Cauchy-Folge

Eine Cauchy-Folge ist ein mathematischer Begriff aus der Analysis.

In der Mathematik ist eine Folge eine durch natürliche Zahlen indizierbare Teilmenge einer Menge (siehe Mengenlehre). Man schreibt eine Folge als $(x_{i})$.

Eine Cauchy-Folge ist eine spezielle Folge. Sie kann nur definiert werden, wenn auf der Ausgangsmenge $X$ eine Metrik $d$ vorhanden ist. Ein solches Paar $(X,d)$ wird als metrischer Raum bezeichnet. Die Menge der reellen Zahlen (mit einer beliebigen Norm versehen) ist zum Beispiel ein metrischer Raum

Eine Folge $(x_{i})$ in $X$ heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem reellen $\epsilon >0$ ein $N$ aus den natürlichen Zahlen gibt, sodass für alle $n,m>N$ folgendes Konvergenzkriterium gilt:

$d(x_{m},x_{n})<\epsilon$.

Ein vollständiger Raum ist dadurch definiert, dass jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert. Das heißt, sie besitzt einen Grenzwert, der Element des Raumes ist.

Cauchy-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy benannt.