+it)\not =0$ für alle $t\in \mathbb {R}$ bereits der Primzahlsatz.

Triviale Nullstellen

Aus der Darstellung als Euler-Produkt kann man leicht folgern, dass $\zeta (s)\not =0$ für $\operatorname {Re} s>1$ gilt. Zusammen mit der Funktionalgleichung ergibt sich, dass die einzigen Nullstellen außerhalb des kritischen Streifens

$\{s\in \mathbb {C} \mid 0\leq \operatorname {Re} s\leq 1\}$

die „trivialen“ Nullstellen $-2,-4,-6,\ldots$ sind.

Nicht-triviale Nullstellen

Neben den trivialen Nullstellen besitzt die Zeta-Funktion weitere Nullstellen im kritischen Streifen $S=\{s\in \mathbb {C} \mid 1\geq \operatorname {Re} s\geq 0\}$. Diese werden auch als nicht-triviale Nullstellen bezeichnet. Das hat den Grund, dass bis heute nur sehr wenig über die genaue Lage dieser Nullstellen bekannt ist. Dies hat unter anderem den Grund, dass das Euler-Produkt in dieser Region nicht mehr konvergiert.

Nullstellenfreie Regionen

Bereits Ende des 19. Jahrhunderts konnte mit Hilfe eines einfachen Widerspruchsbeweises gezeigt werden, dass die Zeta-Funktion keine Nullstellen auf der Geraden $\mathrm {Re} (s)=1$ besitzt. Diese nullstellenfreie Region konnte (teils mit großem analytischen Aufwand) verbessert werden. Das bis heute schärfste nullstellenfreie Gebiet ist für $|t|>3$ gegeben durch:

$\sigma \geq 1-{\frac {1}{57.54(\log {|t|})^{\frac {2}{3}}(\log {\log {|t|}})^{\frac {1}{3}}}}.$

Solche Verbesserungen führen (in verallgemeinerter Form für Dirichletsche L-Funktionen) unter anderem zum Satz von Siegel-Walfisz.

Spiegelung der Nullstellen

Die Funktionalgleichung der Zeta-Funktion und ihre grundlegende Spiegelungseigenschaft bezüglich konjugierter Argumente implizieren ein paarweises Auftreten der nicht-trivialen Nullstellen. Ist z. B. $\rho$ eine Nullstelle im kritischen Streifen, so ist aufgrund der Funktionalgleichung

$0=\Gamma \left({\frac {\rho }{2}}\right)\pi ^{-\rho /2}\zeta (\rho )=\Gamma \left({\frac {1-\rho }{2}}\right)\pi ^{(\rho -1)/2}\zeta (1-\rho )$

auch $1-\rho$ Nullstelle. Zusätzlich aber ist $0=\zeta (\rho )={\overline {\zeta ({\overline {\rho }})}}$, weshalb auch ${\overline {\rho }}$ Nullstelle ist; analog aber auch ${\overline {1-\rho }}=1-{\overline {\rho }}.$ Zu bemerken ist, dass alle Werte $\rho ,1-\rho ,{\overline {\rho }}$ und $1-{\overline {\rho }}$ im kritischen Streifen liegen, dort zu einem Rechteck verbunden werden können und somit quasi ein Nullstellen-Doppelpaar bilden.

Ist jedoch die Riemannsche Vermutung richtig, so liegen alle Nullstellen auf der Geraden $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$, wobei dann stets $\rho =1-{\overline {\rho }}$ bzw. ${\overline {\rho }}=1-\rho$ gilt.

Asymptotische Verteilung

Das Verteilungsmuster der Nullstellen entlang des kritischen Streifens ist nicht vollkommen zufällig. Ähnlich wie bei den Primzahlen, die auf den ersten Blick völlig willkürlich unter den natürlichen Zahlen verstreut sind, lässt sich auch hier eine einfache Funktion finden, die zumindest asymptotisch die Streuung darstellt und nachvollzieht. So kann man für eine gegebene Zahl $T$ ein annäherndes Ergebnis auf die Frage finden, wie viele Nullstellen sich im Bereich zwischen der reellen Achse und der Gerade $\operatorname {Im} s=T$ werden finden lassen. Riemann gab in seiner Arbeit diese Formel zur asymptotischen Verteilung der nicht-trivialen Nullstellen erstmals an. Er behauptete, die Anzahl $N(T)$ der Nullstellen innerhalb des Rechtecks $R=\{s\in \mathbb {C} \mid 0\leq \operatorname {Re} s\leq 1,0\leq \operatorname {Im} s\leq T\}$ erfülle die asymptotische Äquivalenz

$N(T)\sim {\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}$

wobei der relative Fehler die Größenordnung $\log T$ besitzt. Seinen Gedankengang begründete er über eine Auswertung des nullstellenzählenden Integrals

$N(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial R}{\frac {\xi '(s)}{\xi (s)}}\mathrm {d} s={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log T),$

wobei $\xi (s)$ die riemannsche Xi-Funktion bezeichnet, die insbesondere dieselben Nullstellen im kritischen Streifen besitzt wie die Zeta-Funktion. Unglücklicherweise fand sich in seinen Aufzeichnungen aber kein einziger Hinweis, wie er dieses Integral berechnet hatte. Da Riemann ein Genie auf dem Gebiet funktionentheoretischer Umformungen war, geht man davon aus, dass er die Auswertung schlicht für zu trivial hielt, um sie detailliert zu erklären. Das hatte zur Folge, dass Riemanns Herleitung noch Jahre nach ihrer Veröffentlichung nur als Vermutung akzeptiert werden konnte. Auch bezüglich anderer Aussagen fehlte es der Nachwelt an Beweisen. Riemann ging nämlich noch weiter und behauptete die wesentlich stärkere Aussage, dass die Anzahl der Nullstellen auf der kritischen Geraden $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$ ebenfalls ungefähr bei seiner Auswertung von $N(T)$ läge. Bis heute kann nur spekuliert werden, wie er es schaffen konnte, solch eine starke Aussage mit seinen Mitteln herzuleiten. Erst über 50 Jahre später konnte Mangoldt beweisen, dass Riemann zumindest bei seiner Angabe der Nullstellen im Rechteck $R$ recht gehabt hatte. Riemanns Aussagen über die Verteilung der Nullstellen auf der kritischen Gerade sind jedoch wesentlich schwerer zu beweisen. Erst durch Arbeiten von Hardy, Littlewood, Selberg und Levinson im 20. Jahrhundert gelangen erste wichtige Einblicke und Erfolge.

Lage auf der kritischen Geraden

Godfrey Harold Hardy

Atle Selberg

Im Jahr 1914 konnte Godfrey Harold Hardy zeigen, dass unendlich viele nicht-triviale Nullstellen auf der kritischen Geraden $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$ liegen. In seinem damals revolutionären Beweis machte er sich zu nutze, dass für alle reellen Zahlenwerte $t$ der Ausdruck

$\textstyle \xi \left({\frac {1}{2}}+it\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}+it\right)\left(it-{\frac {1}{2}}\right)\pi ^{-1/4-it/2}\ \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)$

nur reelle Funktionswerte annimmt. Dies vereinfachte das Problem auf die zu klärende Existenz unendlich vieler Nullstellen einer reellwertigen Funktion. Der durch Widerspruch geführte Beweis zeigt auf, dass $\xi \left({\frac {1}{2}}+it\right)$ für $t\to \infty$ unendlich oft sein Vorzeichen wechseln muss, was schon zeigt, dass $\zeta (s)$ unendlich viele Nullstellen auf $\operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}$ besitzt. 1921 verbesserte Hardy zusammen mit seinem Freund und Kollegen John Edensor Littlewood die Aussage auf das wesentlich stärkere Resultat, dass für ausreichend große Werte $T$ die Anzahl der Nullstellen auf der kritischen Geraden im Segment $\left\{{\frac {1}{2}}+it,0\leq t\leq T\right\}$ mindestens $KT$ beträgt, wobei $K$ eine positive Konstante bezeichnet. Selberg verbesserte dieses Ergebnis 1942 auf $KT\log T$. Für diesen und andere Beiträge wurde er im Jahre 1950 mit der Fields-Medaille geehrt.

