Duration

Die Duration ist eine Kennzahl aus der Finanzmathematik, welche angibt, wie stark sich der Gesamtertrag einer Anleihe (bestehend aus den Tilgungen, Kuponzahlungen, sowie Zinseszinseffekt bei der Wiederveranlagung der Rückzahlungen) ändert, wenn sich der Zinssatz am Markt ändert. Sie wurde im Jahr 1938 durch Frederick Macaulay entwickelt und wird deshalb auch Macaulay-Duration genannt. Ein anderer Terminus ist Mittlere Restbindungsdauer.

Durationskonzept

Modellannahmen

Folgende Annnahmen werden beim Durationskonzept getroffen:

• flache Zinsstrukturkurve: Durch diese vereinfachende Annahme laufzeitunabhängiger Zinsen können Zahlungen unterscheidlicher Laufzeit mit einem einheitlichen Zinssatz r abdiskontiert werden
• einmalige Änderung des Marktzinsniveaus durch Parallelverschiebung der (flachen) Zinsstrukturkurve. Diese Änderung erfolgt unmittelbar nach Erwerb der Anleihe
• Wiederanlage der Kuponzahlungen erfolgt zum Marktzins r
• keine Transaktionskosten, Ganzzahligkeitsprobleme

Herleitung der Durationsformel

Der Barwert oder Dirty Price einer Anleihe lässt sich allgemein durch Abdiskontieren der zukünftig erwarteten Zahlungen (d.h. Kuponzahlungen und der Rückzahlung des Nennwertes) berechnen:

$P_{0}={\frac {C_{1}}{1+r_{1}}}+{\frac {C_{2}}{1+r_{2}}}^{2}+...+{\frac {C_{n}}{1+r_{n}}}^{n}$

oder

$P_{0}=\sum _{t=1}^{T}{\frac {C_{t}}{(1+r_{t})^{t}}}$

mit

P₀ = Barwert (Dirty Price) im Betrachtungszeitpunkt t₀
C_t = Zahlung zum Zeitpunkt t (in Jahren)
r_t = Für die Laufzeit t gültiger Zinssatz
T = Laufzeitende der Anleihe (letzte Zahlung)

Leitet man nun die zweite Formel nach dem (annahmegemäß laufzeitunabhängigen) Zinssatz r ab, so erhält man:

${\frac {\partial P_{0}}{\partial r}}=\sum _{t=1}^{T}C_{t}\cdot (-t)\cdot (1+r)^{-(t+1)}=-\sum _{t=1}^{T}{\frac {t\cdot C_{t}}{(1+r)^{(t+1)}}}=-{\frac {1}{1+r}}\cdot \sum _{t=1}^{T}{\frac {t\cdot C_{t}}{(1+r)^{t}}}$

Divison der Ableitung durch den Barwert P₀ in t₀ liefert:

${\frac {\frac {\partial P_{0}}{\partial r}}{P_{0}}}=-{\frac {1}{1+r}}\cdot \underbrace {\sum _{t=1}^{T}{\frac {t\cdot C_{t}}{(1+r)^{t}}}\cdot {\frac {1}{P_{0}}}} _{Macaulay-Duration}$

Der berechnete Ausdruck stellt die approximative relative Preisänderung bei (kleiner) Zinsänderung dar. Eine derartige Definiton der Macaulay-Duration hat historische Gründe.

Macaulay Duration D_Mac:

$D_{Mac}=\sum _{t=1}^{T}{\frac {t\cdot C_{t}}{(1+r)^{t}}}\cdot {\frac {1}{P_{0}}}$

Die Macaulay Duration wird in der Einheit Jahren gemessen.

Aussagekraft der Duration

Für die Beurteilung der Zinssensitivität einer Anleihe ist es nicht ausreichend, nur die Laufzeit zu betrachten: Beispielsweise weist ein Zerobond mit nur einer einzigen Zahlung zum Laufzeitende eine weitaus größere Duration auf, als eine Anleihe gleicher Laufzeit, bei der Kuponzalungen geleistet werden.

Neben der Laufzeit einer Anleihe ist somit auch das zeitliche Anfallen der Zahlungen von Bedeutung. Die Duration verknüpft diese beiden relevanten Komponenten auf multiplikative Weise, gewichtet also den jeweiligen Zahlungszeitpunkt t mit dem relativen Beitrag zum Dirty Price. Eine höhe Duration lässt auf eine tendenziell hohe Zinssensitivität schließen.

Die Duration ist umso höher, je niedriger der Kupon ist. Für den Extremfall der Nullkuponanleihe gilt, dass die Duration mit der Restlaufzeit der Anleihe übereinstimmt.

Portfolioduration

Um die Duration eines Portfolios zu bestimmen, berechnet man im ersten Schritt die Durationen der Anleihen des Portfolios. Die Portfolioduration ergibt sich dann als mit dem Portfolioanteil gewichte Summe der einzelnen Anleiheduratonen:

$D_{PF}=\sum _{i=1}^{N}x_{i}\cdot D_{i}$

mit

D_PF = Duration des Portfolios
x_i = Anteil der Anleihe i am Portfolio
D_i = Duration der Anleihe i
N = Anzahl der verschiedenen Anleihen im Portfolio

Modified Duration

Die Macaulay Duration wird in der Einheit Jahren gemessen, was die praktische Anwendbarkeit stark verkompliziert. Viel wünschenswerter wäre es, eine Aussage über die relative Veränderung des Anleihekurses in Abhängigkeit einer Veränderung des Marktzinsniveaus r. Dies liefert die Modified Duration, D_MD die wie folgt mit der Macaulay Duration in Zusammenhang steht:

$D_{MD}=D_{Mac}\cdot {\frac {1}{1+r}}$

Sie gibt an, um wieviel Prozent sich der Anleihekurs ändert, wenn sich das Marktzinsniveau um ein Prozent ändert, d.h. sie misst den durch eine marginale Zinssatzänderung ausgelösten Kurseffekt und stellt somit eine Art Elastizität des Anleihekurses vom Marktzinssatz dar.

Bewertung des Durationskonzeptes

Da sich die Zinsen in der Regel nicht diskret, sondern stufenweise ändern, und die Abhängigkeit des Anleihenkurses vom Zinssatz keine lineare Beziehung darstellt, sind die Änderungen, die die Duration berechnet, nicht ganz exakt. Der Kursrückgang wird überschätzt, wenn der Zins steigt und die Kurssteigerung wird unterschätzt, wenn der Zins fällt. Dieser Fehler, ausgelöst durch die Approcimation einer nicht-linearen Beziehung durch eine lineare, fällt bei nur geringen Zinsänderungen kaum ins Gewicht. Bei größeren Zinsänderungen steigt dieser Konvexitätsfehler jedoch stark an, eine Linderung dieses Fehlers bietet das Einbeziehen der Konvexität bei der Preisabschätzung.