Induktivität

Induktivität (Eigeninduktivität) ist eine elektrische Eigenschaft eines elektrischen Leiters oder einer Spule. Sie gibt das Verhältnis zwischen dem mit dem Leiter oder der Spule verketteten magnetischen Fluss und dem ihn oder sie durchfließenden Strom an. Die Wirkung der Eigeninduktivität ist eine Induktionsspannung über dem Leiter oder der Spule bei einer Stromänderung. Im erweiterten Wortsinne werden daher gelegentlich auch beliebige Zweipole als induktiv bezeichnet, über deren Klemmen eine der zeitlichen Änderung des sie durchfließenden Stromes proportionale Spannung gemessen werden kann.

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Verschiedene Spulen (Beispiele für induktive Bauelemente)

Zeichen und Einheiten

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Schaltzeichen (rechts nach IEC 617-4 (1983), links normgerechte Darstellung nach DIN EN 60617-4 (1997))

Das Formelzeichen für eine Induktivität ist L. Die Maßeinheit für die Induktivität ist die Einheit Henry in [V s /A ].
Eine Spule hat eine Induktivität von 1 Henry, wenn bei gleichförmiger Stromänderung von 1 Ampere in 1 Sekunde eine Selbstinduktionsspannung von 1 Volt entsteht.

Es gibt zwei Schaltzeichen. In der Niederfrequenztechnik verwendet man vorrangig das linke, in der Hochfrequenztechnik das rechte. International sind noch weitere Schaltzeichen in Gebrauch.

Induktion

Jeder elektrische Strom ist von einem Magnetfeld umgeben. Eine zeitliche Stromänderung $\mathrm {d} I{/}\mathrm {d} t\,$ in einer Spule ruft ein sich änderndes Magnetfeld hervor, das nach dem Induktionsgesetz eine Induktionsspannung U_ind in der Spule selbst erzeugt (Selbstinduktion). Diese Spannung ist nach der Lenzschen Regel so gepolt, dass sie der Änderung des Stroms entgegenwirkt.

Da die Stärke des Magnetfelds in der Spule proportional zum Strom ist und die Induktionsspannung proportional zur Änderung des Magnetfelds, können Stromänderung und Spannung zueinander in folgende Beziehung gebracht werden (im Falle einer konstanten Induktivität L):

$U_{\mbox{ind}}=L\cdot {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}$. Dimension: [(Vs/A)·(A/s)] = [V]

Ob diese Formel mit einem Minuszeichen geschrieben werden muss oder nicht, hängt davon ab, in welche Richtung man die anliegenden Spannungen und Ströme positiv zählt. Hier wird eine Bepfeilung von Strom und Spannung nach dem Verbraucherzählpfeilsystem vorausgesetzt. Ein Verbraucherzählpfeilsystem liegt vor, wenn Strom und Spannung im Bauteil in dieselbe Richtung zeigen. Die Formel muss in diesem Fall ohne Minuszeichen geschrieben werden.

Verbraucherzählpfeilsystem

Den Proportionalitätsfaktor L nennt man die Induktivität der Spule in [Vs/A ].

Schaltet man eine Induktivität (Spule) beispielsweise mit einem Widerstand in Reihe, so lässt sich der Stromverlauf durch Lösen der Differentialgleichung berechnen.

Zu- und Abschaltvorgänge bei Gleichstrom

$I(t)=I_{0}\cdot (1-e^{-{t \over \tau }})$ mit $\tau =L/R\,$ als Zeitkonstante, Formel gilt hier für den Zuschaltvorgang.