Anfang der 1970er konnte Levinson zeigen, dass mindestens ein Drittel der nicht-trivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen muss. Sein nur knapp dreiseitiger Beweis wird als wichtiger Schritt in Richtung einer noch unbekannten Lösung der riemannschen Vermutung gesehen.

Approximation der Primzahlfunktion im Intervall [200, 230] durch die ersten 500 Nullstellen. Der Index $k$ in dieser Animation steht für die Anzahl der Nullstellenpaare, die in der obigen Summe eingesetzt werden.

Explizite Berechnung der Primzahlfunktion

Über die nicht-trivialen Nullstellen kann der Wert der Primzahlfunktion $\pi (x)$ an der Stelle $x$ explizit und exakt berechnet werden. Riemann führt die zahlentheoretische Funktion

$\Pi (x):=\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}$

ein (in seinem Artikel $f(x)$, in anderer Literatur auch $J(x)$), wandelt sie um in

$\Pi (x)=\mathrm {Li} (x)-\sum _{\rho }\mathrm {Li} (x^{\rho })-\log 2+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t(t^{2}-1)\log t}}$

und kommt zu

$\pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})\pm \cdots ,$

wobei $\operatorname {Li} (x)$ den Integrallogarithmus und $\mu (n)$ die Möbiusfunktion bezeichnet. Bezüglich Konvergenz ist zu beachten, dass die Summe $\sum _{\rho }$ die Nullstellen nach ihrer Konjugation paarweise addiert. Des Weiteren sind die Terme in der Summe als $\mathrm {Li} (x^{\rho })=\mathrm {Ei} (\rho \log x)$ zu verstehen (hier bezeichnet $\mathrm {Ei}$ die (komplexe) Integralexponentialfunktion), denn: Verwechslungen können bei der Auswertung von $x^{\rho }$ über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus entstehen!

Numerische Werte der frühen Nullstellen

→ Hauptartikel: Liste nicht-trivialer Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion

Die Imaginärteile der „ersten“ Nullstellen sind beispielsweise

±k	±Im ρk	±k	±Im ρk
1	14,134725141734693790…	11	52,970321477714460644…
2	21,022039638771554993…	12	56,446247697063394804…
3	25,010857580145688763…	13	59,347044002602353079…
4	30,424876125859513210…	14	60,831778524609809844…
5	32,935061587739189690…	15	65,112544048081606660…
6	37,586178158825671257…	16	67,079810529494173714…
7	40,918719012147495187…	17	69,546401711173979252…
8	43,327073280914999519…	18	72,067157674481907582…
9	48,005150881167159727…	19	75,704690699083933168…
10	49,773832477672302181…	20	77,144840068874805372…

Über die Eigenschaften dieser Imaginärteile (Irrationalität, Transzendenz …) ist bis heute nichts bekannt.

Hadamard-Produktentwicklung

Neben dem Euler-Produkt gibt es eine weitere Produktdarstellung der Zeta-Funktion, die erstmals ihre Nullstellen in eine mögliche Definition direkt mit einschließt. Diese ist deshalb so bedeutend, weil sie der Schlüssel für den Zusammenhang zwischen Primzahlen und Nullstellen ist. Der entscheidende Schritt in Bernhard Riemanns Arbeit war nämlich der „Vergleich“ dieser beiden Produkte, was schließlich ein enges Verhältnis zwischen den Produktelementen (in diesem Falle Primzahlen und Nullstellen) impliziert.

Über den Produktsatz von Weierstraß für holomorphe Funktionen ist es möglich, die Zeta-Funktion anhand ihrer Nullstellen über ein Produkt der Form

$\zeta (s)=f(s)\prod _{\zeta (\omega )=0}\left(1-{\frac {s}{\omega }}\right)\,\mathrm {e} ^{s/\omega }$

explizit zu rekonstruieren, wobei $f(s)$ eine meromorphe und nullstellenfreie (meist elementare) Funktion darstellt. Im Falle der Zeta-Funktion ergibt sich für $f$ die Funktion $f(s)={\frac {1}{2(s-1)}}\left({\frac {2\pi }{\mathrm {e} }}\right)^{s}$ und somit unter Verwendung der trivialen sowie nicht-trivialen Nullstellen:

$\zeta (s)={\frac {1}{2(s-1)}}\left({\frac {2\pi }{\mathrm {e} }}\right)^{s}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {s}{2n}}\right)\,\mathrm {e} ^{-s/(2n)}\,\cdot \,\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\,\mathrm {e} ^{s/\rho }.$

Unter Zuhilfenahme der Produktentwicklung der Gamma-Funktion ${\frac {1}{\Gamma (1+s)}}=\mathrm {e} ^{\gamma s}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {s}{n}}\right)\mathrm {e} ^{-s/n}$ erhält man das Hadamard-Produkt, benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard, das global in $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ konvergiert:

$\zeta (s)={\frac {\mathrm {e} ^{(\log(2\pi )-1-\gamma /2)s}}{2(s-1)\,\Gamma (1+s/2)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\mathrm {e} ^{s/\rho }.$

Eine etwas einfachere Form des Hadamard-Produktes ist:

$\zeta (s)={\frac {\pi ^{s/2}}{2(s-1)\Gamma (1+s/2)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right).$

Besonders diese letzte Darstellung verdeutlicht, dass sich die $\zeta$-Funktion im Prinzip komplett aus ihren Nullstellen und ihrer Singularität bei $s=1$ konstruieren lässt. Dieses Produkt ist jedoch nur bedingt konvergent. Absolute Konvergenz ergibt sich, wenn man die Nullstellen „paarweise“ ordnet. $\rho$ und $1\!-\!\rho$ sind ein solches Paar. Also:

${\begin{aligned}\zeta (s)&={\frac {\pi ^{s/2}}{2(s-1)\Gamma (1+s/2)}}\prod _{\operatorname {Im} \rho >0}\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\left(1-{\frac {s}{1-\rho }}\right)\\&=\textstyle {\frac {\pi ^{s/2}}{2(s-1)\Gamma (1+s/2)}}\cdot \left(1-{\frac {s}{{\frac {1}{2}}+14{,}134\dotso \mathrm {i} }}\right)\left(1-{\frac {s}{{\frac {1}{2}}-14{,}134\dotso \mathrm {i} }}\right)\cdot \left(1-{\frac {s}{{\frac {1}{2}}+21{,}022\dotso \mathrm {i} }}\right)\left(1-{\frac {s}{{\frac {1}{2}}-21{,}022\dotso \mathrm {i} }}\right)\dotsm \end{aligned}}$

Aufgrund ihrer langsamen Konvergenzgeschwindigkeit ist die Produktdarstellung jedoch in der Praxis nicht als Grundlage für einen numerischen Berechnungsalgorithmus für die Zeta-Funktion geeignet.

