Riemannscher Umordnungssatz

Der Riemannsche Umordnungssatz (nach Bernhard Riemann) ist ein mathematischer Satz über bedingt konvergente Reihen.

Formulierung

Ist $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ eine bedingt konvergente reelle Reihe, das heißt sie konvergiert zwar jedoch nicht absolut, dann existiert zu jeder beliebig vorgegebenen reellen Zahl $S\,$ eine unendliche Umordnung $\sigma \,$ der Reihenglieder $a_{n}\,$ so dass die umgeordnete Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}$ gegen $S\,$ konvergiert.

Unter der Umordnung(=Permutation) $\sigma \,$ versteht hier man eine bijektive Abbildung von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der natürlichen Zahlen $\sigma :{\mathbb {N}}\to {\mathbb {N}}$.

Ist $S\neq \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$, dann muss diese Umordnung unendlich sein, weil eine endliche Umordnung am Reihenwert nichts ändert.

Begründung

Folgendes Tableau zeigt ein Beispiel für die Vorzeichenverteilung der Folgeglieder:

$a_{0}\,$

$a_{1}\,$

$a_{2}\,$

$a_{3}\,$

$a_{4}\,$

$a_{5}\,$

$a_{6}\,$

$a_{7}\,$

$a_{8}\,$

$a_{9}\,$

$a_{10}\,$

$a_{11}\,$

$a_{12}\,$

$a_{13}\,$

$a_{14}\,$

$a_{15}\,$

$a_{16}\,$

$a_{17}\,$

$\cdots$

$\operatorname {sgn} \,$

$+\,$

$-\,$

$+\,$

$+\,$

$+\,$

$-\,$

$-\,$

$-\,$

$+\,$

$+\,$

$-\,$

$+\,$

$-\,$

$+\,$

$+\,$

$-\,$

$\cdots$

Die Reihen $\sum _{\operatorname {sgn}(a_{n})=+}a_{n}$ und $\sum _{\operatorname {sgn}(a_{n})=-}a_{n}$ sind beide bestimmt divergent.

Das ist gerade kennzeichnend für bestimmt divergente Reihen, dass diese separat betrachtet Teilreihen bestimmt divergieren.

Insbesondere folgt daraus dass es unendlich viele Glieder mit positivem Vorzeichen und unendlich viele Glieder mit negativem Vorzeichen gibt.

Eine Partialreihe die gegen $S$ konvergiert kann folgendermaßen konstruiert werden:

Man summiert solange positive Folgeglieder $a_{0}+a_{2}+a_{3}\,$ bis man zum ersten mal über das Ziel $S$ hinausschießt.

(Im pathologischen Fall $S<0$ wäre dies die leere Summe. Man ist mit dem Summieren schon fertig bevor man angefangen hat.)

Im Tableau werden diese Glieder gestrichen.

Anschließend zählt man insofern noch vorhanden ein Glied dessen Signum verschwindet, also eine Null, hinzu und summiert dann solange negative Folgeglieder $a_{0}+a_{2}+a_{3}+\underbrace {a_{5}} _{=0}+a_{1}+a_{6}+a_{7}+a_{8}\,$ bis die Partialsumme kleiner ist als $S$.

Danach zählt man insofern noch vorhanden das Nullglied kleinsten Index hinzu und schaltet wieder auf positive Glieder um $a_{0}+a_{2}+a_{3}+\underbrace {a_{5}} _{=0}+a_{1}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+\underbrace {a_{11}} _{=0}+a_{4}+a_{9}+a_{10}+a_{13}\,$ bis man größer wird als $S$ usw.

Beginnt man nach jedem Umschalten mit dem indexkleinsten im Tableau noch nicht gestichenen Folgeglied, welches das gewünschte Vorzeichen hat, so wird die so entstehende Reihe am Schluss alle Folgeglieder in umgeordneter Reihenfolge beinhalten.

Die Folge $(a_{n})\,$ ist eine Nullfolge. Das war notwendig für die Konvergenz von $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$.

In jedem noch so kleinen $\varepsilon -$Streifen um $S$ liegen nun die Folgeglieder der Partialreihe für hinreichend große Indizes.

Die so umgeordnete Reihe konvergiert also gegen $S$.

Verallgemeinerung

Ist $\sum a_{k}$ eine konvergente Reihe mit $a_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$

dann ist die Menge aller konvergent umgeordneten Reihen $U=\left\{\sum a_{\sigma (k)}\;\mathrm {kvg.} \right\}$ ein affiner Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{n}$.

Die Reihe $\sum a_{k}$ ist genau dann absolut konvergent wenn $U$ nur einen einzigen Punkt enthält, d.h. $\dim U=0$.

Ist insbesondere $a_{k}\in {\mathbb {C}}{\hat {=}}\mathbb {R} ^{2}$ dann ist $U$ in der komplexen Ebene entweder ein Punkt, eine Gerade oder ganz ${\mathbb {C}}$.