Dieser Zusammenhang zeigt auch, dass sich der in einer Spule fließende Strom nicht sprunghaft ändern kann. Der Stromanstieg beim Einschalten an Gleichspannung erfolgt nach einer Exponentialfunktionskurve mit der Zeitkonstanten $\tau =L/R\,$. Dabei ist L die Induktivität in Henry, R der Widerstand des Stromkreises in Ohm. Man sieht, dass, wenn R einen hohen Wert annimmt, $\tau$ kleiner wird, und somit der Stromanstieg rascher erfolgt. Ein plötzliches Abschalten des Spulenstroms ($\mathrm {d} I{/}\ \mathrm {d} t\to \infty$) führt zu Spannungsspitzen, deren Höhe von der Induktivität der Spule und der geflossenen Stromstärke abhängt, und die Schäden durch Überspannung verursachen können. Mit Gleichstrom betriebene Spulen werden daher oft durch eine Freilaufdiode geschützt, die beim Abschalten des Stromkreises dem weiterfließenden Strom durch eine zur Spule antiparallel geschaltete Diode das Freilaufen ermöglicht und die gespeicherte magnetische Energie $W=L\cdot I^{2}/2$ aufbraucht. Spannungsspitzen werden damit verhindert. Hingegen behindert beim Einschalten eines Gleichstromkreises mit einer Induktionsspule die der Betriebsspannung (Aktion) entgegenwirkende Induktionsspannung (Reaktion) einen raschen Stromanstieg. Beim Einschalten einer Spule über einen konstanten Reihenwiderstand ist die e-Funktionskurve zu beobachten, welche häufig dort zu beobachten ist, wo ein Vorgang durch seine eigenen Auswirkungen verlangsamt wird. Ob hier, beim Einschalten eines Stromkreises oder z. B. beim Antrieb eines Schwungrades aus dem Stillstand. Zunächst muss etwas gegen die „Reaktion“ der Natur erkämpft werden. Ist das gewünschte Ziel erreicht, kann ein einmal erreichter stationärer Zustand mit vertretbarem Aufwand beliebig lang aufrechterhalten werden. Wenn dieser Vorgang beendet werden soll, ist eine Art „Energie-Gedächtnis“ der Natur zu bemerken. Die Natur versucht nun, diese gespeicherte Energie allmählich abzubauen. Für den Abschaltvorgang gilt:

$I(t)=I_{0}\cdot e^{-t/\tau }$ mit $\tau =L/R\,$ als Zeitkonstante

Die EULERsche Zahl e = 2,7182... ist die Basis des natürlichen Logarithmus, der Exponent: $-t/\tau$ bestimmt den Funktionswert nach der Zeit t bei der Abschaltkurve, beim Zuschaltstromanstieg muss der e-Funktionswert von 1 abgezogen werden. Formel siehe ganz oben unter dem Übertitel. Im Zeitpunkt t=0 beginnt der Strom bei $t(A)=0$ mit $I_{0}=0$ zu fließen und steigt träg an, er muss nun gegen die zu Beginn stark wirkende Selbstinduktionsspannung, die der angelegten treibenden Gleichspannung entgegenwirkt, ankämpfen, wobei der Einfluss der Gegenspannung mit zunehmender Zeitdauer abnimmt. Allmählich wird die Funktion immer flacher, bis sie sich dem Wert $I_{0}$ asymptotisch nähert. Theoretisch dauert es unendlich lange, bis $I(t)=I_{0}$ ist. Für praktische Zwecke kann man die Anstiegszeit $t_{A}$ mit

$t_{A}=5\cdot \tau$ in [s]

betrachten, nach der der Spulenstrom näherungsweise als vollständig erreicht angesehen werden kann.

Die Zeitkonstante τ in [s], sich ergebend aus $\tau =L/R$ in [s] (Sekunden), mit der Dimensionsgleichung : [VsA² /A²V = s], ist zugleich der Zeitpunkt, an dem die am Beginn der Kurve angelegte Tangente den Endwert $I_{0}$ erreicht. Zum Zeitpunkt $t(A)=\tau$ beträgt der Wert der Stromanstiegskurve: $I(t)=0,6321\cdot I_{0}$. Nach dieser Zeit 'wäre' der endgültige Spulenstrom erreicht, wenn man ihn mit dem konstanten Stromstärkeanstieg I_max laden könnte (tatsächlich steigt die Stromstärke ja mit der Zeit immer langsamer an). Die Steilheit der Tangente errechnet sich aus:

$\tan \alpha =I_{max}/\tau =I_{0}/\tau \$ in [A/s]