Die Riemannsche Vermutung

→ Hauptartikel: Riemannsche Vermutung

Die Lage der Nullstellen im kritischen Streifen hängt eng mit Aussagen über die Verteilung der Primzahlen zusammen. Beispielsweise ist die Aussage, dass auf dem Rand des kritischen Streifens keine Nullstellen liegen, ein möglicher Zwischenschritt beim Beweis des Primzahlsatzes. Weitere Vergrößerungen des „nullstellenfreien Bereiches“ implizieren Restgliedabschätzungen im Primzahlsatz. Riemann vermutete im Jahr 1859, dass alle Nullstellen auf der parallel zur imaginären Achse verlaufenden Geraden $\{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} s=1/2\}$ liegen. Diese so genannte Riemannsche Vermutung konnte bislang weder bewiesen noch widerlegt werden.

Der Verlauf der Zeta-Funktion in der komplexen Ebene, besonders entlang von parallel zur imaginären Achse verlaufenden Streifen, wird wegen des Zusammenhangs mit der Primzahlverteilung und des davon unmittelbar betroffenen sogenannten Faktorisierungsproblems seit kurzem auch gezielt mit physikalischen Methoden untersucht, und zwar mit Interferenz-Methoden analog zur Holographie. Man teilt dazu die definierende Summe in zwei Teile mit positiver bzw. negativer Phase auf, $\psi$ bzw. $\psi ^{*}$, die man anschließend zur Interferenz bringt.

Zusammenhänge zur Theorie der Automorphen Formen

In der Theorie der für die Zahlentheorie wichtigen Modulformen taucht die riemannsche Zeta-Funktion an einigen Stellen auf.

Zeta-Werte als Koeffizienten von Eisensteinreihen

Für die Gewichte $k=4,6,8,...$ sind die sog. Eisensteinreihen

$G_{k}(z)=\sum _{(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(nz+m)^{k}}}$

Modulformen bezüglich der vollen Modulgruppe $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$. Als solche besitzen sie auf der oberen Halbebene eine Fourierentwicklung. Diese ist explizit gegeben durch

$G_{k}(z)=2\zeta (k)+2{\frac {(2\pi i)^{k}}{(k-1)!}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(n)e^{2\pi inz}.$

Unter Einsatz von Euler's Formel für positive, gerade ganzzahlige Funktionswerte kann jedoch die folgende, für die Zahlentheorie enorm wichtige, Normalisierung vorgenommen werden:

$E_{k}(z):={\frac {1}{2\zeta (k)}}G_{k}(z)=1-{\frac {2k}{B_{k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(n)e^{2\pi inz}.$

Die zu $G_{k}(z)$ zugehörige L-Funktion ist ferner gegeben durch

$L(G_{k},s)=2{\frac {(2\pi i)^{k}}{(k-1)!}}\zeta (s)\zeta (s-k+1).$

Dieses Prinzip verallgemeinert sich für Eisensteinreihen zu Kongruenzuntergruppen. Hier hängen die konstanten Koeffizienten mit Werten von L-Funktionen zu Dirichlet-Charakteren zusammen.

Beziehung zu nicht-holomorphen Eisensteinreihen

Für komplexe Zahlen $z=x+yi$ mit $y>0$ und $s=\sigma +it$ mit $\sigma >1$ konvergiert die Eisensteinreihe

$E(z,s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s}\Gamma (s)\sum _{(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {y^{s}}{|nz+m|^{2s}}}$

absolut. Die dadurch definierte Funktion ist nicht-holomorph und zudem (für fixierte $s$) invariant in $z$ unter Wirkung der vollen Modulgruppe. Zudem lässt sie sich (für fixierte $z$) in $s$ meromorph in die gesamte Ebene fortsetzen mit einfachen Polen in $s=0$ und $s=1$, es gilt die Funktionalgleichung

$E(z,1-s)=E(z,s).$

Diese Parallele zur Theorie der Zeta-Funktion lässt bereits einen Zusammenhang vermuten. Es gilt die Darstellung

$E(z,s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)\sum _{M\in \Gamma _{\infty }\backslash \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}\mathrm {Im} (M(z))^{s},$

wobei $\Gamma _{\infty }$ die Untergruppe der Translationen von $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ bezeichnet. Betrachtet man zudem die Fourierentwicklung

$E(z,s)=\sum _{r=-\infty }^{\infty }a_{r}(y,s)e^{2\pi ixr},$

so gilt

$a_{0}(y,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2-2s)y^{1-s}.$

Nicht-holomorphe Eisensteinreihen, und damit auch die Zeta-Funktion selbst, spielen eine fundamentale Rolle bei der sogenannten Ranking-Selberg Methode.

Beziehung zur Thetafunktion

Eine sehr wichtige Eigenschaft der riemannschen Zeta-Funktion ist ihre Funktionalgleichung. Diese drückt sich am einfachsten über

$\!\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\ \pi ^{-s/2}\ \zeta (s)=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\ \pi ^{(s-1)/2}\ \zeta (1-s)$

aus und es ist zu bemerken, dass auf der rechten Seite erstaunlicherweise die komplexe Variable $s$ einfach durch $1-s$ ersetzt wird.

Es gibt mehrere Herleitungsvarianten zum Auffinden dieser Gleichung. Zwei verschiedene zeigte bereits Riemann. Eine davon schließt einen einfachen Spezialfall der jacobischen Theta-Reihe direkt mit ein, nämlich $\theta (x):=\vartheta (0,ix)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi xn^{2}}$. Von Vorteil ist die Modifizierung $\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-\pi xn^{2}}$, es gilt $\psi (x)={\frac {1}{2}}(\theta (x)-1)$. Die Theta-Funktion ist dabei eine Modulform halbganzen Gewichts: Mit der poissonschen Summenformel fand bereits Jacobi die Identität $\theta (x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}\ \theta \left({\frac {1}{x}}\right)$, woraus sofort $\psi \left({\frac {1}{x}}\right)={\sqrt {x}}\psi (x)+{\frac {\sqrt {x}}{2}}-{\frac {1}{2}}$ folgt.

Ausgangspunkt ist die Integraldarstellung

$\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\ \pi ^{-s/2}\ \zeta (s)=\int \limits _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }e^{-\pi tn^{2}}t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\int \limits _{0}^{\infty }\psi (t)t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}.$

Der folgende Trick ist eine Standard-Umformung beim Beweis des heckeschen Umkehrsatzes. Durch eine Aufspaltung des Integrals in die Intervalle $[1,\infty )$ und $[0,1]$, wobei in letzteres die Substitution $t={\frac {1}{x}}$ vorgenommen wird:, folgt

${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }\psi (t)t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}&=\int \limits _{1}^{\infty }\psi (t)t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}-\int \limits _{\infty }^{1}\psi \left({\frac {1}{x}}\right)x^{-s/2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\\&=\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)x^{s/2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }\left({\sqrt {x}}\psi (x)+{\frac {\sqrt {x}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)x^{-s/2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\\&=\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)\left[x^{s/2}+x^{(1-s)/2}\right]{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+{\frac {1}{2}}\int \limits _{1}^{\infty }\left[x^{(1-s)/2}-x^{-s/2}\right]{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\end{aligned}}$

Das zweite Integral kann elementar berechnet werden:

$\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\ \pi ^{-s/2}\ \zeta (s)=\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)\left[x^{s/2}+x^{(1-s)/2}\right]{\frac {\mathrm {d} x}{x}}-{\frac {1}{s(1-s)}}.$

Wie man leicht erkennt, ist die rechte Seite unter der Abbildung $s\mapsto 1-s$ unverändert, woraus schon die Funktionalgleichung folgt. Diese Argumentation ist deshalb gerechtfertigt, da das Integral auf der rechten Seite nun für alle $s\in \mathbb {C}$ existiert.

