Diskussion:Quartische Gleichung/Archiv

Korrektheit

Ich musste eben feststellen, dass bereits in der Berechnung der Lösung der kubischen Gleichung ein Fehler in der Fallunterscheidung auftritt. Ich schlage daher vor, dass wir zunächst zusätzlich noch einen Verweis auf die englische Seite anbringen, bis wir auch richtige Formeln gefunden haben. --RBRiddick 00:30, 3. Okt 2004 (CEST)

Korrektheit des ursprünglichen Algorithmus ist fraglich

Daher erfolgt die Auslagerung in die Diskussions Seite zwecks abschließender Ausformulierung:

Da der nachfolgende Algorithmus noch nicht so richtig fehlerfrei zu sein scheint, wird an dieser Stelle zusätzlich noch auf die englische Seite Quartic equation (siehe auch Wikipedias „andere Sprachen“ Feld) verwiesen.

Beispiel für Mangel:
> a=1
> b=-10
> c=-6
> d=-60
> e=36
>
> p=(3*b*d-c^2)/12/a^2 -e/a
> p
        111
> q=(8*c*e-3*d^2)/24/a^2-(27*b^2*e-9*b*c*d+2*c^3)/216/a^3
> q
        -1120
>
> q^2/4+p^3/27
        364253
>
> z=exp(ln(-q/2+sqrt(q^2/4+p^3/27))/3)+exp(ln(-q/2-sqrt(q^2/4+p^3/27))/3)
> z^3+p*z+q
        ~1751.21943156421511923007+~1687.39755319009138312867i
>
> z=2*sqrt(-p/3)*cos(acos(-q*sqrt(-27/p^3)/2)/3)
> z^3+p*z+q
        ~-.00000000000000118230-~.00000000000000001771i

Durch Division durch a bringt man die quartische Gleichung auf die Form:

$x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+s=0$

Auf diese Form kann man das von Lodovico Ferrari (*1522, †1565) gefundene Lösungsverfahren anwenden:

$a=A,b=B,c=C,d=D,e=E$

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

Sei nun

$z^{3}+pz+q=0\quad \quad (2)$

mit

• $p={3bd-c^{2} \over 12a^{2}}-{e \over a}$
• $q={8ce-3d^{2} \over 24a^{2}}-{27b^{2}e-9bcd+2c^{3} \over 216a^{3}}$.

Für (2) existiert eine reelle Lösung $z$ (siehe Kubische Gleichung):

• Fall 1: ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}>0$

$z={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{{-{q \over 2}}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$

• Fall 2: ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}=0$

$z={\sqrt[{3}]{q \over 2}}$

• Fall 3: ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$

$z=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {-q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)$

Sei $y=z+{c \over 6a}$

Dann liefert die folgende Fallunterscheidung Lösungen für (1):

• Fall 1: ${by-d \over a}>0$

$x_{1}=-{b \over 4a}+{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}+{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}-{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{2}=-{b \over 4a}-{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}+{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}-{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{3}=-{b \over 4a}+{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}-{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}+{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{4}=-{b \over 4a}-{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}-{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}+{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

• Fall 2: ${by-d \over a}<0$

$x_{1}=-{b \over 4a}+{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}+{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}+{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{2}=-{b \over 4a}-{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}+{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}+{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{3}=-{b \over 4a}+{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}-{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}-{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

$x_{4}=-{b \over 4a}-{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}-{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}}-{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

Kubische Gleichung

Der Mangel wurde durch Verweis auf den Artikel Kubische Gleichung behoben, nachdem dort derselbe Mangel beseitigt wurde. --83.129.184.57 12:46, 17. Jul 2005 (CEST)

Ferrari

Wie heisst der? Ferrari? Ich war das nicht 00:11, 20. Jul 2004 (CEST)

Er heißt so.

http://www.math.uni-goettingen.de/skraemer/glei34.html

--Wollschaf 00:19, 20. Jul 2004 (CEST)

weil da einmal Ferrari, einmal Ferranti steht. Dachte, wär vielleicht ein Versehen Ich war das nicht 00:22, 20. Jul 2004 (CEST)

War es auch (habe ich übersehen). Danke für den Hinweis, ist korrigiert. --Wollschaf 00:40, 20. Jul 2004 (CEST)

Name des Artikels

Irgendwie steht bei unseren englischen Brüdern und selbstverständlich auch Schwestern, dass eine biquadratische Gleichung wie folgt aussieht:

$a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}=0\,\!$

während die Gleichung, die wir hier in diesem Artikel betrachten dann eine Quartische Gleichung wäre. Natürlich kenne ich das ewige Theater bei den Mathematikern (die Szene aus Farnsworth's Parabox (Futurama) an der Chandelier Kontrolleinrichtung lässt grüßen) mit den Begriffs-Namen (etwa: Ordnung - totale Ordnung - partielle Ordnung: man muss damit rechnen, dass jeder Autor anders abkürzt). In diesem hier vorliegenden Fall erscheint mir der Name des nämlichen Begriffes jedoch recht gestelzt zu sein. Ich schlage daher vor, die Seite an den Artikel en:Quartic equation anzupassen und dabei auch noch einen Artikel Quartische Gleichung anzulegen. --RBRiddick 22:49, 2. Okt 2004 (CEST)

Diesen Vorschlag habe ich soeben selbst umgesetzt. --RBRiddick 00:30, 3. Okt 2004 (CEST)

Namensänderung dringend erforderlich!

Auch wenn von Teilen der mathematischen Welt verwendet, ist der Terminus biquadratische Gleichung IMHO - und in der einiger Schüler, die diesen Artikel gefunden und sich nicht gefreut haben - sowohl logisch eher dem Falle $a*x^{4}+b*x^{2}+c=0$ zuzuordnen, als auch im allgemeinen, nicht formal-mathematischen Sprachgebrauch. Für diejenigen, denen der Begriff "Quartische Gleichung" Unbehagen bereitet, könnte man ja noch den Begriff "Polynomiale Gleichung vierten Grades" verwenden.

Zu diesem Thema habe ich die WWW Seite [1] gefunden, die diese Frage diskutiert. Offenbar bezieht sich das Wort „biquadratisch“ vielmehr auf das zweifache Quadrat, also die höchste Potenz des $x$, und überhaupt gar nicht auf etwaige quadratische Potenzen.

Diese Meinung scheint von den Universitäten im deutschen Sprachraum geteilt zu werden, weil ich mit einer bestimmten Suchmaschine bei der Suche nach „quartische Gleichung“ nur die vorgenannte Seite gefunden habe, während ich jedoch etwa 180 Seiten mit der selben Suchmaschine bei der Suche nach „biquadratische Gleichung“ gefunden habe.

Ich halte daher fest, dass weitere Anpassungen an den englischen Sprachgebrauch nicht geboten sind.

--83.129.177.150 13:09, 1. Nov 2004 (CET)

Ich bin auch der Meinung, daß der Name des Artikels Quartische Gleichung lauten sollte, da m.E. eine biquadratische Gleichung in $x$ eine quadratische Gleichung in $x^{2}$ ist. Erstens wurden diese Bezeichnungen in meinem Studium verwendet, zweitens bin ich auf diesen Artikel gestoßen, nachdem ich es mit einer Gleichung der Form $a*x^{8}+b*x^{6}+c*x^{4}+d*x^{2}+e=0$ zu tun bekam, für die mir der Begriff "biquartische Gleichung" einfiel. Ich bin nicht der Meinung, daß es sich hier um Anpassungen an den englischen Sprachgebrauch, sondern um Anpassungen an einen vernünftigen Sprachgebrauch handelt. --Uwe Sassenberg

Hmm... Was soll man sagen... An welcher Universität soll das gewesen sein? Es scheint doch plausibel, dass die früheren Mathematiker unter französischem Einfluss stehend lieber 2*2 als 4 sagen wollten, oder (4*20+10 plüs nüll commah nüll nüll plüs ... plüs plüs)? Wieso sollte es gerade bei quartischen Gleichungen nun zu so komischen Denkweisen kommen (ich mein: quadratisch in x^2... Was soll das? Wieso sollte das so sein? Das kommt doch aus dem Wort gar nicht heraus!)? Ich denke durch den REDIRECT-Artikel Quartische Gleichung haben wir diesem Problemchen zur Genüge Beachtung gezollt... --213.54.90.16 10:32, 8. Nov 2005 (CET)

Eine Gleichung, die quadratisch in x^2 ist, kann man mit Leichtigkeit loesen. Eine Gleichung vierten Grades bereitet Schwierigkeiten, wenn man sie von Hand rechnet und wenn man sie numerisch berechnet. (unzureichende Genauigkeit der Maschinenzahlen!). Das rechtfertigt die unterschiedliche Benennung. Wenn etwas nicht watschelt wie eine Ente und auch nicht so quakt, dann nenne ich das nicht Ente. Ich halte es fuer irrelevant, wie die Nomenklatur vor 200 Jahren war. Und ich finde es reichlich merkwuerdig, wie beharrlich auf manchen Internetseiten die Bezeichung "quartische Gleichung" als "falsch" abgetan wird. Eine Benennung ist wie eine Definition nicht falsifizierbar. Man kann hoechstens zeigen dass sie sinnvoll oder unsinnig ist. Aber die Weiterleitung reicht wohl erstmal, bis sich wieder jemand aufregt

Struktur

Mir erscheinen die Sprünge in der Herleitung der Formeln etwas zu groß... Soll wohl für Ingenieure sein!? :-) Ich schlage daher vor, entsprechende Ergänzungen durch Übersetzung aus en:Quartic equation vorzunehmen. Sollte ich binnen 10 Kalender Tagen keinen Einwand hören, werde ich die Änderungen vornehmen. --RBRiddick 22:57, 2. Okt 2004 (CEST)

Beim Stöbern ist mir aufgefallen, dass die Artikel zu den verschiedenen Gleichungen zwar im grossen und ganzen durchdacht sind, aber verschiedene Ausdrucksformen verwendet werden

$a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,\!$

oder:

$a*x^{4}+b*x^{3}+c*x^{2}+d*x+e=0\,\!$

Teilweise werden die Koeffizienten sogar ignoriert. Weiterhin werden Formeln verwendet und dabei wird nicht einmal darauf ingewiessen wieso sie angewendet werden oder wie man darauf kommt. Ich will hir die Autoren der Artikel nicht schlecht reden es ist schön zu sehen dass jemand sich die Mühe macht solche Artikel zu schreiben. Dennoch für jemanden der sich Hilfestellung von einem solchen Artikel erhofft, wird es sehr schwer sein die Rechnungen nachzuvollziehen.

Ich schlage daher vor dass wenn jemand Lust und Zeit dazu hat der die Artikel zum Thema Gleichungen auf eine einheitliche Ebene bringt. Und wenigstens einen kurzen Satz dazu schreibt wieso welche Formel verwendet wird.

Nun ja... Selber essen macht dick! Oder wie? Oder was? --213.54.90.16 10:35, 8. Nov 2005 (CET)

Desweiteren die englische Version des Artikels bei der Bruder Wikipedia leitet sehr schön her... Jedenfalls früher... Die Herleitung wird dort übrigens als enzyklopädisch nicht so interessant betrachtet... Die Herleitung steht da nur noch, weil die Herleitung derartig einmalig und ungewöhnlich ist, dass sie ausnahmsweise als enzyklopädisch relevant angesehen wird... --213.54.90.16 10:35, 8. Nov 2005 (CET)

Ach so: Wo genau werden die Koeffizienten ignoriert? Das sollte natürlich nicht sein, weil es sich hier ja um den allgemeinen Fall und nicht den Spezialfall, wo alle Koeffizienten 1 sind, handeln soll... Im übrigen wird soweit ich es sehen konnte, stets erläutert welcher Koeffizient zu welchem Summanden gehört... --213.54.90.16 10:39, 8. Nov 2005 (CET)

Und wenn das schon konsistent gemacht wird, warum nenne wir den Koeffizienten von $x^4$ nicht gleich $a_4$? Das könnte auch ein wenig Verwirrung vermeiden. --RolandIllig 10:44, 24. Feb 2006 (CET)

Qualitätssicherung

• Leider unverständlich. Das Lösungsverfahren sollte nicht als "Satz" aufgebaut werden. Wenn man 4 Lösungen angibt, braucht man nichts zu beweisen, da sich der Beweis durch Einsetzen ergibt. --UlrSchimke 22:53, 2. Apr 2006 (CEST)

Wie unverständlich? Insgesamt nicht zu verstehen? Darf ich nach der Vorbildung des Vortragenden fragen? Es bleibt dennoch ein Satz (Mathematik), weil man eben eine Behauptung aufstellt, die noch nichteinmal trivial ist. --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)

Es empfiehlt sich, zunächst einmal mit den Rechen-Beispielen am Ende des Artikels zu beginnen, um sich so an der Funktionstüchtigkeit des Verfahrens zu erfreuen... Danach kann man sich auch selbst mal n Beispiel basteln (also 4 Nullstellen erfinden und dann die Koeffizienten ausrechnen und dann von da aus die Nullstellen ausrechnen...)... --Der Chef 07:47, 3. Apr 2006 (CEST)

Also eine Herleitung. OK. Aber zum Beweis braucht man ja nur am Ende die Lösuingen in die Gleichungen einzusetzen. UlrSchimke 21:55, 3. Apr 2006 (CEST)

• Algor 1: Was bedeutet "wobei die Quadratwurzel möglichst so zu wählen ist, dass U nicht verschwindet"? "möglichst" habe ich noch nie in einem Beweis oder Algorithmus gesehen. Geht es mit U = 0 (ggf. nach Fallunterscheidung) oder nicht ? Welche der drei Kubikwurzeln von U soll man nehmen ? Welche der beiden Quadratwurzeln in der Defintion von U? --UlrSchimke 22:53, 2. Apr 2006 (CEST)

"möglichst" heißt bei mir "möglichst"... Also eben solange unter den Möglichkeiten eine auswählen, bis keine Wahlmöglichkeit mehr übrig ist, oder bis U nicht verschwindet (sprich: ungleich 0). Dieses wird interessant für P=0 (siehe Hilfssatz A) (Beispiel: a=1, c=-1/12, dann sollte P=0 sein, so dass es dann schön wäre, wenn Q^2 für U herauskäme aber nicht 0 -- einfach mal selbst nachrechnen, wenn s beliebt...). --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)

Sofern keine spezielle Vorschrift angegeben ist, kann man frei unter den höchstens drei möglichen Kubikwurzeln wählen (z. B. 0 hat nur eine). Wenn man lustig ist, kann man auch alle Möglichkeiten nehmen und sich dann ggf. an den ganzen doppelten Lösungen erfreuen... --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)

Bei der Quadratwurzel in der Gleichung für U: siehe oben. --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)

Ich habe es immer noch nicht verstanden: geht es mit U = 0 gar nicht oder ist es nur umständlicher zu rechnen ? UlrSchimke 21:55, 3. Apr 2006 (CEST)

Hmm... Ich habe nocheinmal eine Zeile weitergeguckt und es ist zwar nicht falsch mit dem "möglichst", aber durch die Fallunterscheidung, kann man auch ruhig bei P=0 die negative Quadratwurzel nehmen (weil ja nun eine division durch 0 verhindert wird)... Wie das bei dem nächsten "möglichst" ist, weiß ich nicht... --157.161.163.39 23:13, 3. Apr 2006 (CEST)

• Algor 2: was heißt ohne komplexe Zahlen ? Geht es um reelle Koeffizienten oder um reelle Lösungen ? Ist Algorithmus 2 eine Alternative ? Ein Sonderfall? --UlrSchimke 22:53, 2. Apr 2006 (CEST)

Das weiß ich nicht mehr. Ich würde einmal vorschlagen: Alle Koeffizienten und alle Lösungen sind reelle Zahlen. Vielleicht geht es auch mit komplexen Zahlen... Einfach mal üben... :-) --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)

einfach mal üben... :-) Muss ich wohl mal  :-( Wenn es keine Fallunterscheidung ist, sondern nur ein Sonderfall, würde ich es erstmal aus der zentralen Herleitung rauslassen. Mein Vorschlag: erst die allgemeine Lösung, dann ein Sonderteil mit reellen Koeffizienten (Hinweis auf die möglichen Fälle, entweder 4 reelle Lösungen oder 2 reelle mit 2 konjugiert komplexen oder aber 4 paarweise konjugiert komplexe), dann der Sonderfall B = D = 0 etc. UlrSchimke 21:55, 3. Apr 2006 (CEST)

Ja, da kann man viel Zeit zubringen... :-) --157.161.163.39 23:13, 3. Apr 2006 (CEST)

• Der Abschnitt mit den a=A etc. ist unverständlich. Hier wird die Gleichung erst normiert und dann wird as wohl wieder rückgängig gemacht ? Auf einmal steht z^3 + p*z + q = 0 da. Also hat wohl eine Substitution stattgefunden. Nur welche ? "Dann finde ein reelles, möglichst nicht verschwindendes z gemäß Kubische Gleichung." Sprachlich und mathematisch unverständlich. Wieder das "möglichst". --UlrSchimke 22:53, 2. Apr 2006 (CEST)

Zu der Subtitution: siehe englische Bruder Wikipedia (die Substitution wäre dann Teil des konstruktiven beweises, der in der deutschen version noch fehlt)... --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)

Was an "möglichst" unverständlich ist, verstehe ich jetzt nicht... "verschwinden" ist doch klar, oder? "x verschwindet" heißt wohl soviel wie "x ist 0". --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)

Wieder die Frage: heißt "möglichst" "unbedingt" oder "leichter zu rechnen" ? UlrSchimke 21:55, 3. Apr 2006 (CEST)

Mit dieser Variante kenne ich mich gar nicht aus... --157.161.163.39 23:13, 3. Apr 2006 (CEST)

• "Beweis" wie gesagt, unnötig, außer wenn man das Einsetzen der Lösungen nachvollziehen will. Hilfssatz A: Wozu ist der gut? --UlrSchimke 22:53, 2. Apr 2006 (CEST)

Unter Beweis hatte ich mir mehr den konstruktiven Beweis vorgestellt... Also das volle Programm: Substitutionen und die ganzen anderen Schritte... Die Fallunterscheidungen verständlich machen... Bin aber in Diskussion:Falsifizierbarkeit und Diskussion:Scientology hängen geblieben -- die sprechen da wirklich unverständlich -- es ist zum heulen... --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)

Bin aber in Diskussion:Falsifizierbarkeit und Diskussion:Scientology hängen geblieben Du Armer ;-) 21:55, 3. Apr 2006 (CEST)

Jetzt haben die auch noch meinen Account gesperrt für 6h... Und das nur, weil soeiner meinte, dass "Landesverfassungsschutz" dasselbe ist wie "Landesamt für Verfassungsschutz", obwohl in seiner eigenen Quelle ganz klar unterschieden wurde zwischen der eigentlichen Behörden-Funktion und dem ausführenden Amt... Und ein angeblicher Jurist (User:Lung) hat meine Meinung bestätigt, aber trotzdem sagen die alle, ich wäre krank im Kopf und schreiben jetzt auch noch was von EKT... Nunja... Morgen darf ich dann wieder unter meinem Spitznamen... --157.161.163.39 23:13, 3. Apr 2006 (CEST)

meine Änderungen

1. Wir sollten konsequent von A, B, C, D, E oder a, b, c, d, e sprechen. Ich ändere jetzt mal auf große Buchstaben.
2. Spezialfälle zusammengefasst, reelle Koeffizienten dazu
3. Substitution aufgeführt, nach der die alpha, beta und gamma definiert werden. UlrSchimke 00:44, 16. Apr 2006 (CEST)

OK... Scheint Sinn zu machen... Mehr Spezialfälle ist immer nett, glaub ich... --213.54.81.181 21:24, 29. Apr 2006 (CEST)

neue Eintragungen richtig ?

Hallo Der_Chef, die neuen Formeln widersprechen den alten auf der Diskussionsseite. Beide scheinen falsch zu sein. Wo kommen sie her ? Kannst du hier einige Worte zur Herleitung sagen ? Mit der englischen Seite scheinen die Formeln nicht viel zu tun haben, jedenfalls sehe ich sie dort nicht. UlrSchimke 00:20, 22. Apr 2006 (CEST)

Welche neuen Formeln? Die mit den Limesrechenregeln (da bin ich mir nicht so ganz sicher, aber es sieht eigentlich gut aus und ich habs auch mit nem taschenrechner "nachgerechtet")? Das mit dem W hat nur den Sinn, dass nicht irgendein Scherzbold den beiden Wurzel-Ausdrücken verschiedenes Vorzeichen gibt, weil dann nämlich die Formel Müll ist... --213.54.81.181 21:29, 29. Apr 2006 (CEST) (der immnoch schmollende Merovingian/DerChef)

Nein, die Lösungsformeln sind m.E. falsch

$x^{4}-2x^{3}-14x^{2}+32x-16=0\,$

hat die 4 Lösungen

$x_{1}=-{{\sqrt {17}} \over 2}+{{\sqrt {14+2{\sqrt {17}}}} \over 2}+{1 \over 2}=0{,}7967...$

$x_{2}=-{{\sqrt {17}} \over 2}-{{\sqrt {14+2{\sqrt {17}}}} \over 2}+{1 \over 2}=-3{,}9198...\,$

$x_{3}={{\sqrt {17}} \over 2}+{{\sqrt {14-2{\sqrt {17}}}} \over 2}+{1 \over 2}=3{,}7609...\,$

$x_{4}={{\sqrt {17}} \over 2}-{{\sqrt {14-2{\sqrt {17}}}} \over 2}+{1 \over 2}=1{,}3621...\,$

Nach den angegebenen Formeln komme ich aber auf andere Werte, führe es mal auf:

p = -49/3; q = 470/27. Also ist

$z^{3}-{49 \over 3}z+{470 \over 27}=0\,$

zu lösen, was auf z=10/3 führt und damit auf y = 1. Da (by-d) / a = -34 < 0 ist, würde die erste Lösung lauten (mit r und s = +1):

$x_{1}:={1 \over 2}+{{\sqrt {14}} \over 2}=2{,}3708..\,$

Daher würde ich gern deine Quelle wissen.

--User:UlrSchimke

Ich habe einfach nocheinmal erfolgreich eingesetzt (vielleicht habe ich ja einen kaputten "Tassenrechner"):

> A=1
> A
       1
> B=-2
> C=-14
> D=32
> E=-16
> a=-3*B*B/8/A/A
> a=-3*B*B/8/A/A+C/A
> b=B^3/8/A^3-B*C/2/A^2+D/A
> c=-3*B^4/256/A^4+C*B*B/16/A^3-B*D/4/A^2+E/A
> b
       17
> P=-a*a/12-c
> P
       ~-16.33333333333333333333
> Q=-a^3/108+a*c/3-b^2/8
> Q
       ~17.40740740740740740740
> U=exp(ln(Q/2+sqrt(Q^2/4+P^3/27))/3)
> U
       2.24754689570642838213+.62687909204633837854i
> y=-5*a/6-U+P/3/U
> y
       ~8.42157287525380990239+~.00000000000000000000i
> W=sqrt(a+2*y)
> W
       1.15894165103667743053
> x1=-B/4/A+(1*W+1*sqrt(-(a+2*y)-2*(a+b/1/W)))/2
> x1
        ~1.36219999266324453928
> x2=-B/4/A+(1*W-1*sqrt(-(a+2*y)-2*(a+b/1/W)))/2
> x2
       ~.79674165837343289124
> x3=-B/4/A+(-1*W+1*sqrt(-(a+2*y)-2*(a+b/-1/W)))/2
> x3
       ~3.76090563295441601050
> x4=-B/4/A+(-1*W-1*sqrt(-(a+2*y)-2*(a+b/-1/W)))/2
> x4
       ~-3.91984728399109344103
> B/4/A
       -.5

Scheint doch zu passen... q.e.f. --213.54.88.121 21:17, 26. Jun 2006 (CEST)

Ich meinte die "neuen" Formeln (ohne komplexe Zahlen): Du schreibst:

Bei ${by-d \over a}<0$ ergäben sich die Lösungen

$x_{1,2,3,4}=-{b \over 4a}+s{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}+r{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-r{c \over a}}}+{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}$

Wir haben hier:

$p={{3bd-c^{2}} \over {12a^{2}}}-{e \over a}={{-192-196} \over 12}+16={-49 \over 3}\,$

und

$q={8ce-3d^{2} \over 24a^{2}}-{27b^{2}e-9bcd+2c^{3} \over 216a^{3}}={1792-3072 \over 24}-{1728-8064-5488 \over 216}=$

${-160 \over 3}-{-15280 \over 216}={470 \over 27}$

Also ist

$z^{3}-{49 \over 3}z+{470 \over 27}=0\,$

zu lösen, was auf z=10/3 führt und damit auf

$y=z+{c \over 6a}={10 \over 3}+{-14 \over 6}=1\,$

Da

${by-d \over a}=-34<0\,$

ist, müsste die untere Formelanzuwenden sein, also mit (r=s=+1)

$x_{1}=-{b \over 4a}+1{\sqrt {{b^{2} \over 8a^{2}}-{y \over 2}-{c \over 4a}}}+1{b-2a \over 4a}{\sqrt {2y+{b^{2} \over 4a^{2}}-1{c \over a}}}+{\sqrt {y^{2}-{e \over a}}}=$

${+1 \over 2}+1{\sqrt {{1 \over 2}-{1 \over 2}+{7 \over 2}}}+1{-4 \over 4}{\sqrt {2+{4 \over 4}+14}}+{\sqrt {1-{-16 \over 1}}}=$

${1 \over 2}+{{\sqrt {14}} \over 2}-{\sqrt {17}}+{\sqrt {17}}={1 \over 2}+{{\sqrt {14}} \over 2}=2.3708...$

was eben keine Lösung ist.