In der Praxis wird eine Induktivität fast nie über einen Reihenwiderstand zugeschaltet. Stattdessen wird sie über einen Schalter (Transistor) aufgeladen (bei Schaltfunktionen z.B. Elektromagnet Relais, Freilaufdiode nicht vergessen, sonst wird der Transistor durch hohe Spannungen beim Abschalten des Stromes u.U. zerstört), dessen ohmscher Widerstand in den meisten Fällen für die grobe Betrachtung des Verlaufs des Spulenstroms innerhalb der normalen Betriebsbedingungen vernachlässigbar ist. Dadurch steigt der Spulenstrom in etwa linear mit der Zeit an. In Wirklichkeit ist die magnetische Permeabilität des Spulenkerns (außer bei Luftkernspulen) oft von der Feldstärke abhängig und der Stromanstieg deshalb doch nicht linear. Theoretisch würde der Strom durch eine Spule an konstanter Spannung immer weiter steigen, die gespeicherte Energie würde immer schneller (quadratisch proportional zur Zeit) größer werden. In der Praxis wird die Energie, die in einer Spule gespeichert werden kann, oft dadurch begrenzt, dass das Kernmaterial ab einer bestimmten Magnetfeldstärke in Sättigung gerät, wodurch die Induktivität stark sinkt und der Strom rapide steigt. Mit steigender Stromstärke, die durch die Induktivität fließt, wandelt der elektrische Widerstand R des Spulendrahtes immer mehr Leistung in Wärmeenergie ($I^{2}\cdot R$) um und droht zu überhitzen. Bei vielen Anwendungen dient der Innenwiderstand der Spule zur Begrenzung des maximalen Stroms; die entstehende Wärme wird konstruktionsbedingt schadlos abgeführt.

Induktivitäten bilden zusammen mit einem Kondensator einen Schwingkreis. Weitere Anwendungen von Spulen sind Filter, Wechselstrombegrenzung und teilweiser Schutz gegen Überspannungsspitzen.

Induktivität

Die Größe der Induktivität $L$ hängt von den geometrischen Abmessungen der Spule und dem verwendeten Material ab

$L={\frac {fn^{2}\mu _{0}\mu _{r}A}{l}}$

Darin ist

• $f$ der Spulenfaktor, der die geometrischen Streufeldverluste kurzer Spulen beschreibt ($0<f\leq 1$),
• $n$ die Windungszahl der verwendeten Spule,
• $\mu _{0}$ die magnetische Feldkonstante,

($\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\ \mathrm {Vs/Am} \approx 1{,}257\cdot 10^{-6}\ \mathrm {Vs/Am}$)

• $\mu _{r}$ eine dimensionslose Materialkonstante des Spulenkerns, genannt die Permeabilitätszahl,
• $A$ der Spulenquerschnitt in m²,
• $l$ die mittlere Feldlinienlänge in m (bei langen Spulen die Länge der Spule)

Die Permeabilitätszahl bezieht sich auf den eventuell vorhandenen Kern der Spule, nicht auf den Spulendraht an sich.

Zahlenwerte (Beispiele):

Material	μr
Blei, Kupfer, Zinn	<1
Luft, Vakuum	1
Aluminium, Silizium	>1
Eisen	300-10.000
Ferrit	4-15.000
Mumetall (NiFe)	50.000-140.000
amorphe Metalle	700-500.000
nanokristalline Metalle	20.000-150.000

Für die Praxis werden fertige Spulenkerne verwendet, für die häufig vom Hersteller eine Induktivitätskonstante A_L (Al-Wert) angegeben wird. In ihr sind bereits alle Materialkonstanten zusammengefasst. Wenn man sie mit n Windungen bewickelt, erhält man eine Spule der Induktivität

$L=A_{L}\cdot n^{2}$.

Nichtlineare Induktivität

Die relative Permebalitätszahl μ_r hängt als Stoffkonstante nicht nur von dem jeweiligen Material ab, sondern ist bei vielen Materialien auch von der magnetischen Flussdichte abhängig. Bei hohen magnetischen Flussdichten kommt es zu einer so genannten magnetischen Sättigung der Materialen und als Folge einer Reduktion der relativen Permebalitätszahl μ_r bis auf 1. Dadurch ist die Induktivität direkt von der magnetischen Flussdichte abhängig, welche ihrerseits meist eine Funktion des durch die Spule fliessenden elektrischen Stromes ist. Somit ändert sich die Induktivität einer Spule in Abhängigkeit der Momentanwerte des Stromes welcher durch die Spule fliesst.

Die Folge davon ist, dass bei nichtlineare Induktivitäten in Wechselspannungsanwendungen zusätzliche Oberwellen als nichtlineare Verzerrungen auftreten können. Auch sind bei Berechnungen mit nichtlinearen Induktivitäten die einfachen Methoden der (linearen) komplexen Wechselstromrechnung nicht mehr direkt anwendbar.