Beukers' Beweis der Irrationalität von $\zeta (3)$

1987 konnte Frits Beukers die Irrationalität von $\zeta (3)$ mit Hilfe der Theorie der Modulformen beweisen. Dafür betrachtete er die Funktion

$F(z)={\frac {1}{40}}\left(E_{4}(z)-36E_{4}(6z)-28E_{4}(2z)+63E_{4}(3z)\right),$

welche eine Modulform zum Gewicht 4 für die Kongruenzuntergruppe $\Gamma _{1}(6)$ ist. Die zu diesem $F$ korrespondierende L-Funktion ist dann

$L(F,s)=6\left(1-{\frac {36}{6^{s}}}-{\frac {28}{2^{s}}}+{\frac {63}{3^{s}}}\right)\zeta (s)\zeta (s-3).$

Das Argument bezieht sich letztlich auf eine Technik, welche Konvergenzradien von Umkehrfunktionen lokal injektiver, meromorpher Funktionen ausnutzt. Nach heutigem Wissensstand lässt sich der Ansatz von Beukers jedoch nicht auf die Fälle $\zeta (5),\zeta (7),...$ übertragen.

Anwendung in der analytischen Zahlentheorie

Im Wesentlichen gibt es zwei Anwendungstypen.

• Typ 1: Man hat eine zahlentheoretische Funktion, d. h. Zahlen $a(1),a(2),...$ die interessante arithmetische Informationen enthalten. Zum Beispiel könnte $a(n)$ die Anzahl aller ganzen Zahlen $1\leq k\leq n$ darstellen, die teilerfremd zu $n$ sind. Man will nun das Verhalten der Summe $\sum _{n\leq x}a(n)$ für größer werdende $x$ untersuchen. Dabei kann eine Möglichkeit sein, die von den $a(n)$ erzeugte Dirichlet-Reihe $D(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}$ zu betrachten. Hat diese gute analytische Eigenschaften, hängt also zum Beispiel stark mit der riemannschen Zeta-Funktion zusammen, kann mit Hilfe von Taubertheorie das Problem angegangen werden. Dabei gilt: je detaillierter die eingehenden Informationen sind, desto bessere Rückschlüsse können gezogen werden. Dies ist ein weiterer Hinweis auf die Bedeutung der riemannschen Vermutung.

Da Taubersätze meistens nicht geeignet sind, Restglieder abzuschätzen, kommen oft auch feinere Methoden zum Einsatz. In diesem Kontext ist zum Beispiel auf die Selberg-Delange Methode verwiesen.

• Typ 2: Hat man umgekehrt gewisse Informationen über die Zahlen $a(1),a(2),...$ gesammelt, so kann man diese in manchen Fällen auf die erzeugte Dirichlet-Reihe $D(s)$ anwenden, um so Informationen über deren Verhalten zu treffen. In diesem Kontext sei zum Beispiel auf die Mertenssche Vermutung verwiesen, die allerdings bereits widerlegt wurde.

Im Folgenden werden einige wichtige Beispiele gegeben.

Zusammenhang zum Primzahlsatz

→ Hauptartikel: Primzahlsatz

Wie bereits der 15-jährige Gauß vermutete, wächst die Anzahl aller Primzahlen $\pi (x)$ unter einer gegebenen Schranke $x$ asymptotisch gleich wie der Ausdruck $x/\log(x)$. Es gilt also

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1$

Dieser sogenannte Primzahlsatz wurde jedoch erst hundert Jahre später unabhängig von Hadamard und Poussin bewiesen. Dafür betrachtet man die sog. Mangoldt-Funktion

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&{\text{falls }}n{\text{ sich als }}n=p^{k}{\text{ darstellen lässt wobei }}p{\text{ prim und }}k\in \mathbb {N} ^{+}\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}.$

Der Primzahlsatz ist nun äquivalent zu der Aussage

$\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=1$

Dies wurde von Tschebyschow gezeigt. Betrachtet man die von $\Lambda (n)$ erzeugte Dirichlet-Reihe, ergibt sich

$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.$

Aus $\zeta (1+it)\not =0$ für alle $t\in \mathbb {R}$ folgt, dass die Funktion $-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}$ auf dem ganzen Streifen $\operatorname {Re} (s)=1$ (außer im Punkt $s=1$) holomorph ist, was wegen $\Lambda (n)\geq 0$ den Einsatz eines Taubersatzes ermöglicht. Damit folgt $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=1$ und der Primzahlsatz ist bewiesen.

Erstaunlicherweise ist im Beweis des Primzahlsatzes absolut entscheidend, dass die Zeta-Funktion auf der Geraden $\operatorname {Re} s=1$ keine Nullstellen besitzt. Bereits hier ist also zu erkennen, dass es einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und den Nullstellen der Zeta-Funktion gibt. In der Tat, durch die Angabe nullstellenfreier Gebiete lässt sich das Restglied $R(x)$ in $\pi (x)=x/\log(x)+R(x)$ weiter verbessern.

In Verbindung mit zahlentheoretischen Funktionen

Es existieren Zusammenhänge zwischen einigen zahlentheoretischen Funktionen und der $\zeta$-Funktion. Diese Verbindungen drücken sich in Dirichlet-Reihen aus, die über die betreffenden zahlentheoretischen Funktionen gebildet werden. Hierbei macht man sich zu Nutze, dass das Produkt zweier (oder generell mehrerer) konvergenter Dirichlet-Reihen eine wiederum konvergente Dirichlet-Reihe ergibt. Man spricht auch von der sogenannten Dirichlet-Faltung zweier (oder mehrerer) Dirichlet-Reihen. In diesem Zusammenhang kann man sich zum Beispiel die Dirichlet-Reihen von $\zeta (s)^{-2}$, $\zeta (s)^{-1}$ oder auch $\zeta (s)^{2}$ ansehen.

Teilerfunktionen

Man findet beispielsweise die Relation:

$\zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=1+{\frac {2}{2^{s}}}+{\frac {2}{3^{s}}}+{\frac {3}{4^{s}}}+{\frac {2}{5^{s}}}+{\frac {4}{6^{s}}}+{\frac {2}{7^{s}}}+\ldots ,$

wobei $d(n)$ die Teileranzahlfunktion darstellt, die zählt, wie viele natürliche Teiler eine Zahl $n$ besitzt. Zu diesem Ergebnis gelangt man durch systematisches Ausmultiplizieren des Quadrates der Dirichlet-Reihe der Zeta-Funktion. Da es sich dabei um das Produkt zweier (konvergenter) Dirichlet-Reihen handelt, kann es, wie oben beschrieben, wiederum über eine Dirichlet-Reihe dargestellt werden.

$\zeta (s)^{2}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\right)^{2}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\cdot {\frac {1}{k^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(n\cdot k)^{s}}}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {d(m)}{m^{s}}}$

Die aus dieser Faltung erzeugte Dirichlet-Reihe hat nun eine neue zahlentheoretische Funktion, die als $d(m)$ bezeichnet wird. Der Summenindex wird als $m$ gewählt, um Verwechslungen zu vermeiden. Der vorletzte Schritt der Auswertung zeigt nun, dass man den Wert von $d(m)$ über die Anzahl aller natürlichen Zahlenpaare $(n,k)$ gewinnen kann, für die $n\cdot k=m$ gilt. Somit reduziert sich die Frage nach dem Wert von $d(m)$ darauf, wie viele Teiler die betroffene Zahl $m$ besitzt.

Allgemeiner hat man:

$\zeta (s)\ \zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}},$

wobei $\sigma _{a}(n)$ die verallgemeinerte Teilerfunktion ist.

Möbiusfunktion

Mit der Möbiusfunktion erhält man eine Dirichlet-Reihe, die den Kehrwert der $\zeta$-Funktion erzeugt. Es gilt dann:

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}-{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}+\ldots$

Zur Erklärung dieses Zusammenhangs betrachtet man

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots ,$

also einfach den Kehrwert des Euler-Produkts, und bildet durch konsequentes Ausmultiplizieren die dazugehörige Dirichlet-Reihe, die sich dann definitionsgemäß über die Möbiusfunktion erstreckt.

Eulersche Phi-Funktion

Die Dirichlet erzeugende Funktion für die Eulersche $\varphi$-Funktion ist gegeben durch

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.$

Damit folgt unter anderem

$\sum _{n\leq x}\varphi (n)\sim {\frac {3}{\pi ^{2}}}x^{2}.$

Summe von Quadraten

Die Dirichlet-Reihe der Quadratsummen-Funktion $r_{k}(n)$, die angibt, auf wie viele Arten eine natürliche Zahl $n$ als Summe von $k$ Quadraten ganzer Zahlen geschrieben werden kann, lässt sich ebenfalls auf die riemannsche Zetafunktion überleiten. So erhält man beispielsweise zusammen mit der dirichletschen Betafunktion:

$Q_{2}(s):=4\zeta (s)\beta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{n^{s}}}.$

Insbesondere lässt sich über diesen Ansatz zeigen, dass sich der Limes

$\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {r_{2}(k)}{k}}-\pi \log n\right)$

einer festen Konstanten $K$ nähert. Diese Sierpiński-Konstante (benannt nach Wacław Sierpiński) lässt sich in Abhängigkeit von der Kreiszahl, der Euler-Mascheroni Konstante und logarithmierten Werten der Gammafunktion auch schreiben als:

$K=\pi (2\gamma +4\log \Gamma ({\tfrac {3}{4}})-\log \pi ).$

Mittels eines Taubersatzes findet man außerdem

$\sum _{n\leq x}r_{2}(n)=\pi x+O({\sqrt {x}}),$

was jedoch auch mittels elementarer Geometrie (durch Zählen von Gitterpunkten in Kreisen mit dem Ursprung als Mittelpunkt) gezeigt werden kann!

Ähnliche Ausdrücke finden sich für 4 bzw. 8 Quadrate:

$Q_{4}(s)=8(1-2^{2-2s})\ \zeta (s)\ \zeta (s-1)$

$Q_{8}(s)=16(1-2^{1-s}+2^{4-2s})\ \zeta (s)\ \zeta (s-3)$.

Daraus folgt unter anderem unmittelbar der Satz von Jacobi.

Anwendung in der algebraischen Zahlentheorie und Verallgemeinerungen

Dirichletsche L-Funktionen

Die riemannsche Zeta-Funktion ist eine spezielle dirichletsche L-Funktion. Sie korrespondiert zum sog. trivialen Charakter $\chi (n)=1$ für alle Werte $n$. Aus diesem Grunde ist sie zentraler Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie, die sich mit der Struktur von Charakteren zu gewissen Gruppen befasst.

Verwandtschaft zur dedekindschen Zeta-Funktion von Zahlkörpern

→ Hauptartikel: Dedekindsche Zeta-Funktion

Beziehung zum Zahlkörper $\mathbb {Q}$

Im Falle $K=\mathbb {Q}$ ist die dedekindsche Zeta-Funktion $\zeta _{\mathbb {Q} }(s)$ gerade die riemannsche Zeta-Funktion. Insbesondere hängt diese mit den Primelementen in deren Ganzheitsring $\mathbb {Z}$ zusammen.

Beziehung zu quadratischen Zahlkörpern

Ist $K/\mathbb {Q}$ eine quadratische Erweiterung von $\mathbb {Q}$ mit Diskriminante $D$, so hängt ihre dedekindsche Zeta-Funktion eng mit der riemannschen Zeta-Funktion zusammen. Es gibt dann nämlich einen Dirichlet-Charakter $\chi _{D}$ modulo $|D|$, so dass

$\zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(\chi _{D},s),$

wobei $L(\chi _{D},s)$ die zu $\chi _{D}$ gehörige dirichletsche L-Funktion bezeichnet. Die Funktion $\zeta _{K}(s)$ hat einen Pol erster Ordnung in $s=1$ und erfüllt eine Funktionalgleichung.

Verwendet werden kann die dedekindsche Zetafunktion unter anderem zur Berechnung der Klassenzahl von $K$. Dafür wird die sogenannte Klassenzahlformel verwendet.

Ein wichtiger Spezialfall ist $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})$. Die dazu korrespondierende Zeta-Funktion ist gegeben durch

$\zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})}(s)=\zeta (s)\beta (s),$

wobei die dirichletsche Betafunktion $\beta (s)$ zum Charakter $\chi _{4}(1)=-\chi _{4}(-1)=1$ modulo 4 korrespondiert. Daraus ergeben sich relativ direkt Formeln für die Summe von zwei Quadraten.

Abelsche Erweiterungen

Im Falle, dass $K/\mathbb {Q}$ eine abelsche Erweiterung ist, ist der Quotient ${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta (s)}}$ eine ganze Funktion. D.h. gewissermaßen, dass die riemannsche Zeta-Funktion in diesem Falle ein "Teiler von $\zeta _{K}(s)$" ist. Dass dies auch für nicht-abelsche Erweiterungen richtig ist, ist Gegenstand tiefer zahlentheoretischer Vermutungen (Artinsche Vermutung).

Beziehungen zu anderen speziellen Funktionen

Als Taylor-Koeffizienten von Kotangens und Digamma-Funktion

In der Analysis tritt die Zeta-Funktion unter anderem als Koeffizientenfolge in den Taylor-Reihen des Kotangens und der Digamma-Funktion auf.

Die erzeugende Funktion der Folge $a_{n}=\zeta (n+1)$ mit $n=1,2,3,4,\dotsc$ für alle $|z|<1$ ist:

$\sum _{n=1}^{\infty }\zeta (n+1)z^{n}=-\gamma -\psi (1-z),$

wobei $\psi (z)$ hier die Digamma-Funktion und $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Summiert man außerdem in einer Potenzreihe, die die Zetafunktionswerte als Koeffizienten hat, nur über die geradzahligen Exponenten bzw. Folgeglieder, so ergibt sich:

$\sum _{n=0}^{\infty }\zeta (2n)z^{2n}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}z^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{90}}z^{4}+{\frac {\pi ^{6}}{945}}z^{6}+\ldots =-{\frac {\pi z}{2}}\cot(\pi z)$

ebenfalls mit Konvergenzradius 1. Diese Identität bietet einen Beweisansatz für Euler's Formel für $\zeta (2k)$.

Beziehung zur Polygammafunktion

Espinosa und Moll haben 2003 die Relation

$\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}+\psi (1-s)+\gamma \right)\zeta (s)=\Gamma (1-s)\ \psi _{s-1}(1)$

mit der Digammafunktion $\psi (z)$ und der auf komplexe Ordnungen $s$ verallgemeinerten Polygammafunktion $\psi _{s}(z)$ aufgezeigt. Unter Ausnutzung der Beziehung

$\zeta \left(s,{\frac {1}{2}}\right)=\left(2^{s}-1\right)\ \zeta (s)$

zur hurwitzschen Zeta-Funktion und Einsetzen in die allgemeinere Relation

$\left({\frac {\partial }{\partial s}}+\psi (1-s)+\gamma \right)\zeta (s,z)=\Gamma (1-s)\ \psi _{s-1}(z)$

gelangt man zu

$\zeta (s)={\frac {\Gamma (1-s)}{2^{s}\log 2}}{\bigl (}\psi _{s-1}\left({\frac {1}{2}}\right)-\left(2^{s}-1\right)\psi _{s-1}(1){\bigr )}.$

Damit sind die Nullstellen der ζ-Funktion Lösungen ρ der Gleichung

$\psi _{\rho -1}\left({\frac {1}{2}}\right)=\left(2^{\rho }-1\right)\ \psi _{\rho -1}(1).$

Wegen der „Multiplikationsformel“

$\sum \limits _{k=0}^{n-1}\psi _{s}\left({\frac {z+k}{n}}\right)=n^{s+1}\psi _{s}(z)+{\frac {n^{s+1}\log n}{\Gamma (-s)}}\zeta (s+1,z),$

lässt sich für $n\in \mathbb {N}$, $n>1$ sogar die allgemeinere Beziehung

$\zeta (s)={\frac {\Gamma (1-s)}{n^{s}\log n}}\left(\sum \limits _{k=1}^{n-1}\psi _{s-1}\left({\frac {k}{n}}\right)-\left(n^{s}-1\right)\psi _{s-1}(1)\right)$

herleiten.

Beziehung zur Primzetafunktion

Es gilt für alle $s$ mit $\operatorname {Re} s>0$:

$\log \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {P(ns)}{n}},$

wobei $P(s)$ mit

$P(s)=\sum _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{p^{s}}}={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\ldots$

die Primzetafunktion bezeichnet. Mit Hilfe von Möbius-Inversion lässt sich daraus eine Möglichkeit ableiten, die Primzetafunktion schnell aus einer Reihe über logarithmierte Zeta-Funktionen zu gewinnen.

$P(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns).$

Diese kuriose Formel kann dazu verwendet werden, die Primzetafunktion extrem effizient zu berechnen. Zum Beispiel fand Henri Cohen innerhalb weniger Millisekunden

$\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}=0.45224742004106549850654336483224793417323134323989...$

Ferner ist es möglich zu zeigen, dass die Reihe ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots$ der reziproken Primzahlen divergiert.

Sonstiges Auftreten

In der Analysis

Es gibt eine reichhaltige Fülle an unendlichen Reihen mit besonderen Grenzwerten, die die Zeta-Funktion beinhalten. Zwei Beispiele für Reihen mit rationalen Grenzwerten sind:

$\sum _{n=2}^{\infty }(\zeta (n)-1)=1$

und

$\sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)={\frac {1}{4}}.$

Zusammen mit der Euler-Mascheroni-Konstante $\gamma$ hat man:

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma$

$\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\zeta (n)}{n}}=\gamma$

$\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\zeta (n)}{n2^{n-1}}}=\gamma -\log {\frac {4}{\pi }}$

und auch:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n+1)-1}{(2n+1)\ 2^{2n}}}=1+\log {\frac {2}{3}}-\gamma .$

Auch für die catalansche Konstante $G$ existieren solche Reihen:

${\frac {1}{16}}\sum _{n=1}^{\infty }(n+1)\ {\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\ \zeta (n+2)=G.$

In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Zeta-Funktion spielt eine zentrale Rolle bei der sogenannten Zipf-Verteilung. Es gilt für eine Zufallsvariable $X$:

$P(X=k)={\frac {k^{-s}}{\zeta (s)}}.$

Auch einige Wahrscheinlichkeitsgesetze aus der Zahlentheorie stehen in engem Zusammenhang zu der Zeta-Funktion. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, und ebenso die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gewählte Zahlen teilerfremd sind, ist gleich

${\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}=0{,}60792\ 71018\ 54026\ 62866\ldots$   (Folge A059956 in OEIS).

Allgemeiner ist $1/\zeta (nk)$ die Wahrscheinlichkeit, dass n positive ganze Zahlen keine k-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.

Als Funktionswert spezieller Funktionen

Die riemannsche Zeta-Funktion taucht ebenfalls bei der Auswertung bestimmter Funktionswerte anderer spezieller Funktionen auf, was nicht zuletzt durch ihre Verbindung zur Gamma-Funktion (beispielsweise in der Funktionalgleichung) begründet werden kann. Zum Beispiel ergibt sich mit der Polygamma-Funktion:

$\psi _{n}(1)=(-1)^{n+1}\ n!\ \zeta (n+1)$

$\psi _{n}\left({\frac {1}{2}}\right)=(-1)^{n+1}\ n!\ (2^{n+1}-1)\ \zeta (n+1).$

Numerische Berechnung

Für eine schnelle numerische Berechnung der Funktion $\zeta (s)$ sind viele klassische Darstellungsformen eher unbrauchbar. Dazu zählen in etwa im Besonderen die Dirichlet-Reihe, das Euler-Produkt, die Mellin-Transformation und das Hadamard-Produkt. Für effiziente Leistung ist ein endlicher approximativer Summenausdruck mit hoher Konvergenzgeschwindigkeit am geeignetsten.

Als gute Methode erweist sich die „abgebrochene“ Summenformel, die mit Hilfe der Euler-MacLaurin-Summenformel,

$\sum \limits _{n=2}^{N}f(n)=\int \limits _{1}^{N}f(x)\,\mathrm {d} x\,+\,\sum \limits _{\nu =1}^{q}(-1)^{\nu }\,{\frac {\mathrm {B} _{\nu }}{\nu !}}\,\left(f^{(\nu -1)}(N)-f^{(\nu -1)}(1)\right)\,-\,{\frac {(-1)^{q}}{q!}}\int \limits _{1}^{N}\mathrm {B} _{q}(x-[x])\,f^{(q)}(x)\,\mathrm {d} x,$

gewonnen wird, wobei f als Mindestvoraussetzung eine auf dem Intervall $[1,N]$ q-mal differenzierbare Funktion ist, $\mathrm {B} _{\nu }(x)$ die Bernoulli-Polynome sind und $[x]$ den ganzzahligen Anteil von $x$ darstellt. Setzt man hier $q=1$ ergibt sich beispielsweise die in der Literatur häufig zitierte Darstellung

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}+s\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {[x]-x}{x^{s+1}}}\,\mathrm {d} x,$

die für $\operatorname {Re} s>0$ gültig ist.

Hierfür wird zunächst eine beliebige natürliche Zahl $N$ festgelegt, für die außerdem $N>|s|$ gelten sollte. Es gilt dann:

${\begin{aligned}\zeta (s)=&\sum _{n=1}^{N-1}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2}}N^{-s}+{\frac {\mathrm {B} _{2}}{2}}sN^{-s-1}+{\frac {\mathrm {B} _{4}}{24}}s(s+1)(s+2)N^{-s-3}+\ldots +\\&+{\frac {\mathrm {B} _{2m}}{(2m)!}}s(s+1)\cdots (s+2m-2)N^{-s-2m+1}+R_{2m}(s)\end{aligned}}$

wobei das Restglied $R_{2m}$ durch

$R_{2m}(s)=-{\frac {s(s+1)\cdots (s+2m-1)}{(2m)!}}\int \limits _{N}^{\infty }\mathrm {B} _{2m}(x-[x])x^{-s-2m}\mathrm {d} x$

gegeben ist. Bei der (freien) Wahl von $m$ ist zu beachten, dass das Restglied nur auf der Halbebene $\operatorname {Re} (s+2m-1)>1$ konvergiert. Daher muss stets $m>-\operatorname {Re} {\frac {s}{2}}$ gelten. Für größer werdende Werte von $N$ verkleinert sich der Fehler $R_{2m}$ unabhängig von $m$ rapide.

Durch Anwendung der Funktionalgleichung (eine schnelle Berechnung der Gamma-Funktion und der Exponentialfunktion $\pi ^{s}$ ist leicht zu implementieren), kann zudem ohne Einschränkung $\sigma >0$ angenommen werden. Hier ist die Summenformel deutlich schneller.

Die Nützlichkeit dieser Approximation ist bereits länger bekannt. Beispielsweise ermittelte Leonhard Euler 1735 den Wert von $\zeta (2)$ auf etwa 20 Stellen genau, bevor er das Basler Problem, das sich mit dem analytisch „exakten“ Wert von $\zeta (2)$ befasste, löste. Diese numerische Auswertung war für ihn die praktische Bestätigung für die Richtigkeit seines exakt ermittelten Wertes.

Weiter fand der dänische Mathematiker Jørgen Pedersen Gram im Jahr 1903 numerische Werte der ersten 15 nicht-trivialen Nullstellen, wobei er die ersten zehn Nullstellen auf sechs und die weiteren fünf auf jeweils eine Stelle nach dem Komma ermittelte.

Beispiele

Als ein Beispiel bietet sich die numerische Annäherung des Zahlenwertes von

$\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots$

an. Für eine sehr gute Approximation reichen die Werte $N=5$ und $m=2$ vollkommen aus. Einsetzen ergibt:

${\begin{aligned}\zeta (2)&=\sum _{n=1}^{4}n^{-2}+{\frac {5^{-1}}{2-1}}+{\frac {1}{2}}5^{-2}+{\frac {\mathrm {B_{2}} }{2}}\cdot 2\cdot 5^{-3}+{\frac {\mathrm {B_{4}} }{24}}\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5^{-5}+R_{4}(2)\\&\approx 1^{-2}+2^{-2}+3^{-2}+4^{-2}+{\frac {5^{-1}}{2-1}}+{\frac {1}{2}}5^{-2}+{\frac {\mathrm {B_{2}} }{2}}\cdot 2\cdot 5^{-3}+{\frac {\mathrm {B_{4}} }{24}}\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5^{-5}.\\\end{aligned}}$

Die folgende Tabelle zeigt die numerische Auswertung dieser Rechnung.

Term	Numerischer Wert
$1^{-2}=$	$1{,}00000000$
$2^{-2}=$	$+\,0{,}25000000$
$3^{-2}=$	$+\,0{,}11111111$
$4^{-2}=$	$+\,0{,}06250000$
${\frac {5^{-1}}{2-1}}=$	$+\,0{,}20000000$
${\frac {1}{2}}5^{-2}=$	$+\,0{,}02000000$
${\frac {\mathrm {B_{2}} }{2}}\cdot 2\cdot 5^{-3}=$	$+\,0{,}00133333$
${\frac {\mathrm {B_{4}} }{24}}\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5^{-5}=$	$-\,0{,}00001066$
$\zeta (2)\approx$	$1{,}64493378$

Diese mit wenig Aufwand gewonnene Approximation stimmt mit dem tatsächlichen Wert

$\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}=1{,}644934067\dotsc$

bereits in sechs Dezimalstellen (gerundet) nach dem Komma überein. Zur Unterstreichung der Effektivität sei bemerkt: hätte Euler stattdessen die Formel $\sum n^{-2}$ benutzt, so wären für die gleiche Approximation ca. 1.000.000 Summanden nötig gewesen. Geht man davon aus, dass Euler per Hand pro Term durchschnittlich 20 Sekunden Rechenzeit benötigte, wären dies ca. zwei Drittel Jahre ununterbrochenes Rechnen gewesen.

Analog kann der Dezimalwert von $\zeta (1/2)$ angenähert werden. Hier reicht die Wahl von $N=4$ und $m=2$.

Term	Numerischer Wert
$1^{-1/2}=$	$1{,}00000000$
$2^{-1/2}=$	$+\,0{,}70710678$
$3^{-1/2}=$	$+\,0{,}57735027$
${\frac {4^{1/2}}{{\frac {1}{2}}-1}}=$	$-\,4{,}00000000$
${\frac {1}{2}}4^{-1/2}=$	$+\,0{,}25000000$
${\frac {\mathrm {B_{2}} }{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 4^{-3/2}=$	$+\,0{,}00520833$
${\frac {\mathrm {B_{4}} }{24}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot 4^{-7/2}=$	$-\,0{,}00002034$
$\zeta (1/2)\approx$	$-\,1{,}46035496$

Auch dieser Wert stimmt auf sechs Dezimalstellen genau.

Andere Ausdrücke für die ζ-Funktion

Neben ihrer elementaren Reihendarstellung besitzt die Zeta-Funktion eine reiche Fülle an weiteren Ausdrücken, von denen einige im Folgenden aufgeführt werden. Hierbei sei jedoch zu bemerken, dass sich die allermeisten dieser Formeln für eine effiziente numerische Berechnung eigentlich nicht eignen. Viele dieser Ausdrücke spielen jedoch in der reinen Mathematik eine Rolle.

Erwähnenswert ist der interessante Ausdruck

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)$,

der für $\operatorname {Re} s>0$ (also wiederum auch im kritischen Streifen) konvergiert.

Ein interessanter und exotischer Ausdruck ergibt sich, wenn man direkt die elementare Reihendarstellung der Zeta-Funktion in die Abel-Plana-Summenformel einsetzt:

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{(1+t^{2})^{\frac {s}{2}}\ (\mathrm {e} ^{2\,\pi \,t}-1)}}\,\mathrm {d} t.$

Fasst man dabei die beiden Terme auf der rechten Seite zusammen, erhält man

$\zeta (s)=2^{s-2}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\tan \left({\frac {\pi }{2}}\,i\,t\right)}{{(1+i\,t)}^{s}}}\,\mathrm {d} t$,

wobei das Integral allerdings einschränkend nur für $\operatorname {Re} s>1$ konvergiert.

Eine erwähnenswerte Formel für die Ableitung der $\zeta$-Funktion lässt sich mittels logarithmischer Ableitung gewinnen, also über die Identität:

${\frac {\left(\prod _{k}f_{k}\right)'}{\prod _{k}f_{k}}}=\sum _{k}{\frac {f'_{k}}{f_{k}}}$

Setzt man hier $f_{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}}}$ für die $k$-te Primzahl (Euler-Produkt), ergibt sich:

$\zeta '(s)=-\zeta (s)\sum _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {\log p}{p^{s}-1}}=-\zeta (s)\left({\frac {\log 2}{2^{s}-1}}+{\frac {\log 3}{3^{s}-1}}+{\frac {\log 5}{5^{s}-1}}+{\frac {\log 7}{7^{s}-1}}+\ldots \right).$

Verallgemeinerungen und andere Zeta-Funktionen

In dem Wunsch, die Definition der riemannschen Zeta-Funktion zu verallgemeinern oder zu variieren, wurden zahlreiche verwandte Funktionen eingeführt und untersucht. Häufig tragen diese ebenfalls den Namen „Zeta-Funktion“, verbunden mit dem Namen ihres „Entdeckers“. Insbesondere seien hier die dedekindsche Zeta-Funktion, die hurwitzsche Zeta-Funktion und die lerchsche Zeta-Funktion genannt, siehe auch Liste aller Zeta-Funktionen. Dabei verallgemeinert die dedekindsche Zeta-Funktion die riemannsche vom Körper der rationalen Zahlen auf beliebige algebraische Zahlkörper. Mit Hilfe der hurwitzschen Zeta-Funktion lassen sich die riemannsche Zeta-Funktion und die dirichletschen L-Funktionen einheitlich behandeln. Die weit reichende Definition der lerchschen Zeta-Funktion gestattet nicht nur Spezialisierungen zur hurwitzschen und somit auch zur riemannschen Zeta-Funktion, sondern beinhaltet noch zahlreiche weitere, wichtige Funktionen als Spezialfälle. Ähnlich definierte „verallgemeinerte Zeta-Funktionen“ werden auch in der theoretischen Physik verwendet, und zwar im Zusammenhang mit der systematischen sogenannten semiklassischen Näherung quantenmechanischer Resultate.

Siehe auch

• L-Funktion
• Riemann-Siegelsche Theta-Funktion
• Vielfach-Zetafunktion

Literatur

Zur Mathematik:

Die Fachliteratur zur Mathematik der riemannschen Zetafunktion wurde zu einem großen Teil in englischer Sprache verfasst. Es existiert vergleichsweise wenig deutschsprachige Fachliteratur zu diesem Thema. Wegen des engen Zusammenhangs zwischen riemannscher Zeta-Funktion, riemannscher Vermutung (englisch: Riemann Hypothesis), Primzahlen und Primzahlsatz behandelt Fachliteratur zu einem der drei zuletzt genannten Themen häufig auch die riemannsche Zeta-Funktion. Lehrbücher zur analytischen Zahlentheorie enthalten in der Regel eine Darstellung der riemannschen Zeta-Funktion. Mitunter gilt dies sogar für Lehrbücher zur algebraischen Zahlentheorie.

• Tom M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90163-9 (Insbesondere Kapitel 11, 12 und 13). 
• Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney, Andrea Weirathmueller: The Riemann Hypothesis. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-72125-5 (Insbesondere Kapitel 2 und 3. Fasst in Kapitel 10 die Geschichte der riemannschen Zeta-Funktion, der riemannschen Vermutung und des Primzahlsatzes von 1737 bis 2004 zusammen. Gibt zu diesem Themenkreis im zweiten Teil des Buches eine Auswahl der wichtigsten mathematischen Originalarbeiten von 1852 bis 2004 wieder.). 
• Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 1995, ISBN 3-540-58821-3. 
• John Brian Conrey: More than two fifths or the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). Band 1989, Nr. 399. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1989, S. 1–26. 
• Bernhard Riemann: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Wikisource). In: Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin 1859, S. 671–680. 
• Harold Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, 2001, ISBN 0-486-41740-9 (Dieses Buch erläutert ausführlich die Mathematik in Bernhard Riemanns berühmter Originalarbeit "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" aus dem Jahr 1859. Es enthält im Anhang eine englische Übersetzung dieser Originalarbeit.). 
• Aleksandar Ivić: The Riemann Zeta-Function: theory and applications. Dover, Mineola 2003, ISBN 0-486-42813-3. 
• Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski: Analytic Number Theory. American Mathematical Society, Providence 2004, ISBN 0-8218-3633-1 (Insbesondere Kapitel 1 und 5). 
• Eugen Jahnke: Tafeln höherer Funktionen. Teubner, Stuttgart 1966. 
• Anatoly A. Karatsuba, S.M. Voronin: The Riemann Zeta-Function. Walter de Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013170-6. 
• Peter Meier, Jörn Steuding: Wer die Zetafunktion kennt, kennt die Welt! In: Spektrum der Wissenschaft Dossier 6/2009: „Die größten Rätsel der Mathematik“. ISBN 978-3-941205-34-5, S. 12–19. 
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6 (Insbesondere Kapitel 7). 
• Samuel Patterson: An introduction to the theory of the Riemann Zeta-Function. Cambridge University Press, New York 1995, ISBN 0-521-49905-4. 
• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-18078-1 (Insbesondere Kapitel 4, Abschnitt I.). 
• Atle Selberg: On the zeros of the Riemann zeta-function. In: Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. Band 10, 1942, S. 1–59. 
• Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, ISBN 3-540-26526-0 (Insbesondere Kapitel 1, welches auch den Beweis des Universalitätssatzes von Woronin skizziert.). 
• Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. 1951. 
• Sergei Michailowitsch Woronin: Theorem on the 'universality' of the Riemann zeta-function. In: Mathematics of the USSR-Izvestiya. Band 9, Nr. 3, 1975, S. 443–445. 
• Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper. Springer, Berlin; Heidelberg; New York 1981, ISBN 3-540-10603-0 (Teil 1, insbesondere § 4). 

Zur Geschichte:

• Peter Borwein et al.: The Riemann Hypothesis. (Siehe geschichtliche Zeitleiste in Kapitel 10. Angaben zum Buch befinden sich in der Literaturliste "Zur Mathematik".). 
• Władysław Narkiewicz: The Development of Prime Number Theory. From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66289-8 (Geschichtlich orientiertes mathematisches Lehrbuch). 
• Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. 4. Auflage. Beck, München 2005, ISBN 3-406-52320-X. 

Weblinks

Commons: Riemannsche ζ-Funktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Deutschsprachige Weblinks:

• Otto Forster: Riemannsche Zetafunktion Webseite zur Vorlesung von Otto Forster im Wintersemester 2008/09 am Mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München. Enthält Links zu den einzelnen Kapiteln seines Vorlesungsskripts (PDF-Dokumente).
• Bernhard Schiekel: Zeta-Funktionen in der Physik – eine Einführung, doi:10.18725/OPARU-4418. Umfangreiches Skript über das Auftreten von Zetafunktionen in der Physik, 2011.
• Graph der Riemannschen Zeta-Funktion (Animation)

Englischsprachige Weblinks:

• Tom Apostol: Zeta and Related Functions Kapitel 25 der Digital Library of Mathematical Functions (Digitale Bibliothek mathematischer Funktionen) des US-amerikanischen National Institute of Standards and Technology (Nationales Institut für Standards und Technologie).
• Enrico Bombieri: Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis (PDF; 194 kB) Offizielle Problembeschreibung des Clay Mathematics Institute bzgl. der riemannschen Vermutung, einem der sieben Millennium-Probleme.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: The Riemann Zeta-function (PDF-Datei; 68 kB) Definition der riemannschen Zetafunktion, 2003.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: The Riemann Zeta-function: Generalities (PDF-Datei; 97 kB) Allgemeine Eigenschaften, 2004.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Numerical Evaluation of the Riemann Zeta-function (PDF-Datei; 162 kB) Numerische Berechnungen, 2003.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Distribution of the zeros of the Riemann Zeta function (PDF-Datei; 112 kB) Verteilung der Nullstellen, 2004.
• Rationale Approximationen der Funktionswerte der riemannschen Zetafunktion $\zeta (n)$ für $n=2,3,\ldots ,10$. (www-itp.physik.uni-karlsruhe.de).
• Videos zur Riemannschen Zetafunktion von MrYouMath für Anfänger

Mathematische Fachartikel:

• P. Cerone: Bounds for Zeta and Related Functions. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Band 6, Nr. 5, 2005 (enthält Abschätzungen der Zetafunktion für ungerade $n$; PDF-Datei; 248 kB)