Wachstum (Mathematik)

Als Wachstum bezeichnet man den zeitlichen Anstieg einer bestimmten Messgröße.

Beispiele für wachsende Systeme

Wachstum in den Raumdimensionen

Strecken

Wachstum des Schienenstreckennetzes

Flächen

Wachstum der versiegelten Flächen

Volumen

Wachstum eines Luftballons

Wachstum in der Anzahl

Zunahme der absoluten Menge oder des Prozentsatzes; ein Beispiel dafür ist das Wachstum durch Vermehrung: Bevölkerungswachstum, Bakterienkultur, Geldwachstum

Infekt-Modell

Rückkopplungsfunktion, die Ausbreitungsvorgänge (Krankheiten, Gerüchte, Witze ...) in geschlossenen Populationen beschreibt (s. Bild begrenztes Wachstum). Bei Überschreitung sinnvoller Grenzen und geeigneter Darstellung entsteht das Feigenbaum-Diagramm.

Diffusionsbegrenztes Wachstum

Dieses Wachstum kommt durch die zufällige Anlagerung von Teilchen zu Stande; wurde Mitte der Achzigerjahre von Leonard M. Sander u.a. beschrieben.

Beispiele dazu:

Anlagerung von Russteilchen

Teilchen lagern sich an den Wänden eines Kamins an und bewirken ein Zuwachsen des Rohres

Fraktales Wachstum

Die zufällige Anlagerung bewirkt stark verästelte Strukturen, die an fraktale Strukturen erinnern.

Wachstum eines Indexes

Bruttosozialprodukt

Wachstum der Komplexität

Internet, Gehirn

Das Gegenteil ist die Abnahme bzw. der Zerfall. In diesem Zusammenhang fällt oft der geschönte Begriff Negativwachstum.

Unter Wachstum versteht man auch das Größerwerden eines Gegenstandes oder Lebewesens. Das Gegenteil hiervon ist das Schrumpfen.

Mathematische Beschreibung

Wachstum ist das zeitliche Verhalten einer System-Größe.

Zunächst wird zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_{1}$ der Wert dieser Größe bestimmt. Zu einem späteren Zeitpunkt $t_{2}$ wird der Wert dieser Größe wieder bestimmt.

Ist dieser zweite Wert $W(t_{2})$ größer als der erste $W(t_{1})$, dann spricht man von positivem Wachstum. Dieser Fall entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch.

Ist $W(t_{2})$ kleiner als $W(t_{1})$, ist also die Differenz $W(t_{2})-W(t_{1})<0$, spricht man von negativem Wachstum.

Im Falle $W(t2)=W(t1)$ spricht man von Nullwachstum.

Darstellung von Wachstumskurven

Bei zahlreichen Messpunkten werden diese zur Veranschaulichung zu einem geschlossenen Kurvenzug verbunden. Es sollte aber dabei nicht vergessen werden, dass das tatsächliche Verhalten des Systems zwischen den Messpunkten nicht bekannt ist und höchstens durch ein mehr oder weniger genaues Modell beschreibbar ist. Bei bestimmten Wachstumsarten können auch mathematische Modelle (Funktionen) zur Beschreibung des Verhaltens Verwendung finden.

Wachstumsarten

Datei:LogWachs1.png

Beispiel für begrenztes Wachstum: Logistisches Wachstum (Sigmoid-Kurve)

a) begrenzt oder unbegrenzt: Alle realen Wachstumsvorgänge sind letztlich begrenztes Wachstum, da die Ressourcen, aus welchen sich das Wachstum, speist, nicht unbegrenzt vorliegen. Unbegrenztes Wachstum ist damit ein mathematisches Artefakt.

b) linear (konstant) oder exponentiell (beschleunigt oder verzögert = negativ beschleunigt) Der Radioaktive Zerfall ist ein Beispiel für exponentielles, verzögertes, negatives Wachstum.

Beispiel von Graphen für lineares positives negatives und Nullwachstum Beispiel von Graphen für exponentielle positives oder negatives / beschleunigtes oder verzögertes Wachstum

c) (scheinbar) kontinuierlich oder diskontinuierlich. (Beispiel: Die Längenzunahme des Menschen während der Wachstumsperiode erfolgt in Schüben.)

Wachstumsschwankungen

Die gemessenen Größen bestimmter Systeme schwanken zwischen mehreren Grenzwerten hin und her:

• Periodische Schwankungen (z. B. bei Systemen mit Rückkopplung) können ungedämpft, gedämpft oder aufschaukelnd sein.
• Aperiodische Schwankungen (Fluktuationen) können zufallsbedingt oder chaotisch sein.

Wirtschaftswachstum

Siehe dort.

Siehe auch: Wachstumsindikatoren, Wachstumstheorien, Wachstum (gleichgewichtiges), Wachstum (ungleichgewichtiges)