Feldenergie

Eine stromdurchflossene Spule speichert Energie in Form ihres Magnetfeldes. Das Magnetfeld einer Spule der Induktivität L, die vom Strom I durchflossen wird, enthält die Energie

$W=L\cdot {\frac {I^{2}}{2}}$, mit der Dimension: $\mathrm {[(Vs/A)\cdot (A^{2})]=[Ws]=[J]}$

Wechselstromverhalten

Datei:Sinus-ind.jpg

Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung durch induktive Belastung

Wird die Spule von Wechselstrom durchflossen, so wechselt der Strom periodisch seine Richtung. Durch die Stromänderung wird ständig eine Induktionsspannung erzeugt, die ebenfalls ihre Richtung periodisch wechselt, Selbstinduktionsspannung:

$-{\frac {\partial I\cdot L}{\partial t}}=U$

Da der Strom infolge der induzierten Gegenspannung nur allmählich anwachsen bzw. abfallen kann, folgt er dem Verlauf der Spannung stets mit zeitlichem Verzug, er ist phasenverschoben. Unter idealen Bedingungen (bei einem vernachlässigbar kleinen ohmschen Widerstand) eilt die Wechselspannung dem Strom um 90° (der vollständigen 360°-Periode) voraus. Es besteht also eine Trägheit der Spule gegen Stromänderungen. (Merksatz: "Bei Induktivitäten die Ströme sich verspäten").

Der Spule kann daher ein Wechselstromwiderstand X zugeordnet werden, der jedoch im Gegensatz zu einem ohmschen Widerstand keine Leistung in Wärme umsetzt („Verlustleistung“), man nennt ihn daher einen Blindwiderstand. Für eine Spule der Induktivität L und einen Wechselstrom der Frequenz f errechnet sich der Blindwiderstand zu

$X=2\cdot \pi \cdot f\cdot L=\omega \cdot L$ mit der Dimension : [(1/s)·(Vs/A)] = [V/A] = [Ω]

Wobei $\omega =2\cdot \pi \cdot f$ Winkelfrequenz, Winkelgeschwindigkeit oder auch Kreisfrequenz heißt.

Der Blindwiderstand steigt also auch mit steigender Frequenz, wobei der ohmsche Drahtwiderstand gleich bleibt. Daher hat eine für Wechselspannung konzipierte Spule an einer gleichgroßen Gleichspannung (f=0 Hz) einen sehr viel geringeren Widerstand, da nur noch der Drahtwiderstand den Strom behindert.

Parasitärelemente:
Experimente mit (realen) Spulen zeigen im Wechselstromkreis ein Phänomen, das mit Hilfe des topologischen Zeigerdiagramms erklärt werden kann. Der ohmsche Widerstand, der im Gleichstromkreis exakt bestimmt werden kann, scheint im Wechselstrombetrieb höher zu sein. Gründe dafür sind baulich und materiell bedingte "Parasitärkapazitäten" der Spule. Diese Kapazitäten führen dazu, dass eine Veränderung der Phasenlage des Scheinwiderstandes Z auftritt. Scheinbar ist demnach der ohmsche Widerstand (der Realteil von Z) anders als mit Gleichstrom bestimmt. Diese Kapazitäten können zum Beispiel gut mit einer Messbrücken-Versuchsanordnung nachgewiesen werden.

siehe auch:

• Blindleistungskompensation
• komplexe Wechselstromrechnung

Anwendung / Bauteile

• Drossel
• Spule
• Transformator

Kombinierte Anwendung

mit mechanischer Bewegung

Variometer

Eine in der Messtechnik verwendete regelbare Induktivität (Variometer) besteht aus zwei ineinander aufgebauten und hintereinander geschalteten kernlosen Spulen. Die innere Spule ist drehbar gelagert. Das Maximum der Selbstinduktion wird erreicht, wenn die Windungsebenen parallel und gleichsinnig vom Strom durchflossen werden.

Rotor

• Induktion (Elektrotechnik)
• Elektromotor
• Generator

mit Kapazität

Schwingkreis

• Schwingkreis

Filter

Die Abhängigkeit des Blindwiderstandes von der Frequenz wird zur Trennung von Signalen unterschiedlicher Frequenz verwendet (Tiefpass, Hochpass, Bandpass), siehe Frequenzweiche und Schwingkreise.

Messgeräte

Induktivität kann nicht direkt gemessen werden. Es kann lediglich ihre Auswirkung gemessen werden.

Durch Aufschalten einer bekannten Wechselspannung und Messung des durch die Spule fließenden Wechselstromes (oder umgekehrt) kann über die Reaktanz die Induktivität ermittelt werden. Dazu werden Amplitude und Phasenlage bestimmt. Diese Methode wird in einfachen Labormessgeräte angewendet und liefert den Induktivitätswert, die Güte sowie den Wert eines äquivalenten Serien- oder Parallelwiderstandes.

Durch Parallelschalten einer bekannten Kapazität zur Induktivität erhält man einen Schwingkreis. Ermittelt man dessen Resonanzfrequenz, kann man daraus auf die Induktivität schließen. Diese Methode ist auch ohne spezielle Geräte durchführbar und daher unter Bastlern und Amateuren weit verbreitet. Die Genauigkeit ist recht hoch.

Für hohe Genauigkeiten wird eine Messbrücke verwendet: Maxwell-Brücke. Diese Methode ist sehr genau und wird u.a. in der automatisierten Fertigung von Spulen eingesetzt.

Beim Bestimmen der Induktivitäten realer Spulen muss beachtet werden, dass je nach Spulenkonstruktion zu sehr hohen Frequenzen hin die kapazitive Kopplung der Windungen und Lagen wirksam wird. Der Impedanzverlauf steigt bis zu einem Maximalwert und bekommt Schwingkreischarakter, um zu noch höheren Frequenzen hin wieder zu sinken - die Spule stellt dann eine Kapazität dar.

Induktivität als störende Eigenschaft

Jeder elektrische Strom verursacht ein Magnetfeld (Elektromagnetismus), in dem magnetische Energie gespeichert ist. Somit besitzt jedes Stück eines elektrischen Leiters eine kleine Induktivität. Zusammengefasst ergeben diese Induktivitäten die parasitäre Aufbauinduktivität einer elektrischen Schaltung. Wechseln (kommutieren) in der Leistungselektronik fließende Ströme in andere Leiterschleifen, so werden die betroffenen parasitären Induktivitäten oft als Kommutierungsinduktivität bezeichnet. Die Magnetfelder von nahe beieinander liegenden Leiterstücken beeinflussen sich gegenseitig. Liegen z.B. Hin- und Rückleitung eines Stromkreises sehr eng beieinander, heben sich deren Magnetfelder gegenseitig teilweise auf, was die Gesamtinduktivität dieser Anordnung stark verringert. Daher werden oft Strompfade eng aneinander geführt, Kabel miteinander verdrillt oder gar zu Zöpfen verflochten. Soll sich der Strom in einer induktiven Leiterschleife ändern, muss eine zur Stromänderungsgeschwindigkeit (di/dt) proportionale Spannung wirksam sein.

$U_{\mbox{ind}}=L\cdot {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}$. Dimension: [(Vs/A)·(A/s)] = [V]

Häufig zum Schalten von Lasten mit induktivem Verhalten benutzte Schalter und Relais weisen deswegen deutliche Abnutzungsspuren an den Kontakten auf, die deren Funktion stark beeinträchtigen können: beim Abschalten fließt der Strom aufgrund der Induktivität weiter und bildet einen Lichtbogen, in welchen sich dei in der Induktivität gespeicherte Energie entlädt. Noch kritischer sind Stromflussänderungen, die durch Halbleiterschalter hervorgerufen werden. Halbleiterbauteile werden von derart hohen Spannungen oft zerstört. Daher muss bei der Konstruktion von Schaltungen mit hohen Stromänderungsgeschwindigkeiten auf einen niederinduktiven Aufbau geachtet werden. Zusätzlich werden häufig Snubber-Netzwerke am Halbleiter angebracht. Falls möglich und nötig werden auch Freilaufdioden benutzt. Neuere Halbleiterschalter können oft auch ohne Schutzbeschaltung induktive Lasten schalten, indem der Energieabbau in einem kontrollierten Avalanche-Durchbruch erfolgt.

Ein weiterer Nachteil parasitärer Induktivitäten ist die Interaktion mit parasitären Kapazitäten. Der dadurch entstandene Schwingkreis kann störende Spannungsschwingungen erzeugen, die Halbleiterbauteilen schaden können und die Elektromagnetische Verträglichkeit und die Signalübertragungseigenschaften verschlechtern.

Weblinks

• Induktivität einer Spule

Siehe auch

• Gegeninduktivität