Ein metrischer Raum (X,d) ist eine Menge X, die mit einer Metrik d: X×X→ R versehen ist. Die Metrik muss für alle Elemente x,y,z der Menge X folgende Eigenschaften besitzen:
- d(x,y)≥0 und d(x,y)=0 genau dann, wenn x=y
- d(x,y)=d(y,x)
- d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)
Diese Eigenschaften der Metrik werden auch "positiv definit" (1), "symmetrisch" (2) und "genügt der Dreiecksungleichung" (3) genannt.
Auf jeder Menge lässt sich eine triviale Metrik definieren mit:
- d(x,x)=0
- d(x,y)=1 für x≠y
Metrische Räume sind Spezialfälle der topologischen Räume, das heisst eine Metrik induziert eindeutig eine Topologie auf der Menge X (siehe Umgebung).
Ein Topologischer Raum kann metrisierbar